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2024年4月15日发(作者：网络教学软件有哪些)
两个可数集的直积是可数集证明
设集合A和B是两个可数集。
首先，我们定义直积集合A × B为由所有有序对(a, b)组成的集
合，其中a ∈ A，b ∈ B。换句话说，A × B包含了所有可能的元素
对(a, b)，其中a来自于集合A，b来自于集合B。
为了证明A × B是可数集，我们需要展示一个可数的枚举集或者
构建一个从自然数的集合到A × B的一对一映射。
我们可以使用康托对角线论证的思想来证明这个结论。康托对角
线论证是由德国数学家Georg Cantor提出的一种证明集合的基本数学
概念的方法，也被广泛应用于证明可数集的性质。
假设A的元素按照如下的顺序排列：a1, a2, a3, ...，B的元素
按照如下的顺序排列：b1, b2, b3, ...。
现在，我们根据这样的顺序生成直积集合A × B的枚举列表：
A × B = {(a1, b1), (a1, b2), (a2, b1), (a1, b3), (a2,
b2), (a3, b1), ...}
我们可以看到，A × B中的第一对元素是(a1, b1)，第二对元素
是(a1, b2)，第三对元素是(a2, b1)，第四对元素是(a1, b3)，以此
类推。
通过这种方法，我们可以为每一个有序对(a, b)，其中a ∈ A，b
∈ B，分配一个唯一的索引号。考虑索引号的顺序，我们可以以如下
方式对直积集合A × B进行枚举：
A × B = {(a1, b1), (a1, b2), (a2, b1), (a1, b3), (a2,
b2), (a3, b1), ...}
我们可以通过以下步骤建立一个从自然数集合N到直积集合A ×
B的一对一映射：
1.第一对元素(a1, b1)可以映射到自然数1。
2.第二对元素(a1, b2)可以映射到自然数2。
3.第三对元素(a2, b1)可以映射到自然数3。
4.第四对元素(a1, b3)可以映射到自然数4。
5.第五对元素(a2, b2)可以映射到自然数5。
6.第六对元素(a3, b1)可以映射到自然数6。
7. ...
通过这个映射，我们可以将每一个有序对(a, b)都映射到一个自
然数。因此，我们可以得出结论，直积集合A × B是可数集。
综上所述，我们证明了两个可数集的直积是可数集的结论。
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