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2024年3月19日发(作者：typescript有什么优势)

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求二次函数的解析式的几种方法

山东省沂水县高桥镇初级中学 王瑞辉

二次函数解析式的求法是二次函数知识的重点，也是中考必考内容。现在举例，说明求二次函数解

析式的常用方法，希望对同学们学习有所帮助。

一、二次函数常见的三种表达式：

（1）一般式：

yaxbxc(a0)

；

（2）交点式：

ya(xx

1

)(xx

2

)

，其中点

(x

1

,0)，(x

2

，0)

为该二次函数与x轴的交点；

（3）顶点式：

ya(xh)

2

k

a0

，其中点

h,k

为该二次函数的顶点。

二、利用待定系数法求二次函数关系式

(1)、已知二次函数图象上任意三个点的坐标，可设一般式求二次函数的关系式。

例1、已知抛物线

yaxbxc

，经过点（2，1）、（-1，-8）、（0，-3）．求这个抛物线的解析式．

2

2

4a2bc1,

a1,

2

解：根据题意得

abc8,

解之得

b4,

所以抛物线为

yx4x3;

c3,

c3,

说明：用待定系数法求系数

a、b、c

需要有三个独立条件，若给出的条件是任意三个点，可设解析

式为

yaxbxc(a0)

，然后将三个点的坐标分别代入，组成一次方程组用加减消元法来求解．

(2)、已知抛物线与x轴的两个交点坐标和图象上另一个点坐标，可设交点式求二次函数的关系式。

若知道二次函数与

x

轴有两个交点

x

1

，0

，0

，则相当于方程

axbxc0

有两个不

x

2

，

2

2

相等的实数根

x

1

，x

2

，从而

axbxca(xx

1

)(xx

2

)

，故二次函数可以表示为

2

ya(xx

1

)(xx

2

)(a0)

．

例2、已知一个二次函数的图象经过点A（－1，0），B（3，0），C（0，－3）三点．求此二次函数

的解析式．

解：根据题设，设此二次函数的解析式为

ya(x1)(x3)

．

又∵该二次函数又过点（0，－3）， ∴

a(01)(03)3

． 解得

a1

．

因此，所求的二次函数解析式为

y(x1)(x3)

，即

yx2x3

．

说明：在把函数与

x

轴的两个交点坐标代入

ya(xx

1

)(xx

2

)(a0)

求值时，要注意正确处理

两个括号内的符号．

(3)、已知抛物线顶点和另外一个点坐标时，设顶点式yaxh

2

k a0

例3、对称轴与y轴平行的抛物线顶点是2，1，抛物线又过1，0，求此抛物线的函数解析式。

解：设所求解析式为yaxh

2

k， 由已知得 yax2

2

1  a12

2

10

a

y

2

1

9

1145

2

x2

1

即

yx

2

x

9999

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(4)、已知二次函数的最值或对称轴，可设顶点式

ya(xh)

2

k

a0

。

①已知二次函数有最大或最小值

k

，可设

ya(xh)

2

k

a0

，再利用其它两个独立的条件

确定

a和h

。

例4、二次函数的图象过4，3点，且x3时，二次函数有最大值1，求此函数的解析式。

解：由已知得，图象顶点坐标为3，1，故可设

ya

x3

1

过4，3点 ∴

3a

43

1

，易得

a2

最后可求得y2x

2

12x19

②已知对称轴方程

xh

可设

ya(xh)k

a0

再利用其它两个独立的条件确定

a和k

。

2

2

2

a0

，又∵二次函数的图象

例5、抛物线经过点A1，0，B2，3，对称轴x3，求此图象的函数解析式。

解：由对称轴x3，可设所求函数解析式为

ya

x3

k

，

2

0a13k



a1

又知抛物线经过点A1，0，B2，3，所以有

，易得

2

k4

3a

23

k

2

所以

y

x3

4

，即所求解析式为yx

2

6x5

③图象经过点

x

1

,m

和

x

2

,m

，则其对称轴为

x

2

x

1

x

2

；二次函数关系式可设为

2

xx



ya

x

12

k

a0

2



例6、一条抛物线

y

2

1

2

33

xmxn

经过点

(0，)

与

(4，)

。求这条抛物线的解析式。

422

3

2

3

2

分析：解析式中的a值已经知道，只需求出

m,n

的值。已知条件给出了两个点，因此，可以从二次

函数的一般式入手列方程组解答。还可以从所给两点

(0,),(4,)

的特征入手：这两点关于抛物线的对

称轴对称，因此可知对称轴是直线

x2

，这样又可以从抛物线的顶点式入手。

解：

抛物线

y

1

2

33

xmxn

经过点（

0,

）和

(4,)

，

422

这条抛物线的对称轴是直线

x2

。

设所求抛物线的解析式为

y

1

(x2)

2

h

。

4

将点

(0,)

代入，得

3

2

131

(02)

2

h

，解得

h

。

422

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这条抛物线的解析式为

y

1113

(x2)

2

，即

yx

2

x

。

4242

x

1

x

2

，

2

说明：当点M（

x

1

,y

1

）和N（

x

2

,y

2

）都是抛物线上的点时，若

y

1

y

2

，则对称轴方程为

x

这一点很重要也很有用。

④当二次函数的图象与x轴只有一个交点时，此时交点为抛物线的顶点，并且顶点的纵坐标为0，

所以可设

ya(xh)

2

a0

，再利用两个独立的条件求a和h。

例7、已知二次函数的图象经过点

1,9

和

2,4

，并且它与x轴只有一个交点，求这个二次函数的

解析式。

分析：二次函数的图象与x轴只有一个交点，所以可设

ya(xh)

2

a0

，由题意知

2

8

2

a1h9



h

1

4

h

2

8

2

解得

或

5

，所以所求函数的关系式为

y

x4

或y25

x

2

a1

5



a25

a

2h

4

说明：在题设的条件中，若涉及顶点坐标、对称轴、函数的最大（最小）值时，可设函数的解析式

为

ya(xk)h

的形式，给解题带来方便

．

三、利用对称性求二次函数的关系式。

在直角坐标系中任一点P(a,b),它关于x轴对称点的坐标为

P

x

a,b

，它关于y轴对称点的坐标为

2

P

y

a,b

，它关于原点中心对称点的坐标为

P

o

a,b

。

例8、已知二次函数

yx4x1

，求与该抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式。

分析：根据点(a,b),它关于y轴对称点的坐标为

a,b

,则用-x替换上述关系式中的x可得所求抛物

线关系式。则有

y

x

4

x

1

，即所求关系式为

yx4x1

。

2

2

2

2

类似地可求得：与抛物线

yx4x1

关于x轴对称的抛物线的解析式为

yx4x1

，即

2

yx

2

4x1

；与抛物线

yx

2

4x1

关于原点中心对称的抛物线的解析式为

y

x

4

x

1

，即

yx

2

4x1

四、求与已知抛物线

yaxbxc(a0)

关于其顶点对称的二次函数的关系式。

分析：求与已知抛物线关于其顶点对称的二次函数时，它们的顶点相同、形状相同。唯一不同的是

它们的开口方向不同。因此只须已知抛物线

yaxbxc(a0)

化为顶点式，然后将顶点式中的a

必为-a,即可求得。

例9、与抛物线

yx2x2

的图象顶点相同，形状相同，而开口方向相反的抛物线的解析式是什

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2

2

2

2


本文标签： 函数 抛物线 顶点

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