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2024年4月15日发(作者：系统分析师 难度)
帕斯卡定理在几何中的应用
帕斯卡定律：加在密闭液体任一部分的压强，必然按其原来的大小，由液体向各个方
向传递
发现定理 1651~1654年，帕斯卡研究了液体静力学和空气的重力的各种效应。经过
数年的观察、实验和思考，综合成《论液体的平衡和空气的重力》一书。提出了着名的帕
斯卡定律（或称帕斯卡原理），即；加在密闭液体任何一部分上的压强，必然按照其原来
的大小由液体向各个方向传递。着名科学史家沃尔夫称，帕斯卡的这一发现是17世纪力
学发展的一个重要里程碑。帕斯卡在此书中详细讨论了液体压强问题。在第一章中，帕斯
卡叙述了几种实验，它们的结果表明，任何水柱，不论直立或倾斜，也不论其截面积的大
小，只要竖直高度相同，则施加于水柱底部的某一已知面积的活塞上的力也相同。这一个
力实际上是液体所受的重力。书中详细叙述了密封容器中的流体能传递压强，讨论了连通
器的原理。帕斯卡利用一个充水的容器，它有两个圆筒形的出口，除此之外，其他部分都
封闭。两个出口的截面积相差100倍，在每一个出口的圆筒中放入一个大小刚好适合的活
塞，则小活塞上一个人施加的推力等于大活塞上100人所施加的推力，因而可以胜过大活
塞上99个人施加的推力，不管这两个出口大小的比例如何，只要施加于两个活塞上的力
和两个出口的大小成比例，则水的平衡就可以实现。帕斯卡在书中一一叙述了密闭液体、
压强不变、向各方 传递等帕斯卡定律的基本点。 此书是帕斯卡于1653年写成的，但直
到他逝世后的第二年----1663年才首次面世。 帕斯卡是在大量观察、实验的基础上，又
用虚功原理加以；证明才发现了帕斯卡定律的。在帕斯卡做过的大量实验中，最着名的一
个是这样的：他用一个木酒桶，顶端开一个孔，孔中插接一根很长的铁管子，将接插口密
封好。实验的时候，酒桶中先权满水，然后慢慢地往铁管子里注几杯水，当管子中的水柱
高达几米的时候，就见木桶突然破裂，水从裂缝中向四面八方喷出。 帕斯卡定律的发现，
为流体静力学的建立奠定了基础。帕斯卡还在这一定律的基础上提出了连通器的原理和后
来得到广泛应用的水压机的最初设想。他又指出器壁上所受的、由于液体重力而产生的压
强，仅仅与深度有关；他用实验，并从理论上解释了与此有关的液体静力学佯谬现象。他
在一周之内就突击读完了欧几里得《几何原本》的前六本，并还能把它应用于力学。1653
年，他进入牛津大学里奥尔学院做工读生。他没有取得学士学位，而是在1663年获得文
学硕士学位。
斯卡定律是流体（气体或液体）力学中，指封闭容器中的静止流体的某一部分发生的
压强变化，将毫无损失地传递至流体的各个部分和容器壁。帕斯卡首先阐述了此定律。压
强等于作用力除以作用面积。根据帕斯卡原理，在水力系统中的一个活塞上施加一定的压
强，必将在另一个活塞上产生相同的压强增量。如果第二个活塞的面积是第一个活塞的面
积的10倍，那么作用于第二个活塞上的力将增大为第一个活塞的10倍，而两个活塞上的
压强仍然相等。水压机就是帕斯卡原理的实例。它具有多种用途，如液压制动等。帕斯卡
还发现：静止流体中任一点的压强各向相等，即该点在通过它的所有平面上的压强都相等。
这一事实也称作帕斯卡原理（定律）。
帕斯卡（Pascal，Blaise），法国数学家、物理学家、近代概率论的奠基者。他提出一
个关于液体压力的定律，后人称为帕斯卡定律。他建立的直觉主义原则对于后来一些哲学
家，如卢梭和伯格森等都有影响。
帕斯卡生于法国奥弗涅的克莱蒙费朗，帕斯卡从小就智力高人一等，12岁时就爱上数
学，他父亲是一位受人尊敬的数学家，在其精心地教育下，帕斯卡很小时就精通欧几里得
几何，他自己独立地发现出欧几里得的前32条定理，而且顺序也完全正确。12岁独自发
现了 “三角形的内角和等于180度”后，开始师从父亲学习数学。16岁就参加巴黎数学
家和物理学家小组（法国科学院的前身），17岁时写成数学水平很高的《圆锥截线论》一
文，这是他研究德扎尔格关于综合射影几何的经典工作的结果。笛卡儿坚决不相信16岁
的孩子能够写出来这样的书，帕斯卡反过来也不承认笛卡儿的解析几何的价值。1642年，
刚满19岁的他，设计制造了世界上第一架机械式计算装置——使用齿轮进行加减运算的
计算机，原只是想帮助他父亲计算税收用，这是他为了减轻父亲计算中的负担，动脑筋想
出来的，却因此而闻名于当时，它成为后来的计算机的雏型。在加法机研制成功之后，帕
斯卡认为：人的某些思维过程与机械过程没有差别，因此可以设想用机械模拟人的思维活
动。
帕斯卡定理，是二次曲线上的定理。同样适应于相交的直线，圆锥曲线。为射影几何
的重要定理。
射影几何的定理，单纯用综合几何证明会比较困难。尤其是圆锥曲线上的射影几何定
理。
相交直线上的帕斯卡定理就是帕普斯定理，前文已证。
下面只证圆上的帕斯卡定理。根据射影几何的不变量，可知，在圆上成立，在其它圆
锥曲线上也成立。
设ABCDEF为圆的内接六边形，AE与BF交于点P，BD与CE交于点Q，AD与CF
交于点T，则P,T,Q三点共线。
证明：作三角形TCD的外接圆，交EC，BD于点G和点H。
连接BE。连接GT,TH，HG。
在TCD的外接圆中，和原来的圆中，由圆周角定理，得，角TGC=角TDC=角ADC=
角AEC，即角TGC=角AEC，因此，PE//TG。
同理可证，EB//GH,PB//TH。
三角形PEB与三角形TGH位似。PT连线过位似中心Q。
所以P,T,Q三点共线。(这个证明的辅助线作法可遇而不可求。如果真的需要用到帕斯
卡定理来证明的题目，那么，多半是数学竞赛才有的题。)
射影几何用交比来证明此定理。
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