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2024年4月23日发(作者：plot在matlab中的作用)

三角函数基础知识（精华）

1、任意角（终边相同的角、轴线角、象限角）

①与

（0°≤

＜360°）终边相同的角的集合（角

与角

的终边重合）：

|

k360

,kZ

②象限角：第一象限的角表示为{|k360＜＜k360+90，（kZ）}；

第二象限的角表示为{|k360+90＜＜k360+180，（kZ）}；

第三象限的角表示为{|k360+180＜＜k360+270，（kZ）}；

第四象限的角表示为{|k360+270＜＜k360+360，（kZ）}；

或{|k36090＜＜k360，（kZ）}

③轴线角：终边在x轴正半轴上的角的集合：{|=k360， kZ}；

终边在x轴负半轴上的角的集合：{|=k360+180，kZ}；

终边在x轴上的角的集合：{|=k180，kZ}；

终边在y轴正半轴上的角的集合：{|=k360+90，kZ}；

终边在y轴负半轴上的角的集合：{|=k360+270，kZ}；

终边在y轴上的角的集合：{|=k180+90，kZ}；

终边在坐标轴上的角的集合：{|=k90，kZ}

2、弧度制

①长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角它的单位是rad 读作弧度，这种用“弧度”

做单位来度量角的制度叫做弧度制

②性质：⑴平角、周角的弧度数，（平角= rad、周角=2 rad）

⑵正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0

⑶角的弧度数的绝对值

l

（

l

为弧长，

r

为半径）

r

⑷角度制、弧度制度量角的两种不同的方法，单位、进制不同，就像度量长度一样有不

同的方法，千米、米、厘米与丈、尺、寸，反映了事物本身不变，改变的是不同的观察、

处理方法，因此结果就有所不同

⑸用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）；用角度制和弧度制

来度量任一非零角，单位不同，量数也不同

③角度制与弧度制的换算：

∵

360=2 rad ∴180= rad

180



∴ 1=

rad0.01745rad

1rad



57.305718'

180

3、

扇形相关公式

①弧长公式：

lr

②周长公式：

c2rl

③扇形面积公式

S

第1页

11

lR

R

2

其中

是圆心角，

l

是扇形弧长，

R

是圆的半径

22

4、三角函数定义：

设

是一个任意角，在

的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）P与

原点的距离为r，则：

y

a

的终边

P（x,y)

r

正弦：sin

y

x

；

余弦：cos

；

r

r

正切：tan

y

x

；

余切：cot

；

x

y

y

P

T

o

x

5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）

+

+

o

x

-

-

正弦、余割

y

-+

o

-+

x

余弦、正割

y

-

+

o

x

+-

正切、余切

y

O

M

A

x

6、特殊角的三角函数值：

角度

弧度

0

30

45

60

90

120

135

150

180

0

0

6

1

2

3

2

3

3

4

2

2

2

2

3

3

2

2

1

2

3

3

2

3

4

2

2

5

6

1

2

sin

（正弦）

0

cos

（余弦）

1

1

2

0

1

2

23

22

1

tan

（正切）

0

1

3

3

1

3

3

0

7、同角三角函数的基本关系式：

22

sin

tan

cos

cot

tan

cot

1

sin

cos

1

cos

sin

8、诱导公式：

把

k

“奇变偶不变，符号看象限”

的三角函数化为

的三角函数，概括为：

2

公式组一 公式组二 公式组三 公示四

sin(2k

x)sinx

tan(2k

x)tanx

sin(x)sinx

tan(x)tanx

cos(2k

x)cosx

cos(x)cosx

sin(x)cosx

2

cos(x)sinx

2

tan(x)cotx

2

sin(x)cosx

2

cos(x)sinx

2

tan(x)cotx

2

第2页

公式组四 公式组五 公式组六

sin(

x)sinx

tan(

x)tanx

sin(2

x)sinx

tan(2

x)tanx

sin(

x)sinx

tan(

x)tanx

cos(

x)cosx

cos(2

x)cosx

cos(

x)cosx

9、三角恒等变换公式

cos(

)cos

cos

sin

sin

sin2

2sin

cos

cos(

)cos

cos

sin

sin

cos2

cos

2

sin

2

2cos

2

112sin

2

sin(

)sin

cos

cos

sin

tan2

2tan

1tan

2

sin(

)sin

cos

cos

sin

sin

2

1cos

2

tan(

)

tan

tan

1cos

cos

1tan

tan

22

tan

tan

tan



1cos

sin

1cos

1tan

tan

21cos

1cos

sin

2

1sin2a(sinacosa)

2

1sin2a(sinacosa)

tan(

)

2

1+cos2a2cosa

升幂公式：

2

1cos2a2sina

1cos2a

1:3型：sina3cosa2sin(a)

2

3

cosa

2

降幂公式：

辅助角公式：

3:1型：3sinacosa2sin(a)

1cos2a

2

sina

6

2

sinacosa2sin(a)

1:1型：

4

10、正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：

定义域

值域

周期性

奇偶性

ysinx

R

xycos

R

ytanx

1



,kZ



x|xR且xk

2



[1,1]

2

[1,1]

2

R

奇函数 偶函数 奇函数

[

单调性

2

2k

,

2

2k

]

上为增函

[

2k1

,2k

]

；上为增函数

[2k

,

2k1

]

上为减函数

（

kZ

）

k

,k

上

2

2

数；

3

[2k

,2k

]

上为减函数

22

（

kZ

）

为增函数（

kZ

）

对称轴

xx

0

（

x

0

是函数取最大或最小值时对应的x值）

无

对称中心

(x

0

,0)

（函数图像与x轴的交点）

第3页

定义域

值域

周期性

奇偶性

ytan（

x+

）

yAsin

x

（A、

＞0）

R

x|xR且x

k

,kZ

R

A,A

2

f(0)0时，为奇函数

f(0)0时，为奇函数；f(0)是极值时，为偶函数

当

k



x

k

时，

22

单调性

为增函数（

kZ

）



当

2k

22

3

当

2k



x

2k

时，为减函数

22

（

kZ

）

x

2k

时，为增函数；

对称轴

无

xx

0

（

x

0

是函数取最大或最小值时对应的x值）

对称中心

(x

0

,0)

（函数图像与x轴的交点）

注意：

①

ysinx

与

ysinx

的单调性正好相反；

ycosx

与

ycosx

的单调性也同样相反。

▲

②

ysinx

与

ycosx

的周期是

.

③

ysin(

x

)

或

ycos(

x

)

（

0

）的周期

T

2

y

.

O

x

x

ytan

的周期为2

（

T

T2

，如图，翻折无效）.

2

④

ysin(

x

)

的对称轴方程是

xk

2

（

kZ

），对称中心（

k

,0

）；

ycos(

x

)

的对

称轴方程是

xk

（

kZ

），对称中心（

k

1

,0

）；

ytan(

x

)

的对称中心（

2

k

。

,0

）

2

⑤当

tan

·

tan

1,

k

2

(kZ)

；

tan

·

tan

1,

k

2

(kZ)

.

⑥

ycosx

与

ysin

x2k

是同一函数,而

ycos(

x

)

是偶函数，则

2



ycos(

x

)sin(wxk

)cos(wx)

.

2

⑦函数

ytanx

在

R

上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，

▲

y

ytanx

为增函数，同样也是错误的].

⑧

ysinx

不是周期函数；

ysinx

为周期函数（

T

）；

y=cos|x|图象

x

第4页

；

ycosx

是周期函数；

ycosx

为周期函数（

T

）

ycos2x

▲

y

1

的周期为

（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：

1/2

2

y=|cos2x+1/2|图象

x

yf(x)5f(xk),kR

.

11、三角函数图象的作法：

１）、几何法：

２）、描点法及其特例——五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）.

３）、利用图象变换作三角函数图象．

三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等．

函数y＝Asin（ωx＋φ）的振幅|A|，周期

T

2

，频率

f

1

|

|

，相位

x

;

初相

（即

|

|

T2

当x＝0时的相位）．（当A＞0，ω＞0 时以上公式可去绝对值符号），

由y＝sinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）

到原来的|A|倍，得到y＝Asinx的图象，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换．（用y/A替换y）

由y＝sinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）

到原来的

|

1

|

倍，得到y＝sinω x的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换．(用ωx替换

x)

由y＝sinx的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，

得到y＝sin（x＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移．(用x＋φ替换x)

由y＝sinx的图象上所有的点向上（当b＞0）或向下（当b＜0）平行移动｜b｜个单位，得到

y＝sinx＋b的图象叫做沿y轴方向的平移．（用y+(-b)替换y）

由y＝sinx的图象利用图象变换作函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）（x∈R）的图象，

要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。

正弦定理及变形：（A，B，C为三角形三个顶角，a，b，c，R为外接圆半径）

abcabc

2R

sinAsinBsinCsinAsinBsinC

变形：

a2RsinA

b2RsinB

c2RsinC

a

2

b

2

c

2

b

2

c

2

a

2

a

2

c

2

b

2

余弦定理：

cosA

cosB

cosC

2ab

2bc2ac

变形：

a

2

b

2

c

2

2bccosA

b

2

a

2

c

2

2accosB

c

2

a

2

b

2

2abcosC

三角形及面积的计算：

S

三角形内诱导公式：

c

111abc

absinCacsinBbcsinA

2224R

sinAsin(BC)

cosAcos(BC)

tanAtan(BC)

sin

ABCABCABC

cos()

cossin()

tancot()

222222

第5页


本文标签： 弧度 变换 公式 图象

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