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2024年4月15日发(作者：pagehelper获取是否有下一页)
第六章 ARIMAX模型
一、ARIMAX模型的概念
有时考虑其它序列对一个时间序列的影响，如太阳黑子对某地区降雨量的影响，石油
价格对股价的影响。带有输入序列的一般ARIMA模型也称为ARIMAX模型。Box和刁锦寰提
出ARIMAX模型。
例子
1)9.11事件对道琼斯指数的影响
2）广告对销售量的效应
3）美国月批发物价指数对零售价指数的影响
4）1960年前后时间X1、冬季X2、夏季X3对臭氧数据Yt
５）固有股减少X1、道琼斯指数X2、石油价格X3 对上证指数
数学模型
设
x
t
，
y
t
是时间序列，（i=1,…,k）
(i)
y
t
vBx
(1)
j
j
j0
(1)
t
vBx
(2)
j
j
j0
(2)
t
v
(
j
k)
B
j
x
t
(k)
j0
(B)
a
t
(B)
其中，
(B)1
1
B
q
B
q
,
(B)1
1
B
p
B
p
x
t
(j)
称为传递函数模型，
Xt(1)
称为输入因子（干预因子），
y
t
称为输出因子。
Xt(2)
a
t
…
y
t
xt(k).
注：为减少参数个数，通常考虑简化为：
k
(B)B
b
(k)
(B)
1
(B)B
b
(1)
y
t
x
t
x
t
a
t
1
(B)
k
(B)
(B)
1
k
其中
(i)i)
p
i
(B)
0
(i)
1
(i)
B
q
(i)
B
q
,
i
(B)
0
1
(i)
B
(
p
B
i
ii
i
（i=1,……,k）=
称上述模型为ARIMAX模型，又称为带有干预序列的ARIMA模型或动态回归模型。这个
模型把相应序列表示为随机波动的过去值和其它序列（称为输入序列）的过去值的结合。响
应序列也称为相依序列或输出序列，输入序列也称为独立序列或预测因子序列。
二、两个独立滑动平均过程之和
w
t
它是阶数分别为
q
1,
q
2
的两个独立平均过程之和
即
w
t
1
(B)a
t
2
(B)b
t
a
t,
b
t
均是均值为零的白噪声且相互独立
记
qmax{q
1
,q
2
}
可得
w
t
的自相关函数
j
当
jq
时为零
故
w
t
可表示成
q
阶的单一滑动平均过程
w
t
3
(B)u
t
u
t
为零均值白噪声（证明可参考
Hamiton 《时间序列分析》）
三、附加噪声对一般模型的影响
考虑ARIMA
（p,d,q)
(B)
d
z
t
(B)a
t
设
z
t
本身不可观测，只能观测到
Z
t
z
t
b
t
b
t
表示有关的附加的噪声，则对
Z
t
有
(B)
d
Z
t
(B)a
t
(B)
d
b
t
若对
b
t
有
b
t
满足ARMA（p
1
,0,q
1
)
即
1
(B)b
t
1
(B)
t
t
与a
t
独立白噪声
dd
则有
1
(B)
(B)Z
t
1
(B)
(B)a
t
(B)
1
(B)
t
Ppp
1
,Qmax{p
1
q,pq
1
d}
2
(B)
d
z
t
2
(B)u
t
ARIMA(P,d,Q)
四、带有回归项和时间序列误差的模型
W
t
1
X
t
1
2
X
t
2
...
k
X
t
k
N
t
(t1,2,...,n)
X
t1
...X
tk
为解释变量，而误差
N
t
是一个ARMA（p,q），
(B)N
t
(B)a
t
生成。该式可
以写为：
WX
V,Vcov(N)
。在传统模型中我们有
V
2
I
，
ˆ
(X
ˆ
)
2
(X
X)
1
。
X)
1
X
W
，的最小二乘估计为
并具有性质
cov(
但在自相关误差的情形下，这种性质不再成立。此时最小二乘估计的 协方差阵为
ˆ
)
2
(X
cov(
X)
1
X
VX(X
X)
1
。因此一般的样本性质和统计推断的 方=1法，如关于
估计的通常标准差公式，t-统计量及置信区间等就不再有效。
222
例：
w
t
1
x
t
N
t
,N
t
(1
B)a
t
，
N
t
的子协方差为
0
(1
)
a
,
1
a
。
1
的
ˆ
最小二乘估计为
x
t
w
t
/
x
t
2
，它的方差为：
1
t1t1
nn
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