复合函数知识总结及例题

复合函数问题

一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若A



B，则y关于x函数的y=f

［g(x)］叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.

二、复合函数定义域问题：

(1)、已知

f(x)

的定义域，求

f



g(x)



的定义域

思路：设函数

f(x)

的定义域为D，即

xD

，所以

f

的作用范围为D，又f对

g(x)

作用，作用范围

不变，所以

g(x)D

，解得

xE

，E为

f



g(x)



的定义域。

例1. 设函数

f(u)

的定义域为（0，1），则函数

f(lnx)

的定义域为_____________。

解析：函数

f(u)

的定义域为（0，1）即

u(0，1)

，所以

f

的作用范围为（0，1）

又f对lnx作用，作用范围不变，所以

0lnx1

解得

x(1，e)

，故函数

f(lnx)

的定义域为（1，e）

1

，则函数

f



f(x)



的定义域为______________。

x1

1

解析：先求f的作用范围，由

f(x)

，知

x1

x1

例2. 若函数

f(x)

即f的作用范围为



xR|x1



，又f对f(x)作用所以

f(x)R且f(x)1

，即

f



f(x)



中x应



x1



x1



满足



即



1

，解得

x1且x2

1



f(x)1





x1

故函数

f



f(x)



的定义域为

xR|x1且x2

（2）、已知

f



g(x)



的定义域，求

f(x)

的定义域

思路：设

f



g(x)



的定义域为D，即

xD

，由此得

g(x)E

，所以f的作用范围为E，又f对x作

用，作用范围不变，所以

xE，E

为

f(x)

的定义域。

例3. 已知

f(32x)

的定义域为

x1，2

，则函数

f(x)

的定义域为_________。

解析：

f(32x)

的定义域为

1，2

，即

x1，2

，由此得

32x1，5

所以f的作用范围为

1，5

，又f对x作用，作用范围不变，所以

x1，5









1

x

2

即函数

f(x)

的定义域为



1，5



例4. 已知

f(x4)lg

2

，则函数

f(x)

的定义域为-------

x8

2

x

2

x

2

0

解析：先求f的作用范围，由

f(x4)lg

2

，知

2

x8

x8

2

解得

x

2

44

，f的作用范围为

(4，)

，又f对x作用，作用范围不变，所以

x(4，)

，

即

f(x)

的定义域为

(4，)

（3）、已知

f



g(x)



的定义域，求

f



h(x)



的定义域

思路：设

f



g(x)



的定义域为D，即

xD

，由此得

g(x)E

，

f

的作用范围为E，又f对

h(x)

作

用，作用范围不变，所以

h(x)E

，解得

xF

，F为

f



h(x)



的定义域。

例5. 若函数

f(2)

的定义域为

1，1

，则

f(log

2

x)

的定义域为____________。

x



x

解析：

f(2)

的定义域为

1，1

，即

x1，1

，由此得

2



，2





2



x





1





1



1



f

的作用范围为



，2



，又f对

log

2

x

作用，所以

log

2

x



，2



，解得

x



2





2



即

f(log

2

x)

的定义域为



2，4





2，4



评注：函数定义域是自变量x的取值范围（用集合或区间表示）f对谁作用，则谁的范围是f的作用范

围，f的作用对象可以变，但f的作用范围不会变。利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”

的感觉，值得大家探讨。

三、复合函数单调性问题

（1）引理证明

已知函数

yf(g(x))

.若

ug(x)

在区间

(a,b

）上是减函数，其值域为(c，d)，又函数

yf(u)

在

区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数

yf(g(x))

在区间

(a,b

）上是增函数.

证明：在区间

(a,b

）内任取两个数

x

1

,x

2

，使

ax

1

x

2

b

因为

ug(x)

在区间

(a,b

）上是减函数，所以

g(x

1

)g(x

2

)

,记

u

1

g(x

1

)

,

u

2

g(x

2

)

即

u

1

u

2,

且u

1

,u

2

(c,d)

2

因为函数

yf(u)

在区间(c,d)上是减函数，所以

f(u

1

)f(u

2

)

,即

f(g(x

1

))f(g(x

2

))

，

故函数

yf(g(x))

在区间

(a,b

）上是增函数.

（2）．复合函数单调性的判断

复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：

yf(u)

ug(x)

yf(g(x))

增 ↗

增 ↗

增 ↗

减 ↘

减 ↘

增 ↗

减 ↘

减 ↘

减 ↘

增 ↗

以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.

（3）、复合函数

yf(g(x))

的单调性判断步骤：

ⅰ 确定函数的定义域；

ⅱ 将复合函数分解成两个简单函数：

yf(u)

与

ug(x)

。

ⅲ 分别确定分解成的两个函数的单调性；

ⅳ 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数

yf(g(x))

为增函数； 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函

数），则复合后的函数

yf(g(x))

为减函数。

（4）例题演练

例1、 求函数

ylog

1

(x2x3)

的单调区间，并用单调定义给予证明

2

2

解：定义域

x2x30x3或x1

单调减区间是

(3,)

设

x

1

,x

2

(3,)且x

1

x

2

则

2

y

1

log

1

(x

1

2x

1

3)

y

2

log

1

(x

2

2x

2

3)

2

2

2

2

2

2

(x

1

2x

1

3)

(x

2

2x

2

3)

=

(x

2

x

1

)(x

2

x

1

2)

∵

x

2

x

1

3

∴

x

2

x

1

0

x

2

x

1

20

3

∴

(x

1

2x

1

3)

>

(x

2

2x

2

3)

又底数

0

∴

y

2

y

1

0

即

y

2

y

1

∴

y

在

(3,)

上是减函数

2

2

1

1

2

同理可证：

y

在

(,1)

上是增函数

［例］2、讨论函数

f(x)log

a

(3x

2

2x1)

的单调性.

［解］由

3x

2

2x10

得函数的定义域为

1

{x|x1,或x}.

3

则当

a1

时，若

x1

，∵

u3x

2

2x1

为增函数，∴

f(x)log

a

(3x

2

2x1)

为增函数.

若

x

，∵

u3x

2

2x1

为减函数.

∴

f(x)log

a

(3x

2

2x1)

为减函数。

当

0a1

时，若

x1

，则

f(x)log

a

(3x

2

2x1)

为减函数，若

x

1

3

1

，则

3

f(x)log

a

(3x

2

2x1)

为增函数.

例3、.已知y=

log

a

(2-

a

)在［0，1］上是x的减函数，求a的取值范围.

解：∵a＞0且a≠1

当a＞1时，函数t=2-

a

>0是减函数

由y=

log

a

(2-

a

)在［0，1］上x的减函数，知y=

log

a

t是增函数，

∴a＞1

由x



［0，1］时，2-

a



2-a＞0,得a＜2,

∴1＜a＜2

当0

a

>0是增函数

x

x

x

x

x

由y=

log

a

(2-

a

)在［0，1］上x的减函数，知y=

log

a

t是减函数，

∴0

x

由x



［0，1］时，2-

a



2-1＞0, ∴0

综上述，0

x

例4

、

已知函数

f(x2)ax

2

(a3)xa2

（

a

为负整数）的图象经过点

(m2,0),mR

，设

g(x)f[f(x)],F(x)pg(x)f(x)

.问是否存在实数

p(p0)

使得

F(x)

在区间

(,f(2)]

上是减函

数，且在区间

(f(2),0)

上是减函数？并证明你的结论。

［解析］由已知

f(m2)0

，得

am

2

(a3)ma20

，

4

其中

mR,a0.

∴

0

即

3a

2

2a90

，

解得

127127

a.

33

∵

a

为负整数，∴

a1.

∴

f(x2)x



4x3(x2)

2

1

，

即

f(x)x

2

1.

g(x)f[f(x)](x1)1x2x

，

∴

F(x)pg(x)f(x)px

4

(2p1)x

2

1.

假设存在实数

p(p0)

，使得

F(x)

满足条件，设

x

1

x

2

，

2

x

2

)[p(x

2

x

2

)2p1].

∴

F(x

1

)F(x

2

)(x

1212

2242

∵

f(2)3

，当

x

1

,x

2

(,3)

时，

F(x)

为减函数，

2

x

2

0,p(x

2

x

2

)2p10.

∴

F(x

1

)F(x

2

)0

，∴

x

1212

2

x

2

18

, ∵

x

1

3,x

2

3

,∴

x

12

2

x

2

)2p116p1

, ∴

p(x

12

∴

16p10.

①

当

x

1

,x

2

(3,0)

时,

F(x)

增函数,∴

F(x

1

)F(x

2

)0.

2

x

2

0

,∴

p(x

2

x

2

)2p116p1

, ∵

x

1212

∴

16p10

.

由①、②可知

p

②

1

1

，故存在

p.

16

16

一．

指数函数与对数函数

．同底的指数函数

ya

与对数函数

ylog

a

x

互为反函数；

（二）主要方法：

1．解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域；

2．指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1还是小于1，要注意对底数的讨论；

3．比较几个数的大小的常用方法有：①以

0

和

1

为桥梁；②利用函数的单调性；③作差．

（三）例题分析：

x

b

，

log

b

a

，

log

a

b

从小到大依次为 ；

a

xyz

（2）若

235

，且

x

，

y

，

z

都是正数，则

2x

，

3y

，

5z

从小到大依次为 ；

xx

（3）设

x0

，且

ab1

（

a0

，

b0

），则

a

与

b

的大小关系是 （ ）

（

A

）

ba1

（

B

）

ab1

（

C

）

1ba

（

D

）

1ab

bb

2

解：（1）由

aba1

得

a

，故

log

b



log

b

a

1

log

a

b

．

aa

例1．（1）若

a

2

ba1

，则

log

b

5

lgtlgtlgt

，

y

，

z

，

lg2lg3lg5

2lgt3lgtlgt(lg9lg8)

0

，∴

2x3y

； ∴

2x3y

lg2lg3lg2lg3

同理可得：

2x5z0

，∴

2x5z

，∴

3y2x5z

．（3）取

x1

，知选（

B

）．

x2

例2．已知函数

f(x)a

x



(a1)

，

x1

求证：（1）函数

f(x)

在

(1,)

上为增函数；（2）方程

f(x)0

没有负数根．

证明：（1）设

1x

1

x

2

，

x2x2

x

a

x

2



2

则

f(x

1

)f(x

2

)a

1



1

x

1

1x

2

1

x2x

2

23(x

1

x

2

)

a

x

1

a

x

2



1

a

x

1

a

x

2



，

x

1

1x

2

1(x

1

1)(x

2

1)

∵

1x

1

x

2

，∴

x

1

10

，

x

2

10

，

x

1

x

2

0

，

3(x

1

x

2

)

0

； ∴

(x

1

1)(x

2

1)

（2）令

2

x

3

y

5

z

t

，则

t1

，

x

xx

xx

∵

1x

1

x

2

，且

a1

，∴

a

1

a

2

，∴

a

1

a

2

0

，

∴

f(x

1

)f(x

2

)0

，即

f(x

1

)f(x

2

)

，∴函数

f(x)

在

(1,)

上为增函数；

（2）假设

x

0

是方程

f(x)0

的负数根，且

x

0

1

，则

a

0



即

a

x

0

x

x

0

2

0

，

x

0

1

2x

0

3(x

0

1)

3

1

， ①

x

0

1x

0

1x

0

1

33

3

，∴

12

，而由

a1

知

a

x

0

1

， 当

1x

0

0

时，

0x

0

11

，∴

x

0

1x

0

1



∴①式不成立；

当

x

0

1

时，

x

0

10

，∴

33

0

，∴

11

，而

a

x

0

0

，

x

0

1x

0

1

∴①式不成立．

综上所述，方程

f(x)0

没有负数根．

x

例3．已知函数

f(x)log

a

(a1)

（

a0

且

a1

）．

求证：（1）函数

f(x)

的图象在

y

轴的一侧；

（2）函数

f(x)

图象上任意两点连线的斜率都大于

0

．

证明：（1）由

a

x

10

得：

a

x

1

，

∴当

a1

时，

x0

，即函数

f(x)

的定义域为

(0,)

，此时函数

f(x)

的图象在

y

轴的右侧；

当

0a1

时，

x0

，即函数

f(x)

的定义域为

(,0)

，此时函数

f(x)

的图象在

y

轴的左侧．

∴函数

f(x)

的图象在

y

轴的一侧；

（2）设

A(x

1

,y

1

)

、

B(x

2

,y

2

)

是函数

f(x)

图象上任意两点，且

x

1

x

2

，则直线

AB

的斜率

k

y

1

y

2

，

x

1

x

2

6

a

x

1

1

y

1

y

2

log

a

(a1)log

a

(a1)log

a

x

2

，

a1

xxxx

当

a1

时，由（1）知

0x

1

x

2

，∴

1a

1

a

2

，∴

0a

1

1a

2

1

，

x

1

x

2

a

x

1

1

1

，∴

y

1

y

2

0

，又

x

1

x

2

0

，∴

k0

； ∴

0

x

a

2

1

xxxx

当

0a1

时，由（1）知

x

1

x

2

0

，∴

a

1

a

2

1

，∴

a

1

1a

2

10

，

a

x

1

1

1

，∴

y

1

y

2

0

，又

x

1

x

2

0

，∴

k0

． ∴

x

a

2

1

∴函数

f(x)

图象上任意两点连线的斜率都大于

0

．

7

同步练习

（二）同步练习：

2

f(x)

的定义域。

f(x)[0,1]

1、 已知函数的定义域为，求函数

答案：

[1,1]

2、 已知函数

f(32x)

的定义域为

[3,3]

，求

f(x)

的定义域。

答案：

[3,9]

3、 已知函数

yf(x2)

的定义域为

(1,0)

，求

f(|2x1|)

的定义域。

13

(,0)(1,)

2

答案：

2

4、设

f



x



lg

2x



x



2



，则

f



f



的定义域为（ ）

2x



2



x



A.



4,0







0,4



B.



4,1







1,4



C.



2,1







1,2



D.



4,2







2,4





2



2x



解：选C.由

0

得，

f(x)

的定义域为



x|2x2



。故



2x



2





x

2,

2

，解得

2

2.

x

x



4,1



1,4



。故



x



2



f



f



的定义域为



4,1





2



x



13

22



1,4



x

a

5、已知函数

f(x)

的定义域为

x(,)

，求

g(x)f(ax)f()(a0)

的定义域。

33



1



1

ax,x,





2



2a22a

［解析］由已知，有











1



x



3

,





a

x

3

a.



2



2a2



2

13

x}

；

22

1a

33

（2）当

a

，即

0a1

时，有



，

2a2

2a2

a3

定义域为

{x|xa}

；

22

331a

（3）当

a

，即

a1

时，有



，

2a22a2

（1）当

a1

时，定义域为

{x|

8

定义域为

{x|

13

x}

.

2a2a

3

}

；

2a

3

a}.

2

1

x

2a

a

当

0a1

时，定义域为

{x|x

2

故当

a1

时，定义域为

{x|

练习二

［点评］对于含有参数的函数，求其定义域，必须对字母进行讨论，要注意思考讨论字母的方法。

（5）同步练习：

1．函数

y

＝

log

1

（

x

2

－3

x

＋2）的单调递减区间是（ ）

2

A．（－∞，1）

C．（－∞，

B．（2，＋∞）

D．（

3

）

2

3

，＋∞）

2

解析：先求函数定义域为（－

o

，1）∪（2，＋∞），令

t

（

x

）＝

x

2

＋3

x

＋2，函数

t

（

x

）在（－∞，1）

上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数

y

＝

log

1

（

x

2

－3

x

＋2）在

2

（2，＋∞）上单调递减．

答案：B

2找出下列函数的单调区间.

（1）

ya

x

（2）

y2

2

3x2

(a1)

；

.

x

2

2x3

答案：(1)在

(,]

上是增函数，在

[,)

上是减函数。

（2）单调增区间是

[1,1]

，减区间是

[1,3]

。

x

3、讨论

ylog

a

(a1),(a0,且a0)

的单调性。

3

2

3

2

答案：

a1,

时

(0,)

为增函数，

1a0

时，

(,0)

为增函数。

4．求函数

y

＝

log

1

（

x

2

－5

x

＋4）的定义域、值域和单调区间．

3

解：由



（

x

）＝

x

2

－5

x

＋4＞0，解得

x

＞4或

x

＜1，所以

x

∈（－∞，1）∪（4，＋∞），当

x

∈（－

∞，1）∪（4，＋∞），｛



｜



＝

x

2

－5

x

＋4｝＝R，所以函数的值域是R．因为函数

y

＝

log

1

（

x

2

－5

x

＋＋

3

＋4）是由

y

＝

log

1

3



（

x

）与



（

x

）＝

x

2

－5

x

＋4复合而成，函数

y

＝

log

1



（

x

）在其定义域上是单调

3

递减的，函数



（

x

）＝

x

2

－5

x

＋4在（－∞，

55

）上为减函数，在［，＋∞］上为增函数．考虑到函数

22

9

的定义域及复合函数单调性，

y

＝

log

1

（

x

2

－5

x

＋4）的增区间是定义域内使

y

＝

log

1

33



（

x

）为减函数、





（

x

）＝

x

2

－5

x

＋4也为减函数的区间，即（－∞，1）；

y

＝

log

1

（

x

2

－5

x

＋4）的减区间是定义域内使

y

＝

log

1

33

（

x

）为减函数、



（

x

）＝

x

2

－5

x

＋4为增函数的区间，即（4，＋∞）．

变式练习

一、选择题

1．函数

f

（

x

）＝

log

1

(x－1)

的定义域是（ ）

2

A．（1，＋∞）

C．（－∞，2）

B．（2，＋∞）

D．

(1，2]

解析：要保证真数大于0，还要保证偶次根式下的式子大于等于0，



x－1＞0



所以



log(x－1)



0

解得1＜

x

≤2．

1





2

答案：D

2．函数

y

＝

log

1

（

x

2

－3

x

＋2）的单调递减区间是（ ）

2

A．（－∞，1）

C．（－∞，

B．（2，＋∞）

D．（

3

）

2

3

，＋∞）

2

解析：先求函数定义域为（－

o

，1）∪（2，＋∞），令

t

（

x

）＝

x

2

＋3

x

＋2，函数

t

（

x

）在（－∞，1）

上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数

y

＝

log

1

（

x

2

－3

x

＋2）在

2

（2，＋∞）上单调递减．

答案：B

3．若2

lg

（

x

－2

y

）＝

lg

x

＋

lg

y

，则

A．4

C．1或4

y

的值为（ ）

x

1

B．1或

4

1

D．

4

10

错解：由2

lg

（

x

－2

y

）＝

lg

x

＋

lg

y

，得（

x

－2

y

）

2

＝

xy

，解得

x

＝4

y

或

x

＝

y

，则有

答案：选B

x

y

1

＝或＝1．

y

x

4

正解：上述解法忽略了真数大于0这个条件，即

x

－2

y

＞0，所以

x

＞2

y

．所以

x

＝

y

舍掉．只有

x

＝4

y

．

答案：D

4．若定义在区间（－1，0）内的函数

f

（

x

）＝

log

2a

（

x

＋1）满足

f

（

x

）＞0，则

a

的取值范围为（ ）

A．（0，

C．（

1

）

2

B．（0，1）

D．（0，＋∞）

1

，＋∞）

2

解析：因为

x

∈（－1，0），所以

x

＋1∈（0，1）．当

f

（

x

）＞0时，根据图象只有0＜2

a

＜l，解得0

＜

a

＜

1

（根据本节思维过程中第四条提到的性质）．

2

2

－1）的图象关于（ ）

1－x

B．

x

轴对称

D．直线

y

＝

x

对称

答案：A

5．函数

y

＝

lg

（

A．

y

轴对称

C．原点对称

解析：

y

＝

lg

（

函数．

答案：C

二、填空题

已知

y

＝

log

a

（2－

ax

）在［0，1］上是

x

的减函数，则

a

的取值范围是__________．

解析：

a

＞0且

a

≠1





（

x

）＝2－

ax

是减函数，要使

y

＝

log

a

（2－

ax

）是减函数，则

a

＞1，又2

－

ax

＞0



a

＜

21＋x1＋x1＋x

－1）＝

lg

，所以为奇函数．形如

y

＝

lg

或

y

＝

lg

的函数都为奇

1－x1－x1－x1－x

2

（0＜

x

＜1）



a

＜2，所以

a

∈（1，2）．

x

1

x

）的图象关于直线

y

＝

x

对称，则

f

（2

x

－

x

2

）的单调递减区间

3

答案：

a

∈（1，2）

7．函数

f

（

x

）的图象与

g

（

x

）＝（

为______．

解析：因为

f

（

x

）与

g

（

x

）互为反函数，所以

f

（

x

）＝

log

1

x

3

11

则

f

（2

x

－

x

2

）＝

log

1

（2

x

－

x

2

），令



（

x

）＝2

x

－

x

2

＞0，解得0＜

x

＜2．

3

］在（0，1）上单调递减；



（

x

）＝2

x

－

x

2

在（0，1）上单调递增，则

f

［



（

x

）

］在［1，2）上单调递增．



（

x

）＝2

x

－

x

2

在（1，2）上单调递减，则

f

［



（

x

）

所以

f

（2

x

－

x

2

）的单调递减区间为（0，1）．

答案：（0，1）

8．已知定义域为R的偶函数

f

（

x

）在［0，＋∞］上是增函数，且

f

（

则不等式

f

（l

og

4

x

）＞0的解集是______．

1

）＝0，

2

11

）＝

f

（）＝0．又

f

（

x

）在［0，＋∞］上是增函数，所

22

11

以

f

（

x

）在（－∞，0）上是减函数．所以

f

（l

og

4

x

）＞0



l

og

4

x

＞或l

og

4

x

＜－．

22

1

解得

x

＞2或0＜

x

＜．

2

1

答案：

x

＞2或0＜

x

＜

2

解析：因为

f

（

x

）是偶函数，所以

f

（－

三、解答题

9．求函数

y

＝

log

1

（

x

2

－5

x

＋4）的定义域、值域和单调区间．

3

解：由



（

x

）＝

x

2－5

x

＋4＞0，解得

x

＞4或

x

＜1，所以

x

∈（－∞，1）∪（4，＋∞），当

x

∈（－

∞，1）∪（4，＋∞），｛



｜



＝

x

2

－5

x

＋4｝＝R，所以函数的值域是R．因为函数

y

＝

log

1

（

x

2

－5

x

＋＋

3

＋4）是由

y

＝

log

1

3



（

x

）与



（

x

）＝

x

2

－5

x

＋4复合而成，函数

y

＝

log

1



（

x

）在其定义域上是单调

3

55

）上为减函数，在［，＋∞］上为增函数．考虑到函数

22

的定义域及复合函数单调性，

y

＝

log

1

（

x

2

－5

x

＋4）的增区间是定义域内使

y

＝

log

1



（

x

）为减函数、



递减的，函数



（

x

）＝

x

2

－5

x

＋4在（－∞，

33

（

x

）＝

x

2

－5

x

＋4也为减函数的区间，即（－∞，1）；

y

＝

log

1

（

x

2

－5

x

＋4）的减区间是定义域内使

y

＝

log

1

33



（

x

）为减函数、



（

x

）＝

x

2

－5

x

＋4为增函数的区间，即（4，＋∞）．

10．设函数

f

（

x

）＝

23－2x

＋

lg

，

3x＋53＋2x

（1）求函数

f

（

x

）的定义域；

（2）判断函数

f

（

x

）的单调性，并给出证明；

（3）已知函数

f

（

x

）的反函数

f

1

（

x

），问函数

y

＝

f

1

（

x

）的图象与

x

轴有交点吗?若有，求出交点

－－

12

坐标；若无交点，说明理由．

解：（1）由3

x

＋5≠0且

（2）令



（

x

）＝

3－2x53333

＞0，解得

x

≠－且－＜

x

＜．取交集得－＜

x

＜．

3＋2x32222

2

，随着

x

增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数；

3x＋5

3－2x6

＝－1＋随着

x

增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数．

3＋2x3＋2x

3－2x2

又

y

＝lg

x

在定义域内是增函数，根据复合单调性可知，

y

＝

lg

是减函数，所以

f

（

x

）＝

3＋2x3x＋5

3－2x

＋

lg

是减函数．

3＋2x

（3）因为直接求

f

（

x

）的反函数非常复杂且不易求出，于是利用函数与其反函数之间定义域与值域

的关系求解．

设函数

f

（

x

）的反函数

f

1

（

x

）与工轴的交点为（

x

0

，0）．根据函数与反函数之间定义域与值域的关

－

系可知，

f

（

x

）与

y

轴的交点是（0，

x

0

），将（0，

x

0

）代入

f

（

x

），解得

x

0

＝

图象与

x

轴有交点，交点为（

2

－

．所以函数

y

＝

f

1

（

x

）的

5

2

，0）。

5

13