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2024年4月15日发(作者：request函数)
第一章
集
合
1 集合的运算
一、集合的概念
定义1 设有两个集合A，B。
若
x∈A
，必有
x∈B
，则称A是B的子集或B包含A，记为
A⊂B或B⊃A
。
若
A⊂B
，且存在
x∈B
满足
x∉A
，则称A是B的真子集。
若
A⊂B且B⊂A
，则称A与B相等或相同。
定义2 设
Λ
是一个非空集合，对于每个
α
∈Λ
，指定一个集合
A
α
，于是得到许
多集合，它们的总体称为集合族，记为
{
A
α
|
α
∈Λ
}
或
{
A
α
}
α
∈Λ
。
二、集合的运算
定义3 设A，B是两个集合。
（1） 称集合
A
∪
B
=
{
x
|
x
∈
A
或
x
∈
B
}
为A与B的并集，即由A与B的全
部元素构成的集合；
（2） 称集合
A
∩
B
=
{
x
|
x
∈
A
且
x
∈
B
}
为A与B的交集，即由A与B的公
共元素构成的集合；
定理1（1）交换律
A∪B=B∪A
，
A∩B=B∩A
；
（2）结合律
(A∩B)∩C=A∩(B∩C)
,
(A∩B)∩C=A∩(B∩C)
;
（3）分配律
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
。
更一般地有
（4）
A∪
（5）
A∩
(
∩B
)
=∩
(
A∪B
)
；
α
∈Λ
α
α
∈Λ
α
(
∪B
)
=∪
(
A∩B
)
α
∈Λ
α
α
∈Λ
α
；
∞
⎛
∞
⎞⎛
∞
⎞
∪
(
A
n
∪B
n
)
=
⎜
∪A
n
⎟
∪
⎜
∪B
n
⎟
。 （6）设
{
A
n
}
和
{
B
n
}
为两集列，有
n=1
⎝
n=1
⎠⎝
n=1
⎠
定义4 设A，B是两个集合，称集合
AB=
{
x|x∈A且x∉B
}
是A和B的差集，
即在集合中而不在集合B中的一切元素构成的集合。如果
B⊂A
，则称
A
B
为B相对于A的补集或余集。
定理2 （1）
A∪A=X,A∩A=∅,A
cc
()
c
c
=A,X
c
=∅,∅
c
=X
；
（2）
A
B
=
A∩B
c
；
（3）若
A⊂B
，则
A
c
⊃B
c
；
（4）若
A
∩
B
=∅
，则
A⊂B
c
；
（5）
(
AB
)
∩C=
(
A∩C
)
(
BC
)
,
(
AB
)
C=A
(
B∪C
)
。
定理3 （D Morgan法则）
（1）
X∪A
α
=∩
α
∈Λ
α
∈Λ
(
XA
α
)
；
(
XA
α
)
； （2）
X∩A
α
=∪
α
∈Λ
α
∈Λ
特别的，若X为全集，有
（3）
∪A
α
α
∈Λ
（4）
()
c
=∩A
α
c
；
α
∈Λ
(
α
∈Λ
∩A
α
)
c
=∪A
α
c
。
α
∈Λ
定义5 设X与Y是两个集合，称集合
X
×
Y
=
{
(
x
,
y
)
|
x
∈
X
,
y
∈
Y
}
是X与Y的直
积集，简称X与Y的直积，其中
(
x
1
,y
1
)
=
(
x
2
,y
2
)
是指
x
1
=
x
2
且
y
1
=
y
2
。
三、集合列的极限集
定义6 设
{
A
k
}
是一列集合，分别称集合
limA
k
=
{
x|存在无穷多个k，使x∈A
k
}
k→∞
limA
k
=
{
x|只有有限个k，使x∉A
k
}
k→∞
是集合列
{
A
k
}
的上极限集与下极限集。
注解：①
x∈limA
k
k→∞
②
x∈limA
k
k→∞
⇔
存在
{
A
}
的子集列
{
A
}
，使
x∈A
k
⇔
存在
N
>0
，当
k
>
N
时，
x∈A
k
；
k
k
i
i
，
i=1,2
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