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2024年3月29日发(作者：padding默认值)
题目一：多项式插值
某气象观测站在8：00（AM）开始每隔10分钟对天气作如下观测，用三次
多项式插值函数（Newton）逼近如下曲线，插值节点数据如上表，并求出9点
30分该地区的温度（x=10）。
x
y
1
2
3
4
5
6
7
8
二、数学原理
假设有n+1个不同的节点及函数在节点上的值（x
0
，y
0
），……（x
n
，y
n
），
插值多项式有如下形式：
P（
0
（
（(xx
1
)
（（xx
n
）
n
x）
1
x-x
0
）
2
x-x
0
）
n
x-x
0
）（xx
1
）
（1）
（y
i
其中系数
i
（i=0,1,2……n）为特定系数，可由插值样条
P
n
x
i
）
（i=0,1,2……n）确定。
根据均差的定义，把x看成[a,b]上的一点,可得
f(x)= f（
x
0
）+f[
x
0
，x
1
]（
x-x
0
）
f[x,
x
0
]= f[
x
0
，x
1
]+f[x,
x
0
，x
1
] （
x-x
1
）
……
f[x,
x
0
，…x
n-1
]= f[x,
x
0
，…x
n
]+ f[x,
x
0
，…x
n
](x-x
n
)
综合以上式子，把后一式代入前一式，可得到：
f(x)= f[
x
0
]+f[
x
0
，x
1
]（
x-x
0
）+ f[
x
0
，x
1
，x
2
]（
x-x
0
）（
x-x
1
）+
（
…+ f[x,
x
0
，…x
n
]（
x-x
0
）…(x-x
n-1
)+ f[x,
x
0
，…x
n
,
x
]
n
= N
n
1
x）
（x）+
R（
n
x）
其中
N
n
（x）= f[
x
0
]+f[
x
0
，x
1
]（
x-x
0
）+ f[
x
0
，x
1
，x
2
]（
x-x
0
）（
x-x
1
）
+
…+ f[x,
x
0
，…x
n
]（
x-x
0
）…(x-x
n-1
)
（2）
R（
n
x）
= f(x)- N
n
（x）= f[x,
x
0
，…x
n
,
x
]
n
（
1
x）
（3）
n
（
=（
x-x
0
）…(x-x
n
)
1
x）
Newton插值的系数
i
（i=0,1,2……n）可以用差商表示。一般有
k
f
（4）
[
x
0
，x
1
x
k
] （k=0,1,2，……，n ）
f（x
i
）
把（4）代入（1）得到满足插值条件N
（
（i=0,1,2，……n）的
n
x
i
）
n次Newton插值多项式
N
n
（x）=f（
x
0
）+f[
x
0
，x
1
]（
x-x
1
）+f[
x
0
，x
1
，x
2
]（
x-x
1
）（
x-x
2
）
+……+f[
x
0
，x
1
x
n
]（
x-x
1
）（
x-x
2
）…（
x-x
n-1
）.
其中插值余项为：
1
f
n
（
）
x）f（x）-N（x）
n
（
R（
n1
x）
（n1）！
介于
x
0
，x
1
x
k
之间。
三、程序设计
function [y,A,C,L]=newdscg(X,Y,x,M)
% y为对应x的值，A为差商表，C为多项式系数，L为多项式
% X为给定节点，Y为节点值，x为待求节点
n=length(X); m=length(x); % n为X的长度
for t=1:m
z=x(t); A=zeros(n,n);A(:,1)=Y';
s=; p=; q1=; c1=;
for j=2:n
for i=j:n
A(i,j)=(A(i,j-1)- A(i-1,j-1))/(X(i)-X(i-j+1));
end
q1=abs(q1*(z-X(j-1)));c1=c1*j;
end
C=A(n,n);q1=abs(q1*(z-X(n)));
for k=(n-1):-1:1
C=conv(C,poly(X(k)));
d=length(C);C(d)=C(d)+A(k,k);
end
y(k)= polyval(C, z); %输出y值
end
L(k,:)=poly2sym(C); %输出多项式
>> syms M,X=[1,3,5,7];Y=[,,,];x=10;
>> [y,A,C,L]=newdscg(X,Y,x,M)
y =
A =
0 0 0
0 0
0
C =
L =
- x^3/480 - (19*x^2)/160 + (697*x)/480 + 3387/160
四、结果分析和讨论
对于不超过三次的插值多项式，x如果选取1,3,5,7这三个点能够得到较好
的三次插值多项式L=^^2++。当x=10时，也即9点30分时的温度为度，结果分
析知此值应是偏小的。对于选取不同的插值节点，能够得到不同的插值多项式，
误差也不尽相同。
五、完成题目的体会与收获
对于牛顿插值法有了更深的了解，合理选择插值节点很重要。加深了对其原
理的认识，学会了牛顿插值法的matlab编程，对matlab计算方法更加熟悉。通
过完成这道题使我受益匪浅。
版权声明：本文标题：MATLAB 牛顿插值法例题与程序 内容由网友自发贡献，该文观点仅代表作者本人， 转载请联系作者并注明出处：http://roclinux.cn/p/1711688700a605727.html， 本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌抄袭侵权/违法违规的内容，一经查实，本站将立刻删除。
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