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2024年4月16日发(作者：php与html的关系)

复变函数的基本概念与性质

复变函数是数学中一个重要的分支，它涉及复数域上的函数理论和

分析。本文将介绍复变函数的基本概念和性质，包括复数、复变函数

的定义和解析性、调和函数、全纯函数等。

一、复数的基本概念

复数是由实数和虚数构成的数，一般形式为z=a+bi，其中a和b分

别为实数部分和虚数部分，i是虚数单位，满足i²=-1。复数除了具有实

数的加法和乘法运算，还有复数的共轭运算、模运算和幅角运算等。

二、复变函数的定义和解析性

复变函数从复数域到复数域的映射，可以表示为f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，

其中z=x+iy。其中，u(x,y)和v(x,y)分别为实部和虚部函数。复变函数

的解析性是指函数在其定义域内可导，用柯西-黎曼条件表述，即函数

的实部和虚部满足柯西-黎曼方程。

三、调和函数

调和函数是一种特殊的复变函数，其实部和虚部函数均具有拉普拉

斯方程，即Δu=0和Δv=0。调和函数在物理学和工程学领域有广泛的

应用，如电势问题、热传导问题等。

四、全纯函数

全纯函数是复变函数中的重要概念，也称为解析函数。全纯函数在

其定义域内可导，并且导数也是全纯函数。全纯函数具有很多良好的

性质，如可分部积、洛朗级数展开、辐角原理等。

五、复变函数的性质

1. 极限性质：复变函数的极限与实变函数类似，但多了收缩定理和

全纯函数的唯一性。

2. 连续性质：全纯函数在其定义域内连续。

3. 导数性质：全纯函数的导数也是全纯函数，并且满足导数的性质。

4. 积分性质：沿简单闭曲线的积分与函数在该曲线内的积分无关，

这是复变函数中的柯西积分定理。

综上所述，复变函数是由复数域到复数域的映射，具有许多独特的

性质。它为解决物理学、工程学等领域的问题提供了重要的数学工具。

希望本文可以帮助读者理解复变函数的基本概念和性质，并进一步探

索其中的数学奥秘。


本文标签： 函数 复变 复数

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