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2024年4月22日发(作者：创新驱动发展战略合作框架协议书)
二次型正定主对角线元素大于0证明
（最新版）
目录
1.引言
2.二次型正定的定义和性质
3.证明方法一：平方法
4.证明方法二：正交化方法
5.结论
正文
1.引言
在线性代数中，二次型是一个重要的概念。二次型正定是二次型的一
种性质，它有着广泛的应用。本篇文章将介绍如何证明二次型正定主对角
线元素大于 0。
2.二次型正定的定义和性质
二次型是一个关于变量的二次函数，它可以写成矩阵的形式。如果一
个二次型的标准形式（即主对角线元素为 1，其他元素为 0）的行列式大
于 0，那么这个二次型就是正定的。
二次型正定的性质有：
（1）如果一个二次型是正定的，那么它的任意一个正交变换后仍然
是正定的。
（2）如果一个二次型的主对角线元素都大于 0，那么这个二次型就
是正定的。
3.证明方法一：平方法
我们可以通过平方法来证明二次型正定主对角线元素大于 0。具体步
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骤如下：
设二次型为 A，其中 A 的主对角线元素为 a_ii（i=1,2,...,n）。
我们需要证明 a_ii>0。
我们先将二次型 A 表示成矩阵的形式，然后对矩阵 A 进行平方操作，
即求矩阵 A 的特征值。
由于 A 是正定的，所以它的所有特征值都是实数。我们设 A 的特征
值为λ_i（i=1,2,...,n）。
根据特征值和特征向量的定义，我们可以得到以下等式：
Ax = λ_ix，其中 x 是特征向量。
我们对上述等式进行平方操作，得到：
A^2x = λ_i^2x。
由于 A^2 是 A 的矩阵乘以 A 的矩阵，所以 A^2 的特征值是 A 的
特征值的平方。即：
λ_i^2 = a_ii。
由于 A 是正定的，所以它的所有特征值都大于 0。因此，a_ii = λ
_i^2 > 0。
所以，我们证明了二次型正定主对角线元素大于 0。
4.证明方法二：正交化方法
我们也可以通过正交化方法来证明二次型正定主对角线元素大于 0。
具体步骤如下：
设二次型为 A，其中 A 的主对角线元素为 a_ii（i=1,2,...,n）。
我们需要证明 a_ii>0。
我们先将二次型 A 表示成矩阵的形式，然后对矩阵 A 进行正交变换。
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设矩阵 A 的正交矩阵为 Q，即 A = Q^TQ。由于 Q 是正交矩阵，所
以 Q^T = Q^-1。
我们可以得到以下等式：
A = Q^TQ = (Q^-1)^T(Q^-1) = (Q^-1)^2。
根据正交矩阵的性质，我们知道 Q^-1 的主对角线元素都为 1。所以，
(Q^-1)^2 的主对角线元素都为 1。
由于 A 的主对角线元素等于 (Q^-1)^2 的主对角线元素，所以
a_ii = (Q^-1)^2 的主对角线元素。
由于 (Q^-1)^2 的主对角线元素都为 1，所以 a_ii = 1。
所以，我们证明了二次型正定主对角线元素大于 0。
5.结论
通过平方法和正交化方法，我们都证明了二次型正定主对角线元素大
于 0。
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