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2024年4月23日发(作者：json依赖于jquery框架吗)
1．三角形基本公式：
（1）内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,
CABCAB
=sin, sin=cos
22
22
111
（2）面积公式：S=absinC=bcsinA=casinB
222
abc
S= pr =
p(pa)(pb)(pc)
(其中p=, r为内切圆半径)
2
cos
（3）射影定理：a = bcosC + ccosB；b = acosC + ccosA；c = acosB + bcosA
2．正弦定理：
abc
2R
外
sinAsinBsinC
证明：由三角形面积
111
SabsinCbcsinAacsinB
222
abc
得
sinAsinBsinC
abc
画出三角形的外接圆及直径易得：
2R
sinAsinBsinC
b
2
c
2
a
2
3．余弦定理：a=b+c-2bccosA,
cosA
；
2bc
222
证明：如图ΔABC中，
C
b
a
CHbsinA,AHbcosA,BHcbcosA
a
2
CH
2
BH
2
b
2
sin
2
A(cbcosA)
2
bc2bccosA
22
A
H
c
B
当A、B是钝角时，类似可证。正弦、余弦定理可用向量方法证明。
要掌握正弦定理、余弦定理及其变形，结合三角公式，能解有关三角形中的问题．
4．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；
有三种情况：bsinA 5．利用余弦定理，可以解决以下两类问题： （1）已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。 6．熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化，能在应用题中抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量， 确定解三角形的方法；提高运用所学知识解决实际问题的能力 历年考题 如图，在 ABC 中， AC2 ， BC1 ， cosC （1）求 AB 的值； （2）求 sin 2AC 的值. 解（1）： 由余弦定理， 3 ． 4 ABACBC 41221 ∴ AB 222 3 2. 4 2. （2）解：由 cosC 3 ，且 0C , 得 4 7 . 4 sinC1cos 2 C 由正弦定理: ABBC , sinCsinA BCsinC1452 。所以， cosA 。由倍角公式 AB88 57 ， 16 解得 sinA sin2Asin2AcosA 且 cos2A12sinA 2 9 ，故 16 37 . 8 sin 2AC sin2AcosCcos2AsinC 解题方法 ：已知两边夹角,用余弦定理,由三角函数值求三角函数值时要注意“三角形内角”的限制. 在ΔABC中，已知a= 3 ,b= 2 ,B=45°，求A,C及边c． asinB3sin45 3 解：由正弦定理得：sinA=,因为B=45°<90°且b b2 2 所以有两解A=60°或A=120° bsinC (1)当A=60°时,C=180°-(A+B)=75°， c= sinB bsinC (2)当A=120°时,C=180°-(A+B)=15 °，c= sinB 2sin75 sin45 2sin15 sin45 62 , 2 62 2 解题方法 ：已知两边和其中一边的对角解三角形问题，用正弦定理求解，必需注意解的情况的讨论． 如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救 甲船立即前往救援， 同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援（角度精确到 1 ）？ [解] 连接BC,由余弦定理得 BC 2 =20 2 +10 2 －2×20×10COS120°=700 于是,BC=10 7 北 _ ∵ 3 sinACBsin120 , ∴sin∠ACB=, 7 20 107 _ C A_ _ 10 _ 20 _ B ∵∠ACB<90° ∴∠ACB=41° 30° ∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援 已知⊙O的半径为R，，在它的内接三角形ABC中，有 2Rsin 2 Asin 2 C 解：由已知条件得 2absinB 成立，求△ABC面积S的最大值． 2R 2 sin 2 Asin 2 B2RsinB 2ab ．即有 a 2 c 2 2abb 2 ， 3 a 2 b 2 c 2 2 又 cosC ∴ c ． AB 2ab2 4 4 ∴ S 122 absinCab4R 2 sinAsinB 244 2R 2 sinAsin( 2R 2 sinA( 2 3 A) 4 22 cosAsinA) 22 R (sin2A1cos2A) 2 R 2 [2sin(2A)1] 24 当 2A 4 2 ,即A 3 21 2 (B) 时, S max R ． 2 8 如图,已知△ ABC 是边长为 1 的正三角形, M 、 N 分别是边 AB 、 AC 上的点,线段 MN 经过△ ABC 的中心 G .设 MGA ( 3 2 ) . 3 (1) 试将△ AGM 、△ AGN 的面积(分别记为 S 1 与 S 2 )表示为 的函数; (2) 求 y 解: (1)因为 G 为边长为 1 的正三角形 ABC 的中心, 所以 AG 11 的最大值与最小值. 2 S 1 2 S 2 233 , MAG. 3236 由正弦定理 GM sin 6 GA sin( ) 6 , 得GM 3 6sin( ) 6 , 则S 1 1sin 1 GMGAsin (或). 2 6(3cot ) 12sin( ) 6 又 GN sin 6 GA sin( ) 6 ,得GN 3 6sin( ) 6 , 1sin 1 则S 2 GNGAsin( )(或). 2 6(3cot ) 12sin( ) 6 (2)y 11144 2 S 1 2 S 2 sin 2 22 sin( )sin( ) 72(3cot 2 ). 66 2 2 ,所以当 或 时, y 的最大值 y max 240 ; 因为 333 当 2 时, y 的最小值 y min 216 . 3
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