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2024年4月22日发(作者：正则表达式匹配某个字符)
二阶矩阵的伴随矩阵推导过程
二阶矩阵的伴随矩阵是指一个二维矩阵A的伴随矩阵，记为$A^*$。
它是这样一个矩阵：
$A^* = begin{bmatrix} a_{22} & -a_{12} -a_{21} &
a_{11} end{bmatrix}$
推导过程如下：
假设二维矩阵A可逆，即其行列式不为0，那么我们可以求出矩阵
A的逆矩阵，记为A-1。
根据伴随矩阵的定义，有A和A^*的乘积等于A的行列式的单位矩
阵I，即A*A^*=det(A)*I。
因为A可逆，所以det(A)不等于0，因此可以将上式两边除以
det(A)，得到A^*=A-1*det(A)。
然后我们再推导A-1。由于A可逆，所以存在一个矩阵B，使得
AB=BA=I，其中I是一个单位矩阵。
我们对A*B做矩阵的行列式，有det(AB)=det(A)*det(B)=1，因为
I是一个单位矩阵，其行列式为1。因此det(A)*det(B)=1，即
det(A)=1/det(B)。
再根据伴随矩阵的定义，有矩阵A与其伴随矩阵的行列式相等，
即det(A)=det(A^*)。代入上式可得det(A^*)=1/det(B)。
然后我们来求矩阵B的值。根据矩阵的定义，有AB=BA=I，可以写
出：
$begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} a_{21} & a_{22}
end{bmatrix} begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} b_{21} &
b_{22} end{bmatrix} = begin{bmatrix} b_{11} & b_{12}
b_{21} & b_{22} end{bmatrix} begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}
a_{21} & a_{22} end{bmatrix} = begin{bmatrix} 1 & 0 0
& 1 end{bmatrix}$
解这个方程组可以得到：
$b_{11} = frac{a_{22}}{det(A)}, b_{12} = frac{-
a_{12}}{det(A)}, b_{21} = frac{-a_{21}}{det(A)}, b_{22} =
frac{a_{11}}{det(A)}$
将这些值代入A^*=A-1*det(A)中即可得到二阶矩阵的伴随矩阵：
$A^* = begin{bmatrix} a_{22} & -a_{12} -a_{21} &
a_{11} end{bmatrix}$
这个矩阵可以用来求解二阶矩阵的逆矩阵，即A-1=A^*/det(A)。
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