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2024年3月22日发(作者：网站html5培训班)

函数定义域的求法整理

一、常规型

即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或

组）即得原函数的定义域。

例1 求函数

y

x

2

2x15

的定义域。

|x3|8

解：要使函数有意义，则必须满足

x

2

2x150

|x3|80

①

②

由①解得

x3

或

x5

。 ③

由②解得

x5

或

x11

④

③和④求交集得

x3

且

x11

或x>5。

故所求函数的定义域为

{x|x3且x11}{x|x5}

。

例2 求函数

ysinx

1

16x

2

的定义域。

解：要使函数有意义，则必须满足

sinx0

2

16x0

①

②

③

④

由①解得

2kx2k，kZ

由②解得

4x4

由③和④求公共部分，得

4x或0x

](0，]

故函数的定义域为

(4，

二、抽象函数型

抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数

的解析式，一般有两种情况。

（1）已知

f(x)

的定义域，求

f[g(x)]

的定义域。

（2）其解法是：已知

f(x)

的定义域是［a，b］求

f[g(x)]

的定义域是解

ag(x)b

，即为所求的定义域。

例3 已知

f(x)

的定义域为［－2，2］，求

f(x

2

1)

的定义域。

解：令

2x

2

12

，得

1x

2

3

，即

0x

2

3

，因此

0|x|3

，从而

3x3

，故函数的定义域

是

{x|3x3}

。

（2）已知

f[g(x)]

的定义域，求f(x)的定义域。

其解法是：已知

f[g(x)]

的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由

axb

，求g(x)的值域，即所求f(x)的定

义域。

例4 已知

f(2x1)

的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。

解：因为

1x2，22x4，32x15

。

即函数f(x)的定义域是

{x|3x5}

。

三、逆向型

即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R，求参数的范围问题通常是转化为

恒成立问题来解决。

例5 已知函数

ymx

2

6mxm8

的定义域为R求实数m的取值范围。

分析：函数的定义域为R，表明

mx

2

6mx8m0

，使一切x∈R都成立，由

x

2

项的系数是m，所以应分m=0

或

m0

进行讨论。

解：当m=0时，函数的定义域为R；

当

m0

时，

mx

2

6mxm80

是二次不等式，其对一切实数x都成立的充要条件是

m0

2

(6m)4m(m8)0

0m1

综上可知

0m1

。

评注：不少学生容易忽略m=0的情况，希望通过此例解决问题。

例6 已知函数

f(x)

kx7

的定义域是R，求实数k的取值范围。

2

kx4kx3

解：要使函数有意义，则必须

kx

2

4kx3

≠0恒成立，因为

f(x)

的定义域为R，即

kx

2

4kx30

无实数

①当k≠0时，

16k

2

43k0

恒成立，解得

0k

②当k=0时，方程左边=3≠0恒成立。求函数的定义域。

解：设矩形一边为x，则另一边长为

3

；

4

1

(a2x)

于是可得矩形面积。

2

11

yx(a2x)axx

2

22

1

x

2

ax

。

2

由问题的实际意义，知函数的定义域应满足

x0

x0

1

a2x0

(a2x)0

2

0x

a

。

2

a

1

。

ax

，定义域为（0，）

2

2

故所求函数的解析式为

yx

2

例8 用长为L的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架，如图，若矩形底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的

函数关系式，并求定义域。

解：由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，如图。

因为CD=AB=2x，所以

CDx

，所以

AD

LABCDL2xx

，

22

L2xxx

2

故

y2x

22

(2)x

2

Lx

2

根据实际问题的意义知

2x0

L

0x

L2xx

2

0

2

故函数的解析式为

y(2

L

2

）。

)xLx

，定义域（0，

2

2

五、参数型

对于含参数的函数，求定义域时，必须对分母分类讨论。

例9 已知

f(x)

的定义域为［0，1］，求函数

F(x)f(xa)f(xa)

的定义域。

解：因为

f(x)

的定义域为［0，1］，即

0x1

。故函数

F(x)

的定义域为下列不等式组的解集：

0xa1

ax1a

，即



0xa1ax1a



即两个区间［－a，1－a］与［a，1+a］的交集，比较两个区间左、右端点，知

1

a0

时，F（x）的定义域为

{x|ax1a}

；

2

1

（2）当

0a

时，F（x）的定义域为

{x|ax1a}

；

2

11

（3）当

a

或

a

时，上述两区间的交集为空集，此时F（x）不能构成函数。

22

（1）当

六、隐含型

有些问题从表面上看并不求定义域，但是不注意定义域，往往导致错解，事实上定义域隐含在问题中，例如函数的单

调区间是其定义域的子集。因此，求函数的单调区间，必须先求定义域。

例10 求函数

ylog

2

(x

2

2x3)

的单调区间。

解：由

x

2

2x30

，即

x

2

2x30

，解得

1x3

。即函数y的定义域为（－1，3）。

函数

ylog

2

(x

2

2x3)

是由函数

ylog

2

t，tx

2

2x3

复合而成的。

tx

2

2x3(x1)

2

4

，对称轴x=1，由二次函数的单调性，可知t在区间

(，

在区间

[1，1]

上是增函数；

)

上是减函数，而

ylog

2

t

在其定义域上单调增；

1]

上是增函数，在区间

(1，3)(，1](1，1]，(1，3)[1，)[1，3)

，所以函数

ylog

2

(x

2

2x3)

在区间

(1，

[1，3)

上是减函数。


本文标签： 定义域 函数 问题 区间 解析

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