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2024年3月21日发(作者：jquerydelegate函数有什么用)

第一篇、复合函数问题之勘阻及广创作

一、复合函数定义：设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域

为B，若A

B，则y关于x函数的y=f［g(x)］叫做函数f与g的

复合函数，u叫中间量.

二、复合函数定义域问题：

（一）例题剖析：

(1)、已知

f(x)

的定义域，求

f

g(x)

的定义域

例1.设函数

f(u)

的定义域为（0，1），则函数

f(lnx)

的定义

域为_____________。

解析：函数

f(u)

的定义域为（0，1）即

u(0，1)

，所以

f

的作

用范围为（0，1）

又f对lnx作用，作用范围不变，所以

0lnx1

解得

x(1，e)

，故函数

f(lnx)

的定义域为（1，e）

例2. 若函数

f(x)

1

x1

，则函数

f

f(x)

的定义域为

______________。

解析：先求f的作用范围，由

f(x)

1

x1

，知

x1

即f的作用范围为

xR|x1

，又f对f(x)作用

x1

ff(x)

f(x)R且f(x)1



所以，即中x应满足

f(x)1

x1

1

1

x1

即，解得

x1且x2

故函数

f

f(x)

的定义域为

xR|x1且x2

（2）、已知

f

g(x)

的定义域，求

f(x)

的定义域

例3. 已知

f(32x)

的定义域为

x

1，2

，则函数

f(x)

的定义

域为_________。

解析：

f(32x)

的定义域为

1，2

，即

x

1，2

，由此得

32x

1，5

所以f的作用范围为

1，5

，又f对x作用，作用范围不

变，所以

x

1，5

即函数

f(x)

的定义域为

1，5

x

2

f(x4)lg

2

x8

，则函数

f(x)

的定义域为

2

例4. 已知

______________。

x

2

x

2

f(x4)lg

2

0

x8

，知

x

2

8

2

解析：先求f的作用范围，由

2

解得

x44

，f的作用范围为

(4，)

，又f对x作用，作

用范围不变，所以

x(4，)

，即

f(x)

的定义域为

(4，)

（3）、已知

f

g(x)

的定义域，求

f

h(x)

的定义域

思路：设

f

g(x)

的定义域为D，即

xD

，由此得

g(x)E

，

f

的作用范围为E，又f对

h(x)

作用，作用范围不变，所以

h(x)E

，解得

xF

，F为

f

h(x)

的定义域。

x

f(2)

的定义域为

1，1

，则

f(log

2

x)

的定义域例5. 若函数

为____________。

x

f(2)

的定义域为

1，1

，即

x

1，1

，由此得解析：

1

2

x

，2

2

1

，2

f

的作用范围为

2

又f

即

1

log

2

x

，2

x

logx

2



2

对作用，所以，解得

2，4

f(log

2

x)

的定义域为

2，4

三、复合函数单调性问题

（1）引理证明

已知函数

yf(g(x))

.若

ug(x)

在区间

(a,b

）上是减函数，其值

域为(c，d)，又函数

yf(u)

在区间(c,d)上是减函数，那么，原

复合函数

yf(g(x))

在区间

(a,b

）上是增函数.

证明：在区间

(a,b

）内任取两个数

x

1

,x

2

，使

ax

1

x

2

b

因为

ug(x)

在区间

(a,b

）上是减函数，所以

g(x

1

)g(x

2

)

,记

u

1

g(x

1

)

,

u

2

g(x

2

)

即

u

1

u

2,

且u

1

,u

2

(c,d)

因为函数

yf(u)

在区间(c,d)上是减函数，所以

f(u

1

)f(u

2

)

,

即

f(g(x

1

))f(g(x

2

))

，

故函数

yf(g(x))

在区间

(a,b

）上是增函数.

（2）．复合函数单调性的判断

复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，

我们把它们总结成一个图表：

yf(u)

增 ↗

增 ↗

增 ↗

减 ↘

减 ↘

增 ↗

减 ↘

减 ↘

减 ↘

增 ↗

ug(x)

yf(g(x))

以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异

减”.

（3）、复合函数

yf(g(x))

的单调性判断步调：

ⅰ 确定函数的定义域；

ⅱ 将复合函数分解成两个简单函数：

yf(u)

与

ug(x)

。

ⅲ 分别确定分解成的两个函数的单调性；

ⅳ 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增

函数，或都是减函数），则复合后的函数

yf(g(x))

为增函

数； 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函

数，而另一个是减函数），则复合后的函数

yf(g(x))

为减函数。

（4）例题演练

例1、 求函数

予证明

ylog

1

(x

2

2x3)

2

的单调区间，并用单调定义给

2

解：定义域

x2x30x3或x1

单调减区间是

(3,)

设

x

1

,x

2

(3,)且x

1

x

2

则

(x

1

2x

1

3)

(x

2

2x

2

3)

=

(x

2

x

1

)(x

2

x

1

2)

2

2

∵

x

2

x

1

3

∴

x

2

x

1

0x

2

x

1

20

2

(x2x3)

(x

11

2

∴>

2x

2

3)

又底数

2

0

1

1

2

∴

y

2

y

1

0

即

y

2

y

1

∴

y

在

(3,)

上是减函数

同理可证：

y

在

(,1)

上是增函数


本文标签： 函数 复合 单调

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