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2024年4月16日发(作者：schematic下载)
世界近代三大数学难题之一----哥德巴赫猜想
哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国
彼得堡科学院院士。1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数(只
能被和它本身整除的数)之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。1742年6月，哥德巴赫写信将
这个问题告诉给意大利大数学家欧拉，并请他帮助作出证明。欧拉在6月30日给他的回信
中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一
指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。他们对一个个偶数开始进行
验算，一直算到3.3亿，都表明猜想是正确的。但是对于更大的数目，猜想也应是对的，然
而不能作出证明。欧拉一直到死也没有对此作出证明。从此，这道著名的数学难题引起了世
界上成千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇
冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年、挪
威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为
(99)。这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从(9十9)开始，逐步减少每个数里所含
质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了“哥德巴赫”。 1924
年，数学家拉德马哈尔证明了(7＋7)；1932年，数学家爱斯尔曼证明了(6＋6)；1938年，数
学家布赫斯塔勃证明了(5十5)，1940年，他又证明了(4＋4)；1956年，数学家维诺格拉多
夫证明了(3＋3)；1958年，我国数学家王元证明了(2十3)。随后，我国年轻的数学家陈景
润也投入到对哥德巴赫猜想的研究之中，经过10年的刻苦钻研，终于在前人研究的基础上
取得重大的突破，率先证明了(l十2)。至此，哥德巴赫猜想只剩下最后一步(1＋1)了。陈景
润的论文于1973年发表在中国科学院的《科学通报》第17期上，这一成果受到国际数学界
的重视，从而使中国的数论研究跃居世界领先地位，陈景润的有关理论被称为“陈氏定理”。
1996年3月下旬，当陈景润即将摘下数学王冠上的这颗明珠，“在距离哥德巴赫猜想(1＋1)
的光辉顶峰只有飓尺之遥时，他却体力不支倒下去了……”在他身后，将会有更多的人去攀
登这座高峰。
几个未解的题。
1、求 (1/1)^3+（1/2）^3+(1/3)^3+(1/4)^3+(1/5)^3+ … +（1/n）^3=? 更一般地：
当k为奇数时 求(1/1)^k+（1/2）^k+(1/3)^k+(1/4)^k+(1/5)^k+ … +（1/n）^k=?
欧拉已求出：
(1/1)^2+（1/2）^2+(1/3)^2+(1/4)^2+(1/5)^2+ … +（1/n）^2=（π^2）/6
并且当k为偶数时的表达式。
2、e+π的超越性
此题为希尔伯特第7问题中的一个特例。
已经证明了e^π的超越性，却至今未有人证明e+π的超越性。
3、素数问题。
证明：ζ(s)=1+(1/2)^s+(1/3)^s+(1/4)^s+(1/5)^s + … (s属于复数域)
所定义的函数ζ(s)的零点，除负整实数外，全都具有实部1/2。此即黎曼猜想。也就是希尔
伯特第8问题。美国数学家用计算机算了ζ(s)函数前300万个零点确实符合猜想。希尔伯特
认为黎曼猜想的解决能够使我们严格地去解决歌德巴赫猜想（任一偶数可以分解为两素数之
和）和孪生素数猜想（存在无穷多相差为2的素数）。
引申的问题是：素数的表达公式？素数的本质是什么？
4、 存在奇完全数吗？
所谓完全数，就是等于其因子的和的数。
前三个完全数是：
6=1+2+3
28=1+2+4+7+14
496=1+2+4+8+16+31+62+124+248
目前已知的32个完全数全部是偶数。
1973年得到的结论是如果n为奇完全数，则：
n>10^50
5、 除了8=2^3,9=3^2外，再没有两个连续的整数可表为其他正整数的方幂了吗？
这是卡塔兰猜想（1842）。1962年我国数学家柯召独立证明了不存在连续三个整数可表为其
它正整数的方幂。1976年，荷兰数学家证明了大于某个数的任何两个正整数幂都不连续。
因此只要检查小于这个数的任意正整数幂是否有连续的就行了。但是，由于这个数太大，有
500多位，已超出计算机的计算范围。所以，这个猜想几乎是正确的，但是至今无人能够证
实。
6、 任给一个正整数n，如果n为偶数，就将它变为n/2,如果除后变为奇数，则将它乘3加
1（即3n+1）。不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1吗？
这角古猜想（1930）。人们通过大量的验算，从来没有发现反例，但没有人能证明。
三 希尔伯特23问题里尚未解决的问题。
1、问题1连续统假设。全体正整数（被称为可数集）的基数 和实数集合（被称为连续统）
的基数c之间没有其它基数。
1938年奥地利数学家哥德尔证明此假设在集合论公理系统，即策莫罗-佛朗克尔公理系统里，
不可证伪。1963年美国数学家柯恩证明在该公理系统，不能证明此假设是对的。所以，至
今未有人知道，此假设到底是对还是错。
2、问题2 算术公理相容性。
哥德尔证明了算术系统的不完备，使希尔伯特的用元数学证明算术公理系统的无矛盾性的想
法破灭。
3、 问题7 某些数的无理性和超越性。 见上面 二 的 2
5、 问题 8 素数问题。见上面 二 的 3
6、 问题 11 系数为任意代数数的二次型。
德国和法国数学家在60年代曾取得重大进展。
7、 问题 12 阿贝尔域上的克罗内克定理在任意代数有理域上的推广。
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