(完整版)高数公式汇总

高数公式汇总

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导数公式:

高等数学公式

(tgx) sec x

(ctgx) csc x

(secx) secx tgx

(cscx)

(ax)

(log

a

x)

1

cscx ctgx

axl na

xl na

(arcsin x)

(arccos x)

(arctgx)

(arcctgx)

1

1

1 x2

1

1 x2

基本积分表：

tgxdx

ctgxdx

secxdx

cscxdx

dx

~ 2

a x

dx

~ 2

x a

In cosx C

In sinx C

In secx tgx C

In cscx ctgx C

1 x

-arctg — C

a a

1 x a

——C

2a x a

1 a x

——C

2a a x

dx

2~ cos

x

dx

sin x

~~~2-

sec2 xdx tgx C

csc xdx ctgx C

2

secx tgxdx secx C

cscx ctgxdx cscx C

x

axdx — C

In a

shxdx chx C

chxdx shx C

----------- In( x

、x a ) C

2 2

x a

v 7

dx

~ 2

a x

dx

a x

2

arcs in仝

C a

2 2

2

In

o

sin xdx

o

2

cos

xdx

x

—x

2

2

n

In

x2

x2

a '

dx

a '

dx

2

2

a2

三角函数的有理式积分:

2u

x

2

—x

2

x

2

x2

dx

2

1

a

2

a —In( x

2

2

a

x2 a2) C

2

a .

一In x

2

2

a

2

、x2 a2

a . x arcs in C

2

2

x

sin x

2, cosx

1 u2

u

，

2tgi，

dx

2du

1 u2

1 u

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一些初等函数:

两个重要极限:

x

e e

2

x

x

双曲正弦：

x

lim

x 0

x

sin x ’

1

e e

lim(1 -)x

e 2.7045…

shx

2

xshx

e

2x

e

x

archx In (x x

1)

双曲余弦arthx

llnl

:chx

chx

x

e

x

e

2

x

1)

双曲正切:thx

三角函数公式:

•诱导公式：

、函数

角A

sin COS tg Ctg

-a

-sin

a

COS

a

-tg

a

-Ctg

a

90

° a

COs

a

sin

a

Ctg

a

tg

a

90

° a

COs

a

-sin

a

-Ctg

a

-tg

a

180

°a

sin

a

-COS

-tg

a

-Ctg

a

180

°a

-sin

a

a

-COS

a

tg

a

Ctg

a

270

° a

-COS

a

-sin

a

Ctg

a

tg

a

270

° a

-COS

a

sin

a

-Ctg

a

-tg

a

360

° a

-sin

a

COS

a

-tg

a

-Ctg

a

360

° a

sin

a

COS

a

tg

a

Ctg

a

-和差角公式:

sin( )sin COS COS sin

COS

COS 2 si n

COS(

)COS COS sin sin

tg(

)汽

tg

1 tg tg

Ctg( )Ctg

Ctg 1

-和差化积公式:

Ctg Ctg

sin sin 2 si n

2

COS

2

sin sin 2

COS sin

2 2

COS COS 2 COS COS --

2 2

2

sin

2

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•倍角公式:

sin 2 2sin cos

21 2si n

2

cos2 2cos

1

2ctg

1

ctg2

2ctg

2tg

tg2

2

1 tg

-半角公式:

1 cos

sin —

2

Y 2

1 cos

1 cos

tg

2

2

2

cos

sin

sin3

cos3

tg3

3sin

4cos

3tg tg3

1 3tg2

4sin3

3cos

cos—

2

sin

1 cos

ctg —

2

'1

cos

X

2

j

：cos

1 cos

sin

1 cos

a b c

-正弦定理:

2R

sin A sinB

si

nC

•反三角函数性质：

arcs inx arccosx

2

高阶导数公式 ------ 莱布尼兹(

Leibniz

)公式：

n

(n) k (n k) (k)

(uv) Cnu v

k 0

1 cos

sin

sin

1 cos

-余弦定理:

c2 a2 b2 2ab cosC

arctgx arcctgx

(n) (n 1)

n(n 1)

(n 2)

n(n 1) (n k 1)

(n k) (k)

u v nu v u v

2! k

!

中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理：

f(b) f(a) f ( )(b a)

柯西中值定理：丄型

f (a) f ()

F(b) F(a) F ()

当F(x) x时，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理

u v

uv

(n)

曲率:

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弧微分公式：ds .1 y2dx,其中y tg

平均曲率：K .:从M点到M点，切线斜率的倾角变 化量；s： MM弧长。

M点的曲率：K

叽1 s|

直线：K 0;

半径为a的圆：K

1

a

定积分的近似计算：

ba(

法：f(x)

b

矩形a

n

(y。

y1

b法：f(x)

b

梯形a 1

[(yo

a

n 2

b

抛物线法：f (x)

b a

a

3n

[(yo

定积分应用相关公式:

功：W

水压力:

引力：F

函数的平均值：y

1 f(x)dx

b a

a

b

f (t)dt

2

a

空间解析几何和向量代数:ds

y 1)

yn)

yi

yn 1]

yn)

2( y2

y4

yn 2) 伽yn i)] g

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空间2点的距离：d M

i1M

2

向(X2

X1)2

占2 y)2

(Z2

Z1)2

量在轴上的投影：Pr ju AB

AB cos ,是AB与u轴的夹角。Pr ju(ai

a2) Prjai

PJa?

a b cos

axbx

ayby

azbz,是一个数量，

axbx

ayby

y

azbz

两向量之间的夹角:

cos

aa2 2

x y

az2 .bx2

bz2

cab

ax

ay

az

a b sin

例:

线速度:

w r.

bx

by

bz

a

ax

y

az

向量的混合[abc] (a b) c

bx

by

bz

c cos ,为锐角时,

积:

Cx

Cy

Cz

代表平行六面体的体积 。

平面的方程:

1、点法式：A(x x0) B(y y°) C(z Zo) 0,其中 n {A, B,C}, M

°(x°, y°

,z°)

2、一 般方程：Ax By Cz D 0

3、截距世方程：x y - 1

abc平面外任意一点到该平 面的距离：d

Ax°

By。Cz°

D

x

空间直线的方x x°

y y0

z z°

t,其中s {m, n, p};参数方程：y

程:

m

n P

z

二次曲面：

2 2 2

1、椭球面：务

a

.2

y z

1

2

b

~22

c

2、抛物面：』

y

P 2q

乙；p,q同号)

3、双曲面：

(

2 2 2

单叶双曲面：与占令1

abc

2 2 2

双叶双曲面：务占务1(马鞍面)

abc

多元函数微分法及应用x0 mt

y0 nt

zo

pt

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全微分： dz — dx —dy

du — dx — dy — dz y z

x y

fy(x, y) y

全微分的近似计算：z dz

fx(x,y) x

多元复合函数的求导法：

z f[u(t),v(t)]

dz dt z u t z v

u

v t

z

z

z

u z

v

f[u(x, y),v(x, y)]

X u

X v

X

当u(x, y), v v(x,y)时，

u

v

du —dx — dy dv dx —dy

x y

X

y

隐函数的求导公

式：

隐函数F(x, y) 0,

dy Fx

d2y

(

卜

dx dx

.2

X

Fz Fy

隐函数 F(x, y,z) 0,

z

x

•

X

F

z

y

卜z

F

隐函数方程组：F(x,y,u,v)

0

J

(F,G

v

Fu

Fv

G(x, y,u,v)

(u,vG

Gu

Gv

0

：

v

u 1 (F,G) v 1 (F,G)

X J (x,v)

X

J (u,x)

u 1 (F,G) v 1 (F,G)

y J (y,v) y

J (u,y)

微分法在几何上的应用

:

x

(t)

空间曲线y

X Xo

yo

z Zo

(t)在点M (xo, yo,zo)处的切线方程:

(t)

(to)

(to)

(to)

在点M处的法平面方(to)(x Xo) (to)(y

yo)

(to)(Z Zo)

程：

若空间曲线方程为：F(x,y,z) °,则切向量T {

Fy

Fz

Fz

Fx F

Fy

G(x,y,z) o

z

Gy

G G

Gx,G Gy

曲面 F (x, y, z) o上一点 M(Xo,yo,Zo),则:

1过此点的法向量：n {Fx(Xo, yo,Zo),Fy(Xo, yo, Zo), Fz(x。, y。, Zo)} 过此点的

、

2切平面方程：Fx(Xo, yo,Zo)(x Xo) Fy(Xo,yo,Zo)(y y。)

Fz(xo, yo, Zo)(z Zo)

、

3过此点的法线方程:

x Xo

y yo

z Zo

、

Fx(Xo, yo, Zo) Fy(Xo,yo,Zo) Fz(Xo, yo,Zo)

方向导数与梯度:

0

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函数z f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向I的方向导数为：—— cos

l x

其中为x轴到方向I的转角。

函数 z f (x,y)在一点 p(x,y)的梯度：gradf(x,y) —i — j

x y

—^in

y

它与方向导数的关系是：-f grad f (x, y) e,其中e cos i sin j，为I方向上的 单位向量。

f 是gradf (x,y )在I上的投影。

多元函数的极值及其求法：

设fx(xo, yo)

AC B

2fy(xo,y°)

00,令：fxx(Xo,y°)

A,

fxy(X0,y°) B, fyy(X0,y°) C

A 0,(x0,y0)为极大值

A 0,(x0,y0)为极小值

无极值 不确定

时,

则：AC B2

时,

AC B2

00 时,

f(x,y)dxdy

f (r cos , rsin )rdrd

D

2

2

D

曲面z f (x,y)的面积A

1

D

y

I.

1

D

dxdy

x

x (x, y)d

y

M

,y (x, y)d

D

平面薄片的重心：x

Mx

M

D

(x,y)d

y

M

D

(x,y)d

平面薄片的转动惯量： 对于X轴lx

y2 (x, y)d ,

D

平面薄片(位于 xoy平面)对z轴上质点 M(0,0,a),(a

柱面坐标和球面坐标:对于 y轴 I

y x (x, y)d

D

0)的引力:F {Fx,Fy,Fz},其中:

(x,y)xd

3，

DFy

D2(x, y)yd

3，

Fz

fa

(x,y)xd

3

D

(x y a)

2222(x y a!

22(x2 y2 a2)2

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x r cos

柱面坐标：y r sin

z z

f (x, y, z)dxdydz F(r, ,z)rdrd dz,

其中： F(r, ,z) f (rcos ,rsin ,z)

x rsin cos

y

r sin sin ,

球面坐标：

dv rd

r si n d

dr r2 sin drd d

z r cos

f (x, y, z)dxdydz F (r, ,)r2 sin drd d

重心：x

1

M

x dv, y

1

M

y dv, z

转动惯I/ 2 2x

(y z )

、

dv, I

2量：

y

(x曲线积分：

第一类曲线积分(对弧 长的曲线积分)：

设f (x,y)在L上连续，L的参数方程为：X (t),

( t

y (t)

f (x, y)ds

f[ (t), (t)]、

2(t)

2(t)dt (

L

2

r(,)

d d F(r, , )r2 sin dr

0 0 0

1

z dv, 其中

M x

M

2

z

)dv, I

z

(x2 y2) dv

)，则:

特殊情况:

x t

y (t)

dv

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第二类曲线积分(对坐

标的曲线积分)：

设L的参数方程为x

7则：

y

P(x,y)dx Q(x, y)dy

L

{P[ (t).

(t)]

(t) Q[ (t), (t)]

(Pcos Qcos

L

(t)}dt

)ds其中

和分别为

两类曲线积分之间的关

系：Pdx

Qdy

L

L上积分起止点处切向量 的方向角。

Q P

Qdy格林公式：(卫

—)dxdy

:Pdx Qdy

格林公式：( )dxdy - Pdx

D

X

y

L

xD y

L

1

当P y,Q x,即：-丄2时， x y

得到D的面积：A

dxdy

—O

xdy ydx

D

2L

平面上曲线积分与路径无关的条件:

1、G是一个单连通区域；

QP,且- = -。注意奇点，如(0,0)，应

2、P(x,y), Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数

y

减去对此奇点的积分，注意方向相反! 二元函数的全微分求积：

Q P

在 ——=一时，Pdx Qdy才是二兀函数u(x, y)的全微分，其中:

x y

(x,y)

u(x, y) P(x,y)dx Q(x, y)dy,通常设 x0

y0

0。

曲面积分：

对面积的曲面积分：

f(x,y,z)ds

Df[x,y,z(x,y)] 1 Zx(x, y) Zy

(x, y)dxdy

2 2

xy

对坐标的曲面积分： P(x,y,z)dydz Q(x, y, z)dzdx R(x, y,z)dxdy,其中：

R(x,y,z)dxdy

Dxy

R[x, y, z(x,y)]dxdy,取曲面的上侧时取正 号；

P[x(y,z),y,z]dydz取曲面的前侧时取正 号；

Dyz

P(x,y,z)dydz

Q(x,y,z)dzdx

Q[x, y(z,x),z]dzdx取曲面的右侧时取正 号。

Dzx

两类曲面积分之间的关 系：Pdydz Qdzdx Rdxdy (Pcos Qcos Rcos )ds

高斯公式:

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-R)dv z

P Q

二

Pdydz Qdzdx Rdxdy

二(Pcos Qcos

( -------

x y

咼斯公式的物理意义 — -- 通量与散度：

P Q

散度：div - —,即：单位体积内所产生 的流体质量，若

Q

Rcos )ds

div 0,则为消失

x y z

通量：

A nds

Ands (Pcos Qcos Rcos

)ds,

因此，高斯公式又可写 成： divAdv < Ands

斯托克斯公式一一曲线积分与曲面积分的关系

:

R

人

/ F -R)dzdx

(

y z)dydz ( : x

Q

(上

—)dxdy

x

y

Q Pdx Qdy

z

dydz dzdx cos cos cos

上式左端又可写成：

—

—

dxdy

—

— — —

x y z

x z

P Q R

y

P Q R

空间曲线积分与路径关的条R Q P R Q P

无

件：

-

y z z x x y

i

旋度：rotA 一 x

P

向量场A沿有向闭曲的环流量：■: Pdx Qdy Rdz - A tds

线

常数项级数：

等比数列

：1 q q2

(n 1)n

等差数列：2 3

2

调和级数：--

丄是发散

2 3

的

级数审敛法:

n

Rdz

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1正项级数的审敛法 ——根植审敛法（柯西判别法）：

1时，级数收敛

设： lim

n

Un，则 1时，级数发散

1时，不确定

2、 比值审敛法：

1时，级数收敛

设： ”m ，则 1时，级数发散

Un

1时，不确定

3、 定义法：

sn

u u

2un;limsn存在，贝叫攵敛；否则发 散。

n

交错级数u1

u2

u3

u4

如果交错级数满足

（或u1

U2

U3

Un

Un 1

limUn

0'

n

,Un

0）的审敛法 ----- 莱布尼兹定理:

Un 1那么级数收敛且其和s

U1,其余项rn的绝对值rn

。

绝对收敛与条件收敛:

（1） u1 U2 Un ，其中Un为任意实数；

（2） U1

U2

U3

Un

如果（2）收敛，则（1）肯定收敛，且称为绝对 收敛级数;

如果（2）发散，而（1）收敛，则称（1）为条件收敛级数。

调和级数：

1发散，而 』收敛;

n n

级数：

p级数

幕级数:丄收敛；

n

1

：p 1时发散

np p 1时收敛

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1 x x x

|x 1时，发散

n

2

，如果它不是仅在原点 收敛，也不是在全

ax

2对于级数3)a

a-anX

|X

R时收敛

数轴上都收敛，则必存

在R时发散，其中R称为收敛半径。

R，

R时不

定

0时，R -

an 1

求收敛半径的方法：设

其中an， an 1是(3)的系数，则

0时，R

lim

n

an

时，R 0

23|x 1时，收敛于

(

函数展开成幕级数:

fx)^0(x x0)n

fx2

)(X X。4^(x X。)

函数展开成泰勒级数:

f (x) f(X°

2n!

(n 1)

!

(丄(x x0)n 1, f (x)可以展开成泰勒级数的 充要条件是：lim Rn 0

余项：Rn

n

(n 1)!

(n)2f (0)

n

f(x) f(0) f (0)x ^^x

x

Xo

0时即为麦克劳林公2!

n!

式:

些函数展开成幕级数:

m(m 1) (m n 1)

n

2m

1 mx mmJx

1 x 1)

(1 x)

x

)()

sinx x

欧拉公式:

ix

e cosx

三角级数:

f(t) Ao

2!

x_

x

3!

5!

3

5

x

1)

(2n 1)!

n12n 1

n!

i sinx

e

e

cosx

2

或

ix

si nx

e e

2

ix ix

ix

An sin( n

n)|

n 1 n 1

t(an cosnx bn sin nx)

An

COs

n，

t X。

sin nx, cosnx

任意两个不同项的乘积 在［

其中，a。

aA0，an

An

sin

n，S

正交性：1,sin x,cosx,sin 2x, cos2x

上的积分=0。

傅立叶级数：

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a

f(x)

其中

0

2

an

bn

(an cos nx bn s inn x), 周期

n 1

f (x)cos nxdx

(n 0,1,2

f (x)sinnxdx

(n 1,2,3

1

1

尹

8

24

1

1 1

1

22 42

62

正弦级数:

an

0, bn

余弦级数:

bn

0，an

周期为2l的周期函数的傅立叶级数:

1 1 1

尸 歹

4"

1 1

1

22

32

f (x)sin nxdx

f(x)cosnxdx

0

2

（相加）

6

2

一（相减）

12

1,2,3

0,1,2

f (x)

bnsin nx是奇函数

af(x)

0

2

an cos nx是偶函数

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a0

f(X)Q

(anC0Snin x

T 恥山丁)'周期

21

f (x)cos-dx

l

n x 用廿口

(n 0,1,2 )

(n 1,2,3 )

其中

bn

1

l

n x ,

f (x)s in dx l

微分方程的相关概念:

一阶微分方程：y f(x, y) 或 P(x, y)dx Q(x, y)dy 0

可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化 为g(y)dy f (x)dx的形式，解法:

g(y)dy f(x)dx 得：G(y) F(x) C称为隐式通解。

dy

齐次方程：一阶微分方程可以写成

f (x, y)

dx

dx

du

du

设u y，则鱼u

(u),

xdx，

x dx

x

dx

即得齐次方程通解。

1、

阶线性微分方程:

dy

P(x)y

dx

y Ce

Q(x)

P(x)dx

(x, y),

即写成上的函数，解法:

x

du

-分离变量，积分后将—代替u，

u x

当Q(x) 0时,为齐次方程,

当Q(x) 0时，为非齐次方程，y

(Q(x)e dx C)e

P(x)dx P(x) dx

2、贝努力方程：翌 P(x)y Q(x)yn，(n 0,1) dx

全微分方程：

如果P(x, y)dx Q(x, y)dy 0中左端是某函数的全微 分方程，即:

u

du(x, y) P(x,y)dx Q(x, y)dy 0,其中：-

x

u(x, y) C应该是该全微分方程的

二阶微分方程：

u

P(x,y),— Q(x, y)

y

通解。

d2y

dx2

P(x)乎

Q(x)y

dx

f (x),

f(x)

f(x)

0时为齐次

0时为非齐次

二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

(*) y py qy 0,其中p,q为常数；

求解步骤：

1、 写出特征方程：()r2

pr q 0,其中r2, r的系数及常数项恰好是(*)式中y ,y,y的系数;

2、 求出()式的两个根几卫

高数公式汇总 经管学生会内部资料

3、根据r,, r的不同情况，按下表写 出(*)式的通解:

r,， r2的形式

两个不相等实根(p2(*)式的通解

4q 0)

y c®

nx

C2e

2r2x

两个相等实根(p2 4q 0)

一对共轭复根(p2 4q 0)

y (c1 c2x)e"x

y ex(GCOS x c2 sin x)

r,

i，D

p

2， 2

i

寸 4q p

2

二阶常系数非齐次线性微分方程

y py qy f (x)，p,q为常数

f(x) e

xPm(x)型，为常数；

f(x) ex[R(x)cos x Fn(x)sin x]型