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2024年4月15日发(作者：mysql模式)
39. 时间序列分析Ⅱ——ARIMA 模型
随着对时间序列分析方法的深入研究，人们发现非平稳序列的确
定性因素分解方法（如季节模型、趋势模型、移动平均、指数平滑等）
只能提取显著的确定性信息，对随机性信息浪费严重，同时也无法对
确定性因素之间的关系进行分析。
而非平稳序列随机分析的发展就是为了弥补确定性因素分解方
法的不足。时间序列数据分析的第一步都是要通过有效手段提取序列
中所蕴藏的确定性信息。Box 和 Jenkins 使用大量的案例分析证明差
分方法是一种非常简便有效的确定性信息的提取方法。而 Gramer 分
解定理则在理论上保证了适当阶数的差分一定可以充分提取确定性
信息。
（一）ARMA 模型
即自回归移动平均移动模型，是最常用的拟合平稳时间序列的模
型，分为三类：AR 模型、MA 模型和ARMA 模型。
一、AR(p)模型——p 阶自回归模型
1. 模型：
x
t
0
1
x
t1
p
x
t p
t
2
其中，
p
0 ，随机干扰序列 ε
t
为 0 均值、
方差的白噪声序列（
E(
ts
) 0 , t≠s），且当期的干扰与过去的序列值无关，即 E(x
t
ε
t
)=0.
由于是平稳序列，可推得均值
0
1
1
p
. 若
0
0 ，称为
中心化的 AR(p)模型， 对于非中心化的平稳时间序列， 可以令
0
(1
1
p
)， x
*
t
x
t
转化为中心化。
1 p
记 B 为延迟算子，
p
(B) I B B
p
称为 p 阶自回归多
项式，则 AR(p)模型可表示为：
p
(B)x
t
t
.
2. 格林函数
用来描述系统记忆扰动程度的函数，反映了影响效应衰减的快慢
程度（回到平衡位置的速度），G
j
表示扰动 ε
t-j
对系统现在行为影响的
权数。
1
例如，AR(1)模型（一阶非齐次差分方程），
G
j
j
,
j 0,1, 2,
模型解为 x
t
G
jt j
.
j0
3. 模型的方差
对于 AR(1)模型，Var( x
t
)
GVar(
t j
)
.
1
1
2
j0
2
j
2
4. 模型的自协方差
对中心化的平稳模型，可推得自协方差函数的递推公式：
用格林函数显示表示：
(k )
G G E(
i
i0 j0
j
t j t k j
)
G
G
2
j0
j k j
对于 AR(1)模型，
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