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2024年4月16日发(作者：c语言数字对应ascii码)
皮亚诺公理体系
皮亚诺公理是意大利皮亚诺所构造的算术公理系统中的公理。1889年，
在数学家戴德金工作的基础上，皮亚诺在《用一种新方法陈述的算术原理》
一书中提出了一个算术公理系统，这个公理系统有九条公理，其中四条是
关于“相等”的，五条是刻画数的，并且以1而不是0作为基本概念。在
后来的著作中，皮亚诺对这一算术系统作了修改，去除了关于“相等”的
四条公理，并且以0取代1作为基本概念，构造了沿用的皮亚诺算术公理
系统。
大家是否还记得自己人生中第一堂数学课学的是什么呢？对了！就是
掰着手指头数数。我们先学习从1数到10，然后再数到100，聪明的孩子
总是数得又快又准。再往后是1000，10000，...，后来我们知道这串数字
可以无穷无尽地列下去，于是我们就有了直观中数学的第一个概念——自
然数。
自然数是我们再熟悉不过的一个概念了，熟悉到我们以为它们的出现
就是天经地义，但是如果问“1”到底是什么？1+1究竟为什么等于2，估
计很多人就要低头沉吟一番，然后给出一个稀奇古怪的答案。
数学中的任何一个概念都是需要有严格定义的，不允许有任何含糊不
清的成分在里面。在古典数学时期，由于人们所探讨的问题比较原始和简
单，因此对概念不加定义地使用，不会带来严重问题。但随着数学研究的
深入，胡乱地使用概念便会带来灾难 后果，最著名的例子就是微积分创立
初期，由于“无穷小量”这一概念含糊不清，甚至引发了第二次数学危机。
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可见澄清概念是一件多么重要的事情！
皮亚诺公理(皮亚诺公理体系)
而对于自然数等基础概念的追问，则是要到19世纪末期与20世纪初
期。那是一个风云激荡的年代，数学界、物理学界、哲学界都出现了惊天
动地的转折。数学家们开始思考：数学的基础究竟是什么？数学证明的本
质又是什么？并由此诞生出两大数学基础理论——集合论与数理逻辑。而
对自然数概念的严格定义也是在此时出现的。
1889年，意大利数学家皮亚诺(Giuseppe Peano, 1858-1932)，出版
了他的代表著作《算术原理新方法》(Arithmetices principia, nova
methodo exposita)，书中以另一位德国数学家戴德金(Dedekind,
1831-1916)的工作为基础，首次提出了一套算术公理系统。1901年他创立
了《数学杂志》(Rivista di Matematica)，并在该杂志上对之前的算术公
理系统进行优化，最终形成了所谓的“皮亚诺公理”(Peano Axiom)。
皮亚诺公理(皮亚诺公理体系)
皮亚诺
2.皮亚诺公理的具体内容
“皮亚诺公理”就是目前数学界所普遍采用的自然数的定义，它是由
若干条公理组成的。简单来说，自然数集的本质是一个满足几条 质的集合，
我们并不关心包含的元素具体是什么，只关心这个集合满足的这几条 质。
如果一旦满足这几条 质，这个集合就称为自然数集，集合中的每一个元素
都称为一个自然数。
那么究竟是哪几条 质呢？我们来具体看一下。
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对于一个集合A，如果它满足以下几条 质：
1. A里边包含某一个元素，我们记为“1”(或者“0”，这取决于你是
否把0看成自然数)；
2. 对于A中的每一个元素a，可以在A中找到另外一个唯一的元素与
之相关联，称为a的“后继”，把它记作"a+"；
3. A中任何一个元素的后继都不是1；
4. A中任何两个不同的元素，后继也不相同；
5. 对于A的一个子集B，如果它满足以下两条 质：第一，1∈B；第
二，若x∈B，则x+∈B。那么B就等于A
则称A为一个自然数集
写到这里，估计很多小伙伴就会忍不住点退出了，不要着急！且听我
慢慢道来。
上面的东西虽然看起来乱糟糟，但每一条都无非就是一个 质。也就是
说如果你找到一个集合，它能够满足上面几条 质，这个集合就可以称为一
个自然数集。于是就会面临新的问题：真的有集合能够满足上面的所有 质
吗？如果有的话，只有一个集合吗？我要到哪里找这个种集合呢？
其实这才是本文的重点，我就用我们日常生活中再熟悉不过的微信群
做例子，来找这样一个集合出来。
皮亚诺公理(皮亚诺公理体系)
3.用微信群来构造自然数
腾讯爸爸把微信群的人数上限设定为500人，这里为了说明问题，我
们假设人数没有上限。
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假如某一天我躺在床上无聊，想拉一些小伙伴们聊聊天，于是我决定
自己建一个微信群。
皮亚诺公理(皮亚诺公理体系)
自然我就是群主啦。群里不能只有我一个人吧，于是我把我最要好的
小伙伴拉了进来。但是两个人也不够呀，为了让群人数多起来，我立下一
条群规：任何一个加群的人，都必须拉一个小伙伴进来，否则不允许加入。
好了，立下这条群规之后，我的任务就能干完了，只需要躺在床上静
静地等这个群自己发展壮大就可以了。
其实，我们已经不知不觉地完成了自然数的构造，这个大微信群就是
一个满足上面几条 质的集合！
为什么我敢如此断言呢？只需要逐一检查它是否满足上面的几条 质
就可以了。
皮亚诺公理(皮亚诺公理体系)
1. A里边包含某一个元素，我们记为“1”
我是群主嘛，所以我肯定在这个群里，我就把自己叫成“1”
2. 对于A中的每一个元素a，可以在A中找到另外一个唯一的元素与
之相关联，称为a的“后继”，把它记作"a+"；
这个是由群规保证的。对于群里的每一个成员，他进群时肯定会拉一
个自己的小伙伴进来，这个小伙伴就是他的后继。
3. A中任何一个元素的后继都不是1；
1就是我呀，因为群是我建的呀，所以我不是被任何人拉进来的。
4. A中任何两个不同的元素，后继也不相同；
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这一条也是很显然的。群里每个人都拉了一个自己的小伙伴进来，当
然有可能两个不同的人想拉同一个人进来。比如小张和小明都想拉小红进
来，如果后来的小明发现小张已经把小红拉进来了，那么他只好再找另外
一个人拉进来。所以肯定是不同的两个人拉的小伙伴们也不一样，这一条
可以得到满足。
5. 对于A的一个子集B，如果它满足以下两条 质：第一，1∈B；第
二，若x∈B，则x+∈B。那么B就等于A。
这一条比较复杂。假如某一天有个成员想偷偷建个小群，结果被我知
道了。我很不开心：明明是我建的群嘛，你却在底下拉帮结派。不过，仁
慈的我不是不同意，但是有条件：你建小群可以，但是，第一得把我拉进
去，第二你也得立一条群规，有谁想进你这个小群，就必须把自己在大群
的小伙伴拉进来。
第五条 质虽然比较复杂，但它是我们在高中学过的数学归纳法的基础。
经过这样一番操作，你会发现，这个小群和原来的大群明明就是一样
的呀。对喽！这说明第5条 质得到了满足。
好了，到此为止5条 质全部检验完毕！我真的找到了这样一个集合。
那么它就可以看成是一个自然数集，包含的元素是：我，我的小伙伴，我
的小伙伴的小伙伴，我的小伙伴的小伙伴的小伙伴，...，妈耶，嘴皮子都
不利索了。那干脆，因为我叫1，那我就把我的小伙伴叫为2，我的小伙伴
的小伙伴叫为3，...，这不就是我们熟悉的自然数吗。
皮亚诺公理(皮亚诺公理体系)
通过这个例子，相信大家已经能从直观上理解皮亚诺公理了。当然，
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这样的集合肯定不止这一个，我可以建微信群，你也可以建微信群，他也
可以建微信群，每一个这样的微信群，其实都是一个自然数集合。甚至你
还可以举出自己构造的一些其它的例子来，所以理论上自然数集是有无穷
多个的。但是这些集合彼此之间又具有相同的结构，所以就不把它们做区
分了，通通称为自然数集，一个自然数集中的每一个元素就称为一个自然
数。
在这无数多个自然数集中，有一个最简单的自然数集，就是我们在中
学时学的那个自然数集：
N={1，2，3，4，5，...，}
所以我们学的自然数，只是自然数的一个特例。这种说法听起来非常
奇怪，但其实在数学上这种处理方法非常常见。它的核心就是所谓的等价
关系(equivalent relation)和同构(isomorphism)。
4."实无限"和“潜无限”
到这里故事就结束了吗？不，远远没有。
敏锐的同学们估计已经想到了，既然每个成员都要拉一名新人进来，
这样一来就没完没了了，微信群永远也灌不满，我们还能把这个微信群本
身当成一个集合吗？这就涉及到了两个非常重要的概念："实无限"和“潜
无限”。
"实无限"和“潜无限”是人们对于无限这个概念的两种观念。古希腊
哲学家亚里士多德(Aristotle)在历史上第一次对二者进行了区分。
皮亚诺公理(皮亚诺公理体系)
简单来说，“潜无限”认为，无限是一个无穷无尽，永恒延续的过程，
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由于它永远无法完成，因此不能被当成一个整体来看待。而“实无限”与
之相反，认为实现是一个完成了的实体，我们可以把它当成一个整体来看
待。
这其实就触及了我们刚才的问题，一个包含了无限多个成员的微信群，
究竟是不是一个单独存在的微信群。很显然，在皮亚诺公理中，我们实际
上是把包含无限元素的集合当成一个整体来看待的，因此现代数学实际上
是建立在“实无限”的观念之上的。关于这一点更深的讨论，可以参考我
的另一篇文章：圆周率π是否存在——浅谈“实无限”与“潜无限”
接受了“实无限”的观念，也就可以接受自然数这个概念了。
当然这对整个数学大厦来讲，还仅仅只是个开始，我们定义完自然数，
还要在此基础上定义整数，有理数，无理数，实数，复数等等一系列概念，
这一过程也是无比艰辛的，凝聚了两千年来人类的智慧。但同时也反映出，
数学是一个非常严谨的逻辑体系，任何想要学好数学的人，一丝一毫都马
虎不得。
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