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2024年4月23日发(作者：background url图片显示不出来)

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文

言

言

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文

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篇

高中数学第四章-三角函数

考试内容：

角的概念的推广．弧度制．

任意角的三角函数．单位圆中的三角函数线．同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式．

两角和与差的正弦、余弦、正切．二倍角的正弦、余弦、正切．

正弦函数、余弦函数的图像和性质．周期函数．函数y=Asin(ωx+φ)的图像．正切函数的图像和性质．已

知三角函数值求角．

正弦定理．余弦定理．斜三角形解法．

考试要求：

（1）理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算．

（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本

关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；了解周期函数与最小正周期的意义．

（3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．

（4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．

（5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数

y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A.ω、φ的物理意义．

（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinxarc-cosxarctanx表示．

（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．

（8）“同角三角函数基本关系式：sin2α+cos2α=1，sinα/cosα=tanα,tanα•cosα=1”．

§04. 三角函数 知识要点

1. ①与

（0°≤

＜360°）终边相同的角的集合（角

与角

的终边重合）：

|

k360

,kZ

▲



②终边在x轴上的角的集合：

|

k180,kZ

③终边在y轴上的角的集合：

|

k18090,kZ

④终边在坐标轴上的角的集合：

|

k90

,kZ

⑤终边在y=x轴上的角的集合：

|

k180

45

,kZ

⑥终边在

yx

轴上的角的集合：

|

k180

45

,kZ

y

2

sinx

1

cosx

cosx

3

sinx



4

cosx

cosx

1

sinx

2

sinx

3

x



4





SINCOS

三角函数值大小关系图

1、2、3、4表示第一、二、三、

四象限一半所在区域

⑦若角

与角

的终边关于x轴对称，则角

与角

的关系：

360

k

⑧若角

与角

的终边关于y轴对称，则角

与角

的关系：

360

k180

⑨若角

与角

的终边在一条直线上，则角

与角

的关系：

180

k

⑩角

与角

的终边互相垂直，则角

与角

的关系：

360

k

90

2. 角度与弧度的互换关系：360°=2

180°=

1°=0.01745 1=57.30°=57°18′

注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.

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文

言

言

文

文

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篇

篇

、弧度与角度互换公式： 1rad＝

180

°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝

≈0.01745（rad）

180

3、弧长公式：

l|

|r

. 扇形面积公式：

s

扇形

lr|

|r

2

y

1

2

1

2

4、三角函数：设

是一个任意角，在

的终边上任取（异于

（x,y）P与原点的距离为r，则

sin

y

；

cos

x

；

r

r

r

r

x

cot

；

sec

；.

csc

.

x

y

y

原点的）一点P

a

的终边

P（x,y)

r

tan

y

x

；

o

x

5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）

y

P

T

+

+

o

x

-

-

正弦、余割

y

-+

o

-+

x

余弦、正割

y

-

+

o

x

+-

正切、余切

O

y

M

A

x

6、三角函数线

正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.

7. 三角函数的定义域：

16. 几个重要结论

:

(1)

y

(2)

y

|sinx|>|cosx|

sinx>cosx

O

x

|cosx|>|sinx|

O

|cosx|>|sinx|

x

cosx>sinx

|sinx|>|cosx|

(3) 若 o

2

三角函数

f(x)

sinx

f(x)

cosx

f(x)

tanx

f(x)

cotx

f(x)

secx

f(x)

cscx

定义域

x|xR

x|xR

1



x|xR且xk

,kZ

2



x|xR且xk

,kZ

1



x|xR且xk

,kZ

2



x|xR且xk

,kZ

cos

cos

cot

sin

8、同角三角函数的基本关系式：

sin

tan

tan

cot

1

cscsin1

seccos1

sin

2

cos

2

1

sec

2

tan

2

1

csc

2

cot

2

1

9、诱导公式：

把

k

的三角函数化为

的三角函数，概括为：

2

“奇变偶不变，符号看象限”

三角函数的公式：（一）基本关系

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帝

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经

经

文

文

言

言

文

文

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篇

篇

公式组一

公式组二 公式组三

sinx

sin(2k

x)sinx

sin(x)sinx

sin

x

·

csc

x

=1tan

x

=sin

2

x

+cos

2

x

=1

cosx

cos(2k

x)cosx

cos(x)cosx

cos

x

2

2

cos

x

·

sec

x

=1

x

=

sinx

1+tan

x

=sec

x

tan(2k

x)tanx

tan(x)tanx

tan

x

·

cot

x

=1 1+cot

2

x

=csc

2

x

cot(2k

x)cotx

cot(x)cotx

公式组四 公式组五 公式组六

sin(

x)sinxsin(2

x)sinxsin(

x)sinx

cos(

x)cosx

tan(

x)tanx

cos(2

x)cosx

tan(2

x)tanx

cos(

x)cosx

tan(

x)tanx

cot(

x)cotxcot(2

x)cotxcot(

x)cotx

（二）角与角之间的互换

公式组一 公式组二

cos(

)cos

cos

sin

sin

sin2

2sin

cos

cos(

)cos

cos

sin

sin

cos2

cos

2

sin

2

2cos

2

112sin

2

sin(

)sin

cos

cos

sin

tan2

2tan

1tan

2

sin(

)sin

cos

cos

sin

sin

1cos

2



2

tan(

)

tan

tan

1tan

tan

cos

2



1cos

2

tan(

)

tan

tan

tan



1cos

tan

21cos

sin

1cos

1cos

1tan

sin

公式组三 公式组四 公式组五

sin

cos

1

sin

sin

2tan

2

cos(

1

sin

2

cos

sin

1

sin

sin

2

)sin

1tan

2

2

2

sin(

1

)cos

cos

cos

1

cos

cos

2

1tan

2

2

cos

2

1

cos

cos

tan(

1

)cot

sin

sin



2

1tan

2

2



1

2

sin

sin

2sincos

cos(

)sin

2



2

2

2tan

sin

sin

2cos

2

sin

2

1

tan

2

tan(

)cot

cos

cos

2cos

cos

2

1tan

2

22

1

2

cos

cos

2sin

2

sin

sin(

2

2

)cos

sin15

cos75

62

,

sin75

cos15

62

,

tan15

cot75

23

,

tan75

cot15

23

.

4

4

10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：

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内

内

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经

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文

言

言

文

文

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篇

篇

定义域

值域

周期性

奇偶性

单调性

ysinx

ycosx

R

[1,1]

ytanx

1

x|xR且xk

,kZ

2



ycotx

x|xR且xk

,kZ

R

yAsin

x

（A、

＞0）

R R

[1,1]

R

A,A

当

0,

非奇非偶

当

0,

奇函数

2k

2k

2

(A),

1

2

(A)



2

奇函数

2

2

偶函数

[

2k1

,

2k

]

奇函数

k

,k

2

2

奇函数

[

2

2k

,

；

k

,

k1

上为减函

数（

kZ

）

2

2k

]

上为增函

数；

[

上为增函

数

[2k

,

2k1

]

上为减函

数

（

kZ

）

上为增函数

（

kZ

）

2

3

2k

]

2

2k

,

上为增函数；

2k



上为减函

数（

kZ

）

2

(A),







3

2k



2

(A)





上为减函数

（

kZ

）

注意：①

ysinx

与

ysinx

的单调性正好相反；

ycosx

与

ycosx

的单调性也同样相反.一般地，若

，则

yf(x)

在

[a,b]

上递减（增）.

yf(x)

在

[a,b]

上递增（减）

▲

②

ysinx

与

ycosx

的周期是

.

③

ysin(

x

)

或

ycos(

x

)

（

0

）的周期

T

2

y

.

O

x

x

ytan

的周期为2

（

T

T2

，如图，翻折无效）.

2

④

ysin(

x

)

的对称轴方程是

xk

2

（

kZ

），对称中心（

k

,0

）；

ycos(

x

)

的对称轴方程是

，对称中心（

k

1

,0

）；

ytan(

x

)

的对称中心（

xk

（

kZ

）

2

k

,0

）.

2

(kZ)

.

ycos2x

原点对称

ycos(2x)cos2x

⑤当

tan

·

tan

1,

k

2

(kZ)

；

tan

·

tan

1,

k

2

⑥

ycosx

与

ysin

x2k

是同一函数,而

y(

x

)

是偶函数，则

2



1

y(

x

)sin(

xk

)cos(

x)

.

2

⑦函数

ytanx

在

R

上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，

ytanx

为增

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文

文

言

言

文

文

全

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篇

篇

函数，同样也是错误的].

⑧定义域关于原点对称是

f(x)

具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点

对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：

f(x)f(x)

，奇函数：

f(x)f(x)

）

1

奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：

ytanx

是奇函数，

ytan(x

)

是非奇非偶.（定义域不关于原点

3

对称）

奇函数特有性质：若

0x

的定义域，则

f(x)

一定有

f(0)0

.（

0x

的定义域，则无此性质）

▲

⑨

ysinx

不是周期函数；

ysinx

为周期函数（

T

）；

；

ycosx

为周期函数（

T

）；

ycosx

是周期函数（如图）

y

▲

y

x

1/2

x

y=cos|x|图象

1

，并非所有周期函数都有最小正周期，例如：

ycos2x

的周期为

（如图）

2

y=|cos2x+1/2|图象

yf(x)5f(xk),kR

.

⑩

yacos

bsin

a

2

b

2

sin(

)cos

11、三角函数图象的作法：

１）、几何法：

b

有

a

2

b

2

y

.

a

２）、描点法及其特例——五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）.

３）、利用图象变换作三角函数图象．

三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等．

函数y＝Asin（ωx＋φ）的振幅|A|，周期

T

2

，频率

f

1

|

|

，相位

x

;

初相

（即当x＝0

|

|

T2

时的相位）．（当A＞0，ω＞0 时以上公式可去绝对值符号），

由y＝sinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来

的|A|倍，得到y＝Asinx的图象，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换．（用y/A替换y）

由y＝sinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的

|

1

|

倍，得到y＝sinω x的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换．(用ωx替换x)

由y＝sinx的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，得到y＝sin

（x＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移．(用x＋φ替换x)

由y＝sinx的图象上所有的点向上（当b＞0）或向下（当b＜0）平行移动｜b｜个单位，得到y＝sinx

＋b的图象叫做沿y轴方向的平移．（用y+(-b)替换y）

由y＝sinx的图象利用图象变换作函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）（x∈R）的图象，要特别注

意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。

4、反三角函数：

函数y＝sinx，

记作



的反函数叫做反正弦函数，



x

2

，

2

y＝arcsinx，它的定义域是［－1，1］，值域是

－

，

．

22

函数y＝cosx，（x∈［0，

π

］）的反应函数叫做反余弦函数，记作y＝arccosx，它的定义域是［－1，1］，

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言

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篇

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值域是［0，

π

］．

函数y＝tanx，

值域是

，

．

22



的反函数叫做反正切函数，记作

x

2

，

2



y＝arctanx，它的定义域是（－∞，＋∞），

函数y＝ctgx，［x∈（0，

π

）］的反函数叫做反余切函数，记作y＝arcctgx，它的定义域是（－∞，＋

∞），值域是（0，

π

）．

II. 竞赛知识要点

一、反三角函数.

1. 反三角函数：⑴反正弦函数

yarcsinx

是奇函数，故

arcsin(x)arcsinx

，

x

1,1

（一定要注明

定义域，若

x

,

，没有

x

与

y

一一对应，故

ysinx

无反函数）

注：

sin(arcsinx)x

，

x

1,1

，

arcsinx

,

.

22

⑵反余弦函数

yarccosx

非奇非偶，但有

arccos(x)arccos(x)

2k

，

x

1,1

.

注：①

cos(arccosx)x

，

x

1,1

，

arccosx

0,

.

②

ycosx

是偶函数，

yarccosx

非奇非偶，而

ysinx

和

yarcsinx

为奇函数.

⑶反正切函数：

yarctanx

，定义域

(,)

，值域（

arctan(x)arctanx

，

x

(,)

.



22

,

），

yarctanx

是奇函数，

注：

tan(arctanx)x

，

x

(,)

.

⑷反余切函数：

yarccotx

，定义域

(,)

，值域（



，

yarccotx

是非奇非偶.

,

）

22

arccot(x)arccot(x)

2k

，

x

(,)

.

注：①

cot(arccotx)x

，

x

(,)

.

②

yarcsinx

与

yarcsin(1x)

互为奇函数，

yarctanx

同理为奇而

yarccosx

与

yarccotx

非奇非偶但满

足

arccos(x)arccosx

2k

,x[1,1]arccotxarccot(x)

2k

,x[1,1]

.

⑵ 正弦、余弦、正切、余切函数的解集：

a

的取值范围 解集

a

的取值范围 解集

①

sinxa

的解集 ②

cosxa

的解集

a

＞1

=1

x|x2k

arcsina,kZ

＜1

x|xk

1

k

arcsina,kZ

a

a

＞1

a

=1

x|x2k

arccosa,kZ

a



a

＜1

x|xk

arccosa,kZ

③

tanxa

的解集：

x|xk

arctana,kZ

③

cotxa

的解集：

x|xk

arccota,kZ

二、三角恒等式.

sin2

n1

组一

n

cos

cos2

cos4

...cos2

n1

2sin

sin3

3sin

4sin

3

cos3

4cos

3

3cos

sin

2

sin

2

sin

sin

cos

2

cos

2

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文

文

言

言

文

文

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篇

篇

组二

n

cos

cos

k1

2

k

cos

24

cos

8

cos

2

n

sin

2

n

sin

2

n

n

cos(xkd)cosxcos(xd)cos(xnd)

sin((n1)d)cos(xnd)

k0

sind

n

sin(xkd)sinxsin(xd)sin(xnd)

sin((n1)d)sin(xnd)

k0

sind

tan(

)

tan

tan

tan

tan

tan

tan

1tan

tan

tan

tan

tan

tan

组三 三角函数不等式

sinx

＜

x

＜

tanx,x(0,

sinx

2

)

f(x)

x

在

(0,

)

上是减函数

若

ABC

，则

x

2

y

2

z

2

2yzcosA2xzcosB2xycosC

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本文标签： 函数 弧度 公式 变换 图象

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