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2024年4月21日发(作者：win10自带邮件)
第七章虚拟变量
第一节 虚拟变量的引入
一、 什么是虚拟变量
前面几章介绍的解释变量都是可以直接度量的，称为定量变量。如收入、支出、价格、
资金等等。但在现实经济生活中，影响应变量变动的因素，除了这些可以直接获得实际观
测数据的定量变量外，还包括一些无法定量的解释变量的影响，如性别、民族、国籍、职
业、文化程度、政府经济政策变动等因素，他们只表示某种特征的存在与不存在，所以称
为属性变量或定性变量。
属性变量：不能精确计量的说明某种属性或状态的定性变量。
在计量经济模型中，应当包含属性变量对应变量的影响作用。那怎么才能把定性变量
包括在模型中呢？属性变量通常是非数值变量，直接纳入回归方程中进行回归，显然是很
困难的。
为此，人们采取了一种构造人工变量的方法，将这些定性变量进行量化，使其能与定
量变量一样在回归模型中得以应用。
由于定性变量通常是表明某种特征或属性是否存在，如性别变量中以男性为分析基础
的话，那就只有男性、非男性；政策变动变量中以政策不变为基准，则有政策不变，和政
策变动；至于有两种以上的状态的话，比如学历分高中，本科，本科以上等等，我们又怎
么办呢 ？把疑问留到后面去解决。既然定性变量只有存在或不存在两种状态，所以量化的
一般方法是取值为0或1。称为虚拟变量。
虚拟变量：人工构造的取值为0或1的作为属性变量代表的变量。一般常用D表示。
D=0，表示某种属性或状态不存在 D=1，表示某种属性或状态存在
比如前面说的性别变量，以男性为基准，则当样本为男性时，虚拟变量取0，当样本
为女性时，则虚拟变量取1。
当虚拟变量作为解释变量引入计量经济模型时，对其回归系数的估计和统计检验方法
都与定量解释变量相同。
二、 虚拟变量的作用
1、 作为属性因素的代表，如，性别、种族等
2、 作为某些非精确计量的数量因素的代表，如：受教育程度、年龄段等；
3、 作为某些偶然因素或政策因素的代表，如战争、911等。
4、 时间序列分析中作为季节（月份）的代表（比如对某些明显有淡季、旺季之分的
产品）
5、 分段回归，研究斜率、截距的变动；
6、 比较两个回归模型；
7、 虚拟应变量概率模型，应变量本身是定性变量（比如你研究某产品的购买率，应
变量本身就是买或不买）
三、 虚拟变量的设置规则
1、虚拟变量D取值为0，还是取值为1，要根据研究的目的决定。D取值为0的类型，
是基础类型，是比较的基准。不如前面说的性别变量，如果你研究是以男性为研究基准，
则样本为男性，D取值为0，
2、避免落入“虚拟变量陷阱”。
当一个定性变量含有m个相互排斥的类型时，应向模型引入m—1个虚拟变量。比如
“性别”含男性和女性两个类别，所以当性别作为解释变量时，应向模型引入一个虚拟变
量。取值方式是：D=1（男性）、D=0（女性）或D=0（男性）、D=1（女性）
而当“学历”含有四个类别时，即大学、中学、小学、无学历。当“学历”作为解释
变量时，应向模型引入三个虚拟变量。一种取值方式是：
1 （大学） 1（中学） 1（小学）
D1= 0 （非大学） D2 = 0（非中学） D3= 0（非小学）
所谓的“虚拟变量陷阱”就是当一个定性变量含有m个类别时，模型引入m个虚拟
变量，造成了虚拟变量之间产生完全多重共线性，无法估计回归参数。
在m-1个虚拟变量中，虚拟变量可以同时取值为0，但不能全部取值为1。
3、当定性变量含有m个类别时，不能把虚拟变量的值设为D=0（第一类） D=1（二
类）D=2（三类）等等。
1、 回归模型中可以只有虚拟变量作解释变量，也可以用定量变量和虚拟变量一起作
解释变量。另外，虚拟变量还可以作被解释变量。
第二节 虚拟解释变量的回归
虚拟变量的引入，可以影响模型的截距，也可以影响斜率，还可以同时影响截距和斜
率。因此，加入虚拟解释变量的途径有两种基本类型：一是加法类型，二是乘法类型。不
同的引入途径对计量经济模型有不同的影响。
一、 加法类型：改变模型的截距
所谓的加法类型引入虚拟变量，就是虚拟变量与其他解释变量在设定模型中是相加关
系。在所设定的计量经济模型中，根据所研究问题中定量变量的影响作用，按照虚拟变量
的设置规则，直接在所设定的计量经济模型中加入适当的虚拟解释变量。
比如：Y=a0+a1D1+a2D2+βX+u 就是以加法形式引入的虚拟变量。
加法形式引入虚拟解释变量，其作用是改变了设定模型的截距水平。
定性因素所包含的属性类别m的多少，决定了引入虚拟解释变量个数的多少，同时也
决定了所设模型的不同性质。下面分三种主要情形对加法形式引入虚拟变量的情形进行讨
论。
1、 解释变量包含一个分为两种属性类型的定性变量的回归
如Y=a0+a1D+βX+u D=0 （基础类型）D=1（其他类型）
则基础类型：E（Y）=a0+βX 比较类型：E（Y）=（a0+a1）+βX
a1就是截距的差异系数。对a1的显著性检验，就是判别两条回归线的截距项是否存
在显著性差异，或者说，检验定性因素对截距是否有显著影响。
注意：u应服从基本假定；这里一个定性变量有两种类型，只使用了一个虚拟变量。
比如：我们分析是否读大学对年工资的影响。见资料。另P219
2、 解释变量中包含一个两种属性以上的定性解释变量的回归
Y=a0+a1D1+a2D2+βX+u 例如研究收入、学历（中学以下、中学、中学以上）
对书报费支出的影响。D1=1（中学） =0（其他） D2=1 （中学以上） =0 （其他）
则基础类型：（中学以下） E（Y|D1=0、D2=0）=a0+βX
比较类型 （中学） E（Y|D1=1，D2=0）=（a0+a1）+βX
（中学以上）E（Y|D1=0，D2=1）=（a0+a2）+βX
这表明，三种不同的属性类型，其对应变量的影响都是不同的，原因在于三者的起点
水平即截距不同。同样，a2、a3表示的是截距差异系数，对他们的显著性检验，说明了不
同的属性是否对戒惧6具有显著性影响。
注意：u应服从基本假定；一个定性变量有m种属性，使用了m-1个虚拟变量，D1、
D2代表的是同一定性变量的两种不同属性。
两个差异截距系数a1、a2表示的都是与基础类型的差异；
一个定性变量多种属性时，虚拟变量可以同时取0（基础类型），但不能同时取值为1，
因为同一定性变量的各类型间是相互排斥，“非此即彼”的。
3、 解释变量包含两个定性变量的回归
模型Y=a0+a1D1+a2D2+βX+u 这里的D1、D2代表的是两个不同的定性变量。
例如研究卷烟需求与收入、性别、居住地区的关系。D1=1（城镇居民）=0（其他）
D2=1男性=0 女性
基础类型：农村女性居民：E（Y|D1=0、D2=0）=a0+βX
比较类型：农村男性居民：E（Y|D1=0、D2=1）=（a0+a2）+βX
城镇女性居民：E（Y|D1=1、D2=0）=（a0+a1）+βX
城镇男性居民：E（Y|D1=1、D2=1）=（a0+a1+a2）+βX
这个结果表明，不同的定性变量以及他们各自不同的属性都对应变量产生不同的影响。
a1、a2的显著性检验，可验证这两个定性变量对截距是否有影响。
注意：u应服从基本假定‘两个定性变量和一个有三种属性类型的定性变量都用了两
个虚拟变量，但其性质是不同的；
K个定性变量可选用K个虚拟变量去表示，这不会出现“虚拟变量陷阱”；
代表不同定性变量的虚拟变量，可以同时为0，也可以同时为1，因为不同的定性变
量间没有非此即彼的关系。
二、 乘法类型——引起模型中斜率系数的差异。
加法方式引入虚拟解释变量，暗含着一个基本的假定：定性解释变量对于应变量的影
响作用，仅体现在回归模型的截距项，即仅影响平均水平，而不会影响不同属性模型的相
对变化。
表现在图上，就是回归线的斜率不变，只会上下平移。但在现实经济中，这种假定条
件通常难以满足。例如，居住地区（城市或乡村）不仅会使消费总体支出上升，而且消费
的结构也会发生很大的变化。乘法类型引入虚拟解释变量，是在所设定的计量经济模型中，
将虚拟变量与其他解释变量相乘作为新的解释变量出现在模型中，以达到其调整设定模型
斜率系数的目的。例如：
Y=a0+a1X1+a2X
2
D+u
乘法形式引入虚拟解释变量的主要作用在于：
1、 关于两个回归模型的比较；
2、 因素间的交互影响分析；
3、 提高模型对现实经济现象的描述精度。
下面分别对上述作用进行讨论。
（一） 回归模型的比较——结构变化检验
比如我们比较我国改革开放前后的储蓄——收入关系的变化时，就存在着经济结构变
化而导致设定模型斜率发生变化的问题。这类问题可归结为两个回归模型的比较。
例如：Y=a0+a1D+β1X+β2（DX）+u 其中D=1（改革开放前）=0（改革开放后）
Y储蓄总额 X收入总额 基础类型：改革开放后E（Y|D=0）=a0+β1X
比较类型改革前：E（Y|D=0）=（a0+a1）+（β1+β2）X
对上式的估计等同于对两个储蓄函数进行估计。
在式中，a1被称为截距差异系数，β2为斜率差异系数，分别代表改革开放前后储蓄
函数截距与斜率所存在的差异。因此，当以乘法形式引入虚拟解释变量时，其作用在于区
别改革开放前后储蓄关于收入的相对变化情况，即区别两个时期模型斜率系数的变化情况，
而加法形式引入虚拟变量则是区别不同时期的储蓄起点。
显著性检验的意义，也在于说明引入的虚拟变量对斜率影响的显著性，也就是检验这
两个回归的结构是否有差异。
优点：用一个回归替代了多个回归，简化了分析过程；合并回归增加了自由度，提高
参数估计的精确性。
（二） 交互效应分析
我们前面的模型，不管引入多少个定性变量，都暗含着一种假定：两个定性变量是分
别独立影响应变量的。但在实际情况中，两个定性变量之间存在着交互影响，而且这种交
互影响对应变量产生了作用。比如，我们引入性别和学历两个定性变量解释对服装支出费
用的影响，用上面的模型我们只能得出性别对服装支出的影响而与学历无关，以及学历对
服装支出的影响而与性别无关，没有一个解释变量是表征女性本科比女性高中的支出有没
有差异，也就是说，性别和学历这两个定性变量之间存在着交互影响，且对应变量产生作
用。
因此，为了描述这种交互作用，把两个虚拟变量的乘积以加法形式引入模型。
例如上面所说的服装支出与收入、性别、学历的关系：
Y=a0+a1D1+a2D2+a3（D1D2）+βX+U
其中的D1D2描述的就是二者交互效应的虚拟变量。假设D1=1 女性 =0 男性，
D2=1 本科及本科以上，=0 其他。则a1=女性服装年平均支出的截距差异系数；
a2=高教育水平人群年平均服装支出的截距差异系数；
a3=高教育水平女性服装支出的截距差异系数，又称为本科女性的交互效应系数。
可以通过对对交互效应虚拟变量系数的显著性检验，判断交互效应是否存在
（三） 分段线性回归
有的社会经济现象的变动，会在解释变量达到某个临界值时发生突变，比如公司对销
售人员的奖励政策就经常是这样设计的：按销售额提，当销售额在某一目标水平以上或以
下，提奖励的方法不同。当销售额X《X*时，与X》X*的线段更平缓。为了确切地描述奖
励额度与销售额间的关系，需要分两段进行回归。而将这种情形转化为虚拟变量问题时，
就可以在一个方程中描述两条截距和斜率都不相同的线段。图形
设D=1 X》X* =0 X〈X*
则奖励额度Y与销售额X之间的关系可以统一地表示为：
Y=a0+β1X+β2（X-X*）D+u 其中X*为销售额的临界水平，对方程进行估计：
销售额低于X*： E（Y│D=0）= a0+β1X
销售额不低于X*：E（Y│D=1）= （a0-β2X*）+（β1+β2）X
显然，β1是第一段回归直线的斜率，而β1+β2则是第二段回归直线的斜率，β2表示
的是两段直线斜率的差异，因此，对β2的显著性进行检验，可以判断在所设定的临界水平
是否存在着突变。
推理：分为两段回归时用了一个虚拟变量，则分为K段回归时，可用K-1个虚拟变量。
总结：虚拟解释变量的不同引入方式，表明了经济变量间不同的相互依存关系，不同
的类型对模型的影响可以分为：截距不同、斜率不同、截距和斜率都不同。如果各种造成
模型截距的变化，则以加法形式引入虚拟变量；如果反映模型的斜率变化，则以乘法形式
引入虚拟变量。
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