admin 管理员组文章数量: 1086019
2024年4月16日发(作者：如何制作漂亮的ppt模板)
梯度、散度和旋度——定义及公式
1 哈密顿算子（Hamiltion Operator）
哈密顿算子本身没有含义，只有作用于后面的量才有实际意义；它是一个微分算子，
符号为∇。
三维坐标系下，有
ijk
xyz
=
或者
,,)
xyz
(
其中
i,j,k
分别为xyz方向上的单位矢量。
2 梯度（Gradient）
2.1 梯度的定义
梯度是哈密顿算子直接作用于函数
f
的结果（
f
可以是标量和向量）。
ffffff
ijk(,,)
xyzxyz
gradff
标量场的梯度是向量，标量场中某一点的梯度指向标量场增长最快的地方，梯度的长
度是最大变化率。
2.2 梯度的性质
∇c=0
∇(RS)= ∇R+∇S
R1
()
2
(SRRS),S0
SS
[f(S)]f
(S)S
其中，C为常数，R、S为两个标量场，
f
为一连续可微函数。
3 散度（Divergence）
散度是哈密顿算子与矢量函数
f
点积的结果，是一个标量。设矢量函数
ff
x
if
y
jf
z
k=(f
x
,f
y
,f
z
)
则散度表示为：
f
x
f
y
f
z
divff(,,)(f
x
,f
y
,f
z
)
xyzxyz
散度是描述空气从周围汇合到某一处或从某一处散开来程度的量。它可用于表征空间
各点矢量场发散的强弱程度，物理上，散度的意义是场的有源性。
当
divf0
，该点有散发通量的正源（发散源）；
当
divf0
，该点有吸收通量的负源（洞或汇）；
当
divf=0
，该点无源。
4 旋度（Curl, Rotation）
旋度是哈密顿算子与矢量函数f叉积的结果，是一个矢量，设矢量函数
ff
x
if
y
jf
z
k=(f
x
,f
y
,f
z
)
则旋度：
i
curlf=rotff
x
f
x
j
y
f
y
k
f
ff
ff
f
(
z
y
)i(
x
z
)j(
y
x
)k
zyzzxxy
f
z
旋度是矢量分析中的一个矢量算子，可以表示三维矢量场对某一点附近的微元造成的
旋转程度。该向量提供了向量场在这一点的旋转性质。
小提示：
通量是单位时间内通过某个曲面的量，散度是通量的强度。
环流量是单位时间内环绕的某个曲线的量，旋度是环流量强度。
5 拉普拉斯算子（Laplace Operator）
拉普拉斯算子是n维欧几里得空间中的二阶微分算子，定义为梯度（∇
f
）的散度（∇∙
f
）。
拉普拉斯算子定义为：
2
ff
即：
fff
2
f
2
f
2
f
ff=(,,)(,,)=
2
2
2
xyzxyzxyz
2
6 重要的公式
6.1 算符的对易性
函数S(x,y,z,t)满足必要的连续性条件时：
S
2
SS
2
S
()()
xtxttxtx
0
tt
2
2
0
tt
6.2 梯度、散度和旋度的混合运算
rot(gradS)(S)0
（标量场S的梯度没有旋转变换）
div(rotA)(A)0
（向量场A的旋度没有胀缩变化）
2
Sdiv(gradS)(S)
(A)(A)
2
A
2
A(A)(A)
（向量分解恒等式）
其中，
=A
（无源场，有散场，标量场）
=A
（有旋场，向量场）
版权声明：本文标题：梯度、散度和旋度——定义及公式 内容由网友自发贡献，该文观点仅代表作者本人， 转载请联系作者并注明出处：http://roclinux.cn/b/1713262436a626488.html， 本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌抄袭侵权/违法违规的内容，一经查实，本站将立刻删除。
发表评论