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2023年12月25日发(作者：登录界面用户名默认代码)

2.5指数与指数函数

1．根式的性质

n(1)(a)n＝a.

n(2)当n为奇数时an＝a；

当n为偶数时na≥0，a

a＝

－a a<0.n

2．有理数指数幂

(1)幂的有关概念：

mn①正分数指数幂：a＝am(a>0，m，n∈N*，且n>1)．

nm11②负分数指数幂：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．

nmnaamn③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．

(2)有理数指数幂的性质：

①aras＝ars(a>0，r，s∈Q)；

②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；

③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．

3．指数函数的图像与性质

＋

1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．

2．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图像和性质跟a的取值有关，要特别注意区分a>1或0

[试一试]

11．化简[(－2)6]－(－1)0的结果为________．

2【答案】7

2．若函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是________．

【解析】由题意知0

得－2

【答案】(－2，－1)∪(1，2)

1．对可化为a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0(a2x＋b·ax＋c≤0)的指数方程或不等式，常借助换元法解决．

2．指数函数的单调性是由底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按01进行分类讨论．

[练一练]

1．函数y＝

1x1－2的定义域为________．

【答案】[0，＋∞)

2．若函数f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a＝________.

【解析】当a>1时，f(x)＝ax－1在[0,2]上为增函数，

则a2－1＝2，∴a＝±3.又∵a>1，∴a＝3.

当0

又∵f(0)＝0≠2，∴0

综上可知，a＝3.

【答案】3

求值与化简：

31120＋2－2·2－－(0.01)0.5；

(1)54251－1－2－1(2)a·b2·(－3a－b1)÷(4a·b3)；

632322－111a·b1－·a－·b3223(3)

6a·b51141211116【解析】(1)原式＝1＋×－＝1＋×－＝1＋－＝.

494310610151005－6－3－(2)原式＝－ab÷(4a3·b3)2

25－－1－＝－a6b3÷(ab2)

43－－5＝－a－2·b3.

4515ab＝－·＝－.

4ab34ab2(3)原式＝ab·abab165613121213

＝a－111326·b115＋236.

[备课札记]

[类题通法]

指数幂运算的一般原则

(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．

(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．

(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．

(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答.

[典例] (1)(2013·苏锡常镇一调)已知过点O的直线与函数y＝3x的图像交于A，B两点，点A在线段OB上，过点A作y轴的平行线交函数y

＝9x的图像于点C，当BC∥x轴时，点A的横坐标是________．

1a1b(2)已知实数a，b满足等式2＝3，下列五个关系式：

①0

其中不可能成立的关系式有________个

【解析】 (1)设A(x0,3x0)，由AC平行于y轴，则C(x0,9x0)．又因为BC平行于x轴，则B(2x0,9x0)．因为O，A，B三点共线，所以x0·9x0＝2x0·3x0，得3x0＝2，所以x0＝log32.

1x1x(2)函数y1＝与y＝223的图像如图所示．

1a1b由2＝3得，a

故①②⑤可能成立，③④不可能成立．

【答案】 (1)log32 (2)2

[备课札记]

[类题通法]

指数函数图像的画法及应用

1－1，. (1)画指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图像，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，a(2)与指数函数有关的函数的图像的研究，往往利用相应指数函数的图像，通过平移、对称变换得到其图像．

(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像数形结合求解．

[针对训练]

1．(2013·徐州摸底)已知直线y＝a与函数f(x)＝2x及g(x)＝3·2x的图像分别相交于A，B两点，则A，B两点之间的距离为________．

【解析】由题意知A，B两点之间的距离与a无关，即为定值．不妨设a＝3，则由3·2x＝3知xB＝0.由2x＝3知xA＝log23，故AB＝xA－xB＝log23.

【答案】log23

2．方程2x＝2－x的解的个数是________．

【解析】方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x的图像交点的横坐标，分别作出这两个函数图像(如图)．

由图像得只有一个交点，因此该方程只有一个解．

【答案】1

[典例] 已知f(x)＝a－(ax－ax)(a>0，且a≠1)．

2a－1(1)判断f(x)的奇偶性；

(2)讨论f(x)的单调性．

【解析】 (1)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．

a－又因为f(－x)＝2(ax－ax)＝－f(x)，

a－1所以f(x)为奇函数．

(2)当a>1时，a2－1>0，

y＝ax为增函数，y＝ax为减函数，

从而y＝ax－ax为增函数．

所以f(x)为增函数．

当0

y＝ax为减函数，y＝ax为增函数，

从而y＝ax－ax为减函数．

所以f(x)为增函数．

故当a>0且a≠1时，f(x)在定义域内单调递增．

－－－－

【解析】由(2)知f(x)在R上是增函数，

所以在区间[－1,1]上为增函数．

所以f(－1)≤f(x)≤f(1)．

所以f(x)min＝f(－1)＝a1－a2＝2·＝－1.

a－1a所以要使f(x)≥b在[－1,1]上恒成立，则只需b≤－1.

故b的取值范围是(－∞，－1]．

[备课札记]

a－(a1－a)

2a－1

[类题通法]

利用指数函数的性质解决问题的方法

求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．

[针对训练]

12已知函数f(x)＝3ax－4x＋3.

(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)有最大值3，求a的值．

(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．

12【解析】(1)当a＝－1时，f(x)＝3－x－4x＋3，

令g(x)＝－x2－4x＋3，

1t由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝3在R上单调递减，

所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，

单调递减区间是(－∞，－2)．

1g(x)(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝3，

由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1，

a>0，因此必有3a－4

＝－1，a解得a＝1，

即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.

(3)由指数函数的性质知，

1g(x)要使y＝3的值域为(0，＋∞)．

应使g(x)＝ax2－4x＋3的值域为R，

因此只能a＝0.(因为若a≠0，则g(x)为二次函数，其值域不可能为R)．

故a的值为0.

[课堂练通考点]

1．已知f(x)＝2x＋2x，若f(a)＝3，则f(2a)等于________．

【解析】由f(a)＝3得2a＋2a＝3，

两边平方得22a＋2即22a＋2－2a－2a－－＋2＝9，

＝7，故f(2a)＝7.

【答案】7

2．已知f(x)＝3xb(2≤x≤4，b为常数)的图像经过点(2,1)，则f(x)的值域是________．

【解析】由f(x)过定点(2,1)可知b＝2，因f(x)＝3x＝f(4)＝9.

【答案】[1,9]

3．函数y＝8－23x(x≥0)的值域是________．

【解析】∵x≥0，∴－x≤0，∴3－x≤3，

∴23x≤23＝8，∴8－23x≥0，

∴函数y＝8－23x的值域为[0，＋∞)．

【答案】[0，＋∞)

4．已知正数a满足a2－2a－3＝0，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为________．

【解析】∵a2－2a－3＝0，∴a＝3或a＝－1(舍)．

函数f(x)＝ax在R上递增，由f(m)>f(n)，得m>n.

【答案】m>n

a5．函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大，则a的值为________．

2【解析】当a>1时，f(x)＝ax为增函数，在x∈[1,2]上，

f(x)最大＝f(2)＝a2，f(x)最小＝f(1)＝a.

a∴a2－a＝.即a(2a－3)＝0.

233∴a＝0(舍)或a＝>1.∴a＝.

22当0

在x∈[1,2]上，f(x)最大＝f(1)＝a，f(x)最小＝f(2)＝a2.

a∴a－a2＝.∴a(2a－1)＝0，

211∴a＝0(舍)或a＝.∴a＝.

22－－－－－2－在[2,4]上是增函数，fmin(x)＝f(2)＝1，fmax(x)

13综上可知，a＝或a＝.

2213【答案】或

22


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