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2024年4月22日发(作者：access拒绝访问)

第二章 矩阵应用例子

矩阵的概念是从大量各种各样的实际问题中抽象出来的，是最基本的数

学概念之一.矩阵概念贯穿线性代数的各方面，许多问题的数量关系都可以通过

矩阵来描述，因而矩阵是科学研究的一个非常重要的工具.它在自然科学、工程

技术、经济管理等领域有着广泛的应用. 本章主要列举了矩阵在经济、统计、信

息技术等方面的应用.

例1 生产成本

某工厂生产三种产品. 它的成本分为三类. 每一类成本中，给出生产单个产品时估计需

要的量. 同时给出每季度生产每种产品数量的估计. 这些估计在表2-1和表2-2中给出. 该公

司希望在股东会议上用一个表格展示出每一季度三类成本中的每一类成本的数量：原料费、

工资和管理费.

表2-1 生产单位产品的成本（美元）

成 本

原料费

工资

管理费和其他

产 品

B

0.30

0.40

0.20

表2-2 每季度产量

产 品

A

B

C

季 度

夏季

4 000

2 000

5 800

秋季

4 500

2 600

6 200

冬季

4 500

2 400

6 000

春季

4 000

2 200

6 000

A

0.10

0.30

0.10

C

0.15

0.25

0.15

解 我们用矩阵的方法考虑这个问题. 这两个表格中的每一个均可表示为一个矩阵.

0.100.300.15

M

0.300.400.25



0.100.200.15

及

4000

P

2200



5800

如果我们构造乘积

MP

，则

MP

的第一列表示夏季的成本.

原料费：

(0.10)(4000)(0.30)(2000)(0.15)(5800)1870

工资：

(0.30)(4000)(0.40)(2000)(0.25)(5800)3450

管理费和其他：

(0.10)(4000)(0.20)(2000)(0.15)(5800)1670

MP

的第二列表示秋季的成本.

原料费：

(0.10)(4500)(0.30)(2600)(0.15)(6200)2160

工资：

(0.30)(4500)(0.40)(2600)(0.25)(6200)3940

管理费和其他：

(0.10)(4500)(0.20)(2600)(0.15)(6200)1900

MP

的第三列和第四列表示冬季和春季的成本.

1870

MP

3450



1670

MP

第一行的元素表示四个季度中每一季度原料的总成本. 第二和第三行的元素分别表示

四个季度中每一季度工资和管理的成本. 每一类成本的年度总成本可由矩阵的每一行元素

相加得到. 每一列元素相加，即可得到每一季度的总成本. 表2-3汇总了总成本.

表2-3

原料费

工资

管理费和其他

总计

夏季

1 870

3 450

1 670

6 990

秋季

2 160

3 940

1 900

8 000

季 度

冬季

2 070

3 810

1 830

7 710

春季

1 960

3 580

1 740

7 280

全年

8 060

14 780

7 140

29 980

例2 生态学：海龟的种群统计学

管理和保护很多野生物种依赖于我们模型化动态种群的能力. 一个经典的模型化方法

是将物种的生命周期划分为几个阶段. 该模型假设每一阶段种群的大小仅依赖于雌性的数

量，并且每一个雌性个体从一年到下一年存活的概率仅依赖于它在生命周期中的阶段，而并

不依赖于个体的实际年龄. 例如，我们考虑一个4个阶段的模型来分析海龟的动态种群.

在每一个阶段，我们估计出1年中存活的概率，并用每年期望的产卵量近似给出繁殖能

力的估计. 这些结果在表2-4中给出. 在每一阶段名称后的圆括号中给出该阶段近似的年龄.

表2-4 海龟种群统计学的4个阶段

阶段编号

1

2

3

4

描述（年龄以年为单位）

卵、孵化期（<1）

幼年和未成年期（1~21）

初始繁殖期（22）

成熟繁殖期（23~54）

年存活率

0.67

0.74

0.81

0.81

年产卵量

0

0

127

79

若

d

i

表示第

i

个阶段持续的时间，

s

i

为该阶段每年的存活率，那么在第

i

阶段中，下一

年仍然存活的比例将为

1s

i

d

i

1

p

i

s

（1）

d

i

i

1s

i

而下一年转移到第

i1

个阶段时，可以存活的比例应为

s

i

d

i

(1s

i

)

（2）

q

i

1s

i

d

i

若令

e

i

表示阶段

i(i2,3,4)

1年中平均的产卵量，并构造矩阵

p

1

q

L

1

0

0

e

2

p

2

q

2

0

e

3

0

p

3

q

3

e

4

0

（3）

0

p

4

则

L

可以用于预测以后每阶段海龟的数量. 形如（3）的矩阵称为莱斯列（Leslie）矩阵，相

应的种群模型通常称为莱斯利种群模型. 利用表1给出的数字，模型的莱斯利矩阵为

012779



0

0.670.73940

0

L

00.000600



000.810.8077



假设初始时种群在各个阶段的数量分别为200 000，300 000，500和1 500. 若将这个初

始种群数量表示为向量

x

0

，1年后各个阶段的种群数量可如下计算：

012779



200000



182000



0

0.670.73940



300000



355820

0





x

1

Lx

0

00.000600



500



180



000.810.8



（上述结果已经四舍五入到最近的整数了.）为求得2年后种群数量向量，再次乘以矩阵

L

.

x

2

Lx

1

L

2

x

0

x

k

L

k

x

0

k

一般地，年后种群数量可通过计算向量求得. 为观察长时间的趋势，我们计算

x

10

,x

25

,x

50

. 结果归纳在表2-5中. 这个模型预测，繁殖期的海龟数量将在50年后减少80%.

表2-5 海龟种群预测

阶段编号

1

2

3

4

初始种群数量

200 000

300 000

500

1 500

10年

114 264

329 212

214

1 061

25年

74 039

213 669

139

687

50年

35 966

103 795

68

334

例3 密码问题

在密码学中，称原来的消息为明文，经过伪装了的明文则成了密文，由明文

变成密文的过程称为加密. 由密文变成明文的过程称为译密. 明文和密文之间的

转换是通过密码实现的.

在英文中，有一种对消息进行保密的措施，就是把消息中的英文字母用一个

整数来表示，然后传送这组整数. 如

A~Z

的26个英文字母与1~26的数字一一

对应.

例如，发送“SEND MONEY”这九个字母就可用[19，5，14，4，13，15，

14，5，25]这九个数来表示. 显然5代表E，13代表M，…这种方法很容易被破

译. 在一个很长的消息中，根据数字出现的频率，往往可以大体估计出它所代表

的字母. 例如，出现频率特别高的数字很可能对应出现频率特别高的字母.

我们可以用矩阵乘法对这个消息进一步加密. 假如

A

是一个对应行列式等

于

1

的整数矩阵，则

A

1

的元素也必定是整数. 可以用这样一个矩阵对消息进行

变换，而经过这样变换的消息是较难破译的. 为了说明问题，设

100



A

315

,

201



则

100



A

1

1315

.

201



把编了码的消息组成一个矩阵

19414



B

5135

,

141525



乘积

414



100



19414



19



AB

315



5135

132100172

.

201



141525



2473



所以，发出去的消息为[19，132，

24

，4，100，7，14，172，

3

]. 这与原

来的那组数字不大相同，例如，原来两个相同的数字5和14在变换后成为不同

的数字，所以就难于按照其出现的频率来破译了. 而接收方只要将这个消息乘以

A

1

，就可以恢复原来的消息.

414



19414



100



19



13151321001725135



.

201



247



3



141525

要发送的信息可以按照两个或三个一组排序，如果是两个字母为一组，那么

选二阶可逆矩阵，如果是三个字母为一组，则选三阶可逆矩阵. 在字母分组的过

程中，如果最后一组字母缺码，则要用

Z

或

YZ

顶位.


本文标签： 矩阵 种群 阶段

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