2024学年甘肃省庆阳市庆城县陇东中学数学高三第一学期期末学业水平测

2024学年甘肃省庆阳市庆城县陇东中学数学高三第一学期期末学业水平测试试题

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2

1．已知集合

Mx|x3x20

，

Nx|y





xa

若

MNM

，则实数

a

的取值范围为（

）

D

．

[1,)



A

．

(,1]

B

．

(,1)

C

．

(1,)

2．以下两个图表是

2019

年初的

4

个月我国四大城市的居民消费价格指数（上一年同月

100

）变化图表，则以下说

法错误的是（

）

（注：图表一每个城市的条形图从左到右依次是

1

、

2

、

3

、

4

月份；图表二每个月份的条形图从左到右四个城市依次是

北京、天津、上海、重庆）

A

．

3

月份四个城市之间的居民消费价格指数与其它月份相比增长幅度较为平均

B

．

4

月份仅有三个城市居民消费价格指数超过

102

C

．四个月的数据显示北京市的居民消费价格指数增长幅度波动较小

D

．仅有天津市从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势

3．若向量

m(0,2)

，

n(3,1)

，则与

2mn

共线的向量可以是（ ）

A

．

(3,1)

B

．

(1,3)

C

．

(3,1)

D

．

(1,3)

4．关于函数

f(x)sin



x

A

．单调递增









6





在区间





π



,

π



的单调性，下列叙述正确的是（

）

2



C

．先递减后递增

D

．先递增后递减

B

．单调递减

5．如图是

2017

年第一季度五省

GDP

情况图，则下列陈述中不正确的是（ ）

A

．

2017

年第一季度

GDP

增速由高到低排位第

5

的是浙江省．

B

．与去年同期相比，

2017

年第一季度的

GDP

总量实现了增长．

C

．

2017

年第一季度

GDP

总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有

1

个

D

．去年同期河南省的

GDP

总量不超过

4000

亿元．

a



6．若



x

2





的展开式中

x

6

的系数为

150

，则

a

2



（

）

x



A

．

20 B

．

15 C

．

10 D

．

25

6

7．已知命题

p

：

“

ab

”

是

“

2

a

2

b

”

的充要条件；

q:xR

，

|x1|x

，则（

）

A

．



p



q

为真命题

C

．

pq

为真命题

8．复数

i

（ ）

A．

2i

B．

B

．

pq

为真命题

D

．

p



q



为假命题

1

i

1

i

C．0

2

D．

2i

9．百年双中的校训是

“

仁

”

、

“

智

”

、

“

雅

”

、

“

和

”.

在

2019

年

5

月

18

日的高三趣味运动会中有这样的一个小游戏

.

袋子中

有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有

“

仁

”

、

“

智

”

、

“

雅

”

、

“

和

”

四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直

到

“

仁

”

、

“

智

”

两个字都摸到就停止摸球

.

小明同学用随机模拟的方法恰好在第三次停止摸球的概率

.

利用电脑随机产生

1

到

4

之间（含

1

和

4

）取整数值的随机数，分别用

1

，

2

，

3

，

4

代表

“

仁

”

、

“

智

”

、

“

雅

”

、

“

和

”

这四个字，以每三个随机

数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下

20

组随机数：

141 432 341 342 234 142 243 331 112 322

342 241 244 431 233 214 344 142 134 412

由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为（

）

A

．

1

4

B

．

1

5

C

．

2

5

D

．

3

5

10．已知复数

A

．

12i

2ai

1bi

，其中

a

，

bR

，

i

是虚数单位，则

abi

（

）

i

B

．

1

0.2

C

．

5

D

．

5

1



1



clog

1

2

，则

( )

11．已知

a



，

b0.2



2

，

3



2



A

．

abc

12．已知圆

xy

为（

）

22

B

．

bac

C

．

bca

D

．

acb

x

2

y

2

4x2y10

关于双曲线

C:

2

1



a0,b0



的一条渐近线对称，则双曲线

C

的离心率

2

ab

5

4

5

2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

A

．

5

B

．

5

C

．

D

．

13．如图，为测量出高

MN

，选择

A

和另一座山的山顶

C

为测量观测点，从

A

点测得

M

点的仰角

MAN60

0

，

C

点的仰角

CAB45

0

以及

MAC75

0

；从

C

点测得

MCA60

0

．已知山高

BC100m

，则山高

MN

__________

m

．



2

1



y

14．曲线



x



lnx

在

(1,0)

处的切线方程是

_________

．

x



2

15．过抛物线

C

：

y2px

（

p0

）的焦点

F

且倾斜角为锐角的直线

l

与

C

交于

A

，

B

两点，过线段

AB

的中点

N

且垂直于

l

的直线与

C

的准线交于点

M

，若

MN

3

AB

，则

l

的斜率为

______.

3

x

16．已知函数

f(x)eax1

，若

x0,f(x)0

恒成立，则

a

的取值范围是

___________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）记抛物线

C:y2px(p0)

的焦点为

F

，点

D,E

在抛物线

C

上，且直线

DE

的斜率为

1

，当直线

DE

过点

F

时，

|DE|4

.

（

1

）求抛物线

C

的方程；

2

（

2

）若

G(2,2)

，直线

DO

与

EG

交于点

H

，

DIEI0

，求直线

HI

的斜率

.

18．（12分）一张边长为

2m

的正方形薄铝板

ABCD

（图甲），点

E

，

F

分别在

AB

，

BC

上，且

AECFx

（单

位：

m

）

.

现将该薄铝板沿

EF

裁开，再将

DAE

沿

DE

折叠，

DCF

沿

DF

折叠，使

DA

，

DC

重合，且

A,C

重合

于点

M

，制作成一个无盖的三棱锥形容器

DMEF

（图乙），记该容器的容积为

V

（单位：

m

3

），（注：薄铝板的厚

度忽略不计）

（

1

）若裁开的三角形薄铝板

EFB

恰好是该容器的盖，求

x

，

V

的值；

（

2

）试确定

x

的值，使得无盖三棱锥容器

DMEF

的容积

V

最大

.

19．（12分）已知

a,b(0,)

，

a(1b)b(a1)

，

f(x)|2x1||x2|

.

（

1

）求

a

2

b

2

的最小值；

（

2

）若对任意

a,b(0,)

，都有

f(x)4ab



22



，求实数

x

的取值范围

.

20．（12分）如图，在四棱锥

P

—

ABCD

中，四边形

ABCD

为平行四边形，

BD

⊥

DC

，

△

PCD

为正三角形，平面

PCD

⊥

平面

ABCD

，

E

为

PC

的中点．

（

1

）证明：

AP

∥平面

EBD

；

（

2

）证明：

BE

⊥

PC

．

21．（12分）在平面直角坐标系

直线的参数方程为

中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线：

（为参数）

.

直线与曲线交于，两点．

，

（

I

）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程（不要求具体过程）；

（

II

）设，若，，成等比数列，求的值．

22．（10分）在最新公布的湖南新高考方案中，

“

312

”

模式要求学生在语数外

3

门全国统考科目之外，在历史和物

理

2

门科目中必选且只选

1

门，再从化学、生物、地理、政治

4

门科目中任选

2

门，后三科的高考成绩按新的规则转

换后计入高考总分

.

相应地，高校在招生时可对特定专业设置具体的选修科目要求

.

双超中学高一年级有学生

1200

人，

现从中随机抽取

40

人进行选科情况调查，用数字

1~6

分别依次代表历史、物理、化学、生物、地理、政治

6

科，得到

如下的统计表：

序号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

选科情况

134

235

235

145

156

245

256

235

235

236

序号

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

选科情况

236

234

145

135

236

236

156

236

145

235

序号

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

选科情况

156

235

245

235

256

156

134

235

246

156

序号

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

选科情况

235

236

235

135

156

236

156

134

235

245

（

1

）双超中学规定：每个选修班最多编排

50

人且尽量满额编班，每位老师执教

2

个选修班（当且仅当一门科目的选

课班级总数为奇数时，允许这门科目的

1

位老师只教

1

个班）

.

已知双超中学高一年级现有化学、生物科目教师每科各

8

人，用样本估计总体，则化学、生物两科的教师人数是否需要调整？如果需要调整，各需增加或减少多少人？

（

2

）请创建列联表，运用独立性检验的知识进行分析，探究是否有

99%

的把握判断学生

“

选择化学科目

”

与

“

选择物理

科目

”

有关

.

n



adbc



2

附：

K



ab



cd



ac



bd



P



K

2

k



0.100 0.050 0.010 0.001

2

k

2.706 3.841 6.635 10.828

（

3

）某高校

A

在其热门人文专业

B

的招生简章中明确要求，仅允许选修了历史科目，且在政治和地理

2

门中至少选

修了

1

门的考生报名

.

现从双超中学高一新生中随机抽取

3

人，设具备

A

高校

B

专业报名资格的人数为

X

，用样本的

频率估计概率，求

X

的分布列与期望

.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、

A

【解题分析】

解一元二次不等式化简集合

M

的表示，求解函数

y

到集合

M

、

N

之间的关系，结合数轴进行求解即可

.

【题目详解】

xa

的定义域化简集合

N

的表示，根据

MNM

可以得

M



x|x

2

3x20







x|1x2



，

Nx|yxa



x|xa



.

因为

MNM

，所以有

MN

，因此有

a1

.

故选：

A

【题目点拨】

本题考查了已知集合运算的结果求参数取值范围问题，考查了解一元二次不等式，考查了函数的定义域，考查了数学

运算能力

.

2、

D

【解题分析】

采用逐一验证法，根据图表，可得结果

.

【题目详解】

A

正确，从图表二可知，

3

月份四个城市的居民消费价格指数相差不大

B

正确，从图表二可知，

4

月份只有北京市居民消费价格指数低于

102



C

正确，从图表一中可知，

只有北京市

4

个月的居民消费价格指数相差不大

D

错误，从图表一可知

上海市也是从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势

故选：

D

【题目点拨】

本题考查图表的认识，审清题意，细心观察，属基础题

.

3、

B

【解题分析】

先利用向量坐标运算求出向量

2mn

,

然后利用向量平行的条件判断即可

.

【题目详解】



3,1



2mn



3,3



m



0,2



,n



1,3



3

3



3,3



故选

B

【题目点拨】

本题考查向量的坐标运算和向量平行的判定

,

属于基础题

,

在解题中要注意横坐标与横坐标对应

,

纵坐标与纵坐标对应

,

切

不可错位

.

4、

C

【解题分析】

先用诱导公式得

f(x)sin



x

【题目详解】

函数

f(x)sin



x

递减后递增

.













cosx



,

再根据函数图像平移的方法求解即可

.

6



3

















π





ycosx

f(x)

cosx

,,

的图象可由向左平移个单位得到如图所示在



,

π



上先



3

6



3





2





故选：

C

【题目点拨】

本题考查三角函数的平移与单调性的求解

.

属于基础题

.

5、

C

【解题分析】

利用图表中的数据进行分析即可求解

.

【题目详解】

对于

A

选项：

2017

年第一季度

5

省的

GDP

增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，故

A

正确；

对于

B

选项：与去年同期相比，

2017

年第一季度

5

省的

GDP

均有不同的增长，所以其总量也实现了增长，故

B

正确；

对于

C

选项：

2017

年第一季度

GDP

总量由高到低排位分别是：江苏、山东、浙江、河南、辽宁，

2017

年第一季度

5

省的

GDP

增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，均居同一位的省有

2

个，故

C

错误；

对于

D

选项：去年同期河南省的

GDP

总量

4067.4

故选：

C.

【题目点拨】

本题考查了图表分析，学生的分析能力，推理能力，属于基础题

.

6、

C

【解题分析】

2266

通过二项式展开式的通项分析得到

C

6

ax150x

，即得解

.

1

3815.574000

，故

D

正确

.

16.6%

【题目详解】

由已知得

T

r1

C

故当

r

r

6



x



2

6r



a



rr123r

，



C

6

(a)x



x



r

2

时，

123r6

，

2266

于是有

T

3

C

6

ax150x

，

则

a

2

10

.

故选：

C

【题目点拨】

本题主要考查二项式展开式的通项和系数问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平

.

7、

B

【解题分析】

由

y2

的单调性，可判断

p

是真命题；分类讨论打开绝对值，可得

q

是假命题，依次分析即得解

x

【题目详解】

由函数

y2

是

R

上的增函数，知命题

p

是真命题．

对于命题

q

，当

x10

，即

x1

时，

x1x1x

；

当

x10

，即

x1

时，

x1x1

，

1

由

x1x

，得

x

，无解，

2

x

因此命题

q

是假命题．所以



p



q

为假命题，

A

错误；

pq

为真命题，

B

正确；

pq

为假命题，

C

错误；

p



q



为真命题，

D

错误．

故选：

B

【题目点拨】

本题考查了命题的逻辑连接词，考查了学生逻辑推理，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题

.

8、C

【解题分析】略

9、

A

【解题分析】

由题意找出满足恰好第三次就停止摸球的情况，用满足恰好第三次就停止摸球的情况数比

20

即可得解

.

【题目详解】

由题意可知当

1

，

2

同时出现时即停止摸球，则满足恰好第三次就停止摸球的情况共有五种：

142

，

112

，

241

，

142

，

412.

则恰好第三次就停止摸球的概率为

p

故选：

A.

【题目点拨】

本题考查了简单随机抽样中随机数的应用和古典概型概率的计算，属于基础题

.

10、

D

【解题分析】

试题分析：由

51



.

204

2ai

1bi

,

得

2aii



1bi



bi,a1,b2

,

则

i

abi12i,abi12i

考点：

1

、复数的运算；

2

、复数的模

.



1



2

2

2

5

，故选

D.

11、

B

【解题分析】

利用指数函数和对数函数的单调性，将数据和

0,1

做对比，即可判断

.

【题目详解】



1



由于

0





2



0.2



1







1

，



2



0

0.2



1

2



1

5

，

1

5

3

log

1

2log

1

10

3

故

bac

.

故选：

B.

【题目点拨】

本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，属基础题

.

12、

C

【解题分析】

1



.

根据圆

x

2

y

2

4x2y10

关于双曲线将圆

x

2

y

2

4x2y10

，化为标准方程为，求得圆心为



2，

2

b1

x

2

y

2

cb



C:

2



2

1



a0,b0



的一条渐近线对称，则圆心在渐近线上，



.

再根据

e1



求解

.

a2

a

ab



a



【题目详解】

已知圆

x

2

y

2

4x2y10

，

所以其标准方程为：



x2







y1



4

，

22

1



.

所以圆心为



2，

x

2

y

2

因为双曲线

C:

2



2

1



a0,b0



，

ab

所以其渐近线方程为

y

b

x

，

a

又因为圆

xy

22

x

2

y

2

4x2y10

关于双曲线

C:

2

1



a0,b0



的一条渐近线对称，

2

ab

则圆心在渐近线上，