admin 管理员组文章数量: 1086019
2024年3月2日发(作者：模板支架图片)
复合函数的求导法则推导过程
回顾：
一元复合函数 y=f(φ(x)) ⇔ y=f(u), u=φ(x)
其求导有链式法则： dydx=dydududx
画出函数关系图： y→u→x ，可见从 y 到 x 有一条路径，所以结果是 1 项的和，每一段路径（对应一个导数）乘起来。
这个规则推广到多元复合函数也是适用的。本篇就来讲一讲这个基本方法，掌握了它各种多元复合函数求导，包括各种隐函数求导，无论多复杂都手到擒来。
一. 基本步骤
非常简单：
（1）先理清函数关系，画出函数关系图；
（2）按照规则写出式子（有几条路径就是几部分的和，路径的每段对应的导数用乘法连起来）。
剩下的就只是计算，还要注意一元函数关系用直立的导，多元函数关系用偏导；还有通常的二元函数或多元函数（非隐函数，方程式才隐含隐函数），比如 z=f(x,y) , 其中的 x,y 是相互独立的，即 ∂x∂y=0,∂y∂x=0 , 也即通常求偏导时，将其余变量当常数对待。
很多学生追求题海战术，往往忽略第一步，结果做了大量的题目，遇到难题还是不会。
二. 若干例子
下面通过几个例子来阐述。
例1 u=ex3+y2+z,z=xsiny , 求 ∂u∂x .
解：（1）分析函数关系， u 是 x,y,z 的函数， z 是 x,y 的函数，据此画出函数关系图：
（2）按规则写出式子
u 到 x 有两条路径： u 直接到 x ， u 先到 z 再 z 到 x
∂u∂x=∂u∂x+∂u∂z∂z∂x=⋯ （计算略)
注意：上式两个 ∂u∂x 的含义是不同的，左端的 ∂u∂x 是整个函数关系中的偏导关系，而右端的∂u∂x 只是这个分支路径的偏导关系，只考虑 u 对 x 的偏导，将 z,y 当常数对待。
说明：整个函数关系是指“复合之后 u 只是 x,y 的二元函数（不含中间变量）”，即
u=ex3+y2+xsiny
而将整个函数关系（含中间变量）表示成的上图，是对整个函数关系的一种分解，分解之后每部分关系都是相对独立的关系（不再混杂不清），即
{u=ex3+y2+z,z=xsiny
故在按函数关系图写出式子时，不需要再考虑混杂关系，只需要按规则写即可。
例2 隐函数求导也一样，除了时刻注意到隐含的函数关系。比如， F(x,y,z)=0 ,求 和∂z∂x和∂2z∂x2 .
解：(1) F(x,y,z)=0 隐含了函数关系 z=f(x,y) . 【当然，根据问题需要，它也可以隐含函数关系： x=g(y,z),y=h(x,z) 】
先画出函数关系图（ F 是 x,y,z 的函数， z 是 x,y 的函数）：
为了求 ∂z∂x ，两边同时对 x 求导，注意隐含的函数关系 z=f(x,y) .
按规则写出式子：
∂F∂x=∂F∂x+∂F∂z∂z∂x=Fx′+Fz′∂z∂x=0
⇒∂z∂x=−Fx′Fz′
(2) 再求二阶偏导，按定义二阶偏导就是对一阶偏导结果，再求一次一阶偏导
∂2z∂x2=∂∂x(∂z∂x) ，代入
=∂∂x(−Fx′Fz′)
画出函数关系图，注意 Fx′,Fz′ 的地位与 F 是相同的，仍有相同的函数关系：
所以，上式先是商式求导，再注意到上图的函数关系，正常计算即可（略）。
例3 设 F(x,y) 有二阶连续偏导，已知方程 F(xz,yz)=0 , 求 dz .
解：（1）先理清函数关系
F(xz,yz)=0 是方程式，所以这是个隐函数，其中有 x,y,z ，所以实际上是 G(x,y,z)=0 , 它隐含的函数关系是 z=f(x,y) .
要求 dz ， 那就是全微分公式，需要先求 和∂z∂x和∂z∂y
又 F 中的两个位置变量带表达式，所以，先引入中间变量（复合函数）简化关系，令 u=xz,v=yz , 则方程式变为 F(u,v)=0
版权声明：本文标题：复合函数的求导法则推导过程 内容由网友自发贡献，该文观点仅代表作者本人， 转载请联系作者并注明出处：http://roclinux.cn/p/1709317411a542080.html， 本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌抄袭侵权/违法违规的内容，一经查实，本站将立刻删除。
发表评论