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2024年6月20日发(作者：计数公式excel函数)
从海洋贝类、螺旋星系再到人类肺部的结构，混沌的模型无处不在。
分形是从混沌方程形成的一系列图形，包含不断放大的复杂自相似图案。如果将一个
分形图案分为几个部分，那么每一小块都和整体形状完全一样。
分形的数学之美在于可以从相对简单的方程推导出无限复杂的系统。通过多次迭代或
重复分形生成方程，随机输出就可以产生独特且可识别的美丽图案。
地球上也存在一些自然生成的分形图形，下面我们将从中挑出一些最美丽的图案，以
飨读者。
1. 罗马花椰菜（Romanesco Broccoli）
这种花椰菜的变种形式是一种极限分形蔬菜。它的图案是斐波纳契（Fibonacci）黄金
螺旋的自然呈现形式，在这个对数螺旋中，每一个直角转弯与起始点的距离都被Φ值所约
束，Φ值即黄金分割率。
2. 盐滩
旧金山湾（San Francisco Bay）的盐滩曾经出产了将近一个世纪之久的商品盐。
世界上最大的盐滩，即位于玻利维亚南部的乌尤尼岩沼（Salar de Uyuni）。结痂的盐
层展现出一种非常一致的随机图案模式，这就是分形的特征。
3. 菊石缝合线
已经灭绝了6500万年之久的菊石是一种带有多室螺旋状外壳的海洋头足类动物，其
小室之间的阻隔即缝合线就是一种复杂的分形曲线。斯蒂芬·杰·古尔德（Stephen Jay
Gould）曾以菊石缝合线随时间的复杂性来论证不存在向着更高复杂性方向发展的进化驱
动力，人类的出现是一个“壮丽的偶然”，在宇宙中独一无二。
和罗马花椰菜一样，菊石外壳也会按照对数螺旋的方式生长，这种生长模式在自然界
中颇为常见。
西班牙巴塞罗那一处教堂楼梯的设计灵感就来自于菊石。
4. 山脉
地质构造作用力向上抬升地壳，侵蚀再将地壳撕得支离破碎，山脉从此形成，同时也
产生了分形图案。
上图是喜马拉雅山脉（Himalayan Mountains）的高空图像，地球上许多最高的山峰
都集中在这一带。造山运动始于7000万年前，随着印度板块和欧亚大陆板块的不断碰撞，
喜马拉雅山脉还在被抬升。
5. 蕨类植物（Ferns）
蕨类植物是最常见的自相似集合，这意味着不管放大或缩小多少倍，它们的图案都可
以进行数学上的推导和重现。这种蕨类图形被称为巴恩斯利蕨，是以首创者迈克尔·巴恩斯
利（Michael Barnsley）的名字命名的，用于描述这种分形图形的数学公式第一次表明，
虽然混度遵循建立在非线性迭代方程上的确定规则，但它天生无法预测。
换句话说，就是重复利用巴恩斯利蕨类公式所产生的随机数可以形成一个蕨类形状的
独特物体。
6. 云彩
图中的海洋层云（stratus clouds）图是水文气象卫星（Aqua satellite）在远离非洲
海岸的大西洋上所拍摄的照片，图中分形状的云彩图案被一系列的对角线槽所扰乱。据
NASA地球大观（NASA Earth Observatory）网站介绍，在连续的成云区看到如此醒目
的分界线特别不同寻常，科学家还在寻找出现分界线的真正原因。
图中展示的是长达320公里的云旋（cloud vortex），NASA的相关记录显示，这是
有史以来所拍摄到的最长云旋队列。为了纪念已故的流体动力学家西奥多·冯·卡门
（Theodore von Kármán），这些云旋也被称为冯·卡门云街（von Kármán cloud
streets）。
当低垂的云层被岛屿一类的物体所阻碍时就会形成云街，飞机在飞行时机翼后方的气
流也会形成类似的漩涡
7. 树叶
很多植物在生成分枝形状和叶片图案时遵循简单的递归法则。
具有讽刺意味的是，沿着主干道、次级干道和三级道路的森林砍伐模式也形成了相似
的图案，下面这幅照片拍摄的是巴西西部朗多尼亚州（Rondonia）的森林砍伐，朗多尼亚
州是亚马逊森林被砍伐最多的地区之一。
8. 峡谷
这幅大峡谷（ Grand Canyon）的伪彩色照片展示了科罗拉多河（Colorado River）
几百万年的冲刷所形成的分形图案，图中的红色是植被区域。
这幅伪彩色照片拍摄的是亚利桑那州的谢伊峡谷国家保护区（Canyon de Chelly
National Monument），美国国家公园管理局（National Park Service）宣称该峡谷保护
区是北美地区最长的连续人居景观之一。
9. 闪电
当闪电冲向地面将空气变为等离子体时，它所经历的路径是逐步形成的。
多重闪电链。
10. 孔雀羽毛
孔雀通过展现羽毛上的重复图案吸引异性前来交配。
孔雀羽毛局部特写
11. 雪花
雪花和结霜表面的冰晶会形成重复图案。这些图案启发人们去思考意识的力量是如何
影响物质的，另外在这些图案中科赫雪花（Koch snowflake）也是第一种被详细描述的分
形曲线。
雪花特写。
12. 瀑布
和峡谷类似，瀑布水流在流经陡峭的岩架面时，不规则岩石和重力的协同作用会产生
重复图案。
13. 河流三角洲
育空河（Yukon River）流入白令海（Bering Sea ）之前，在阿拉斯加海岸附近形成
数千条分流河道。图中河流的流向是自右至左，最左边的白令海清晰可见。
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