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2024年3月21日发(作者：双枪老太婆性格特点)

多元函数求导法则公式

多元函数的求导法则公式有很多，下面我将逐个介绍并给出推导过程。

1.复合函数的求导法则：

设函数z=f(u,v)是由u=g(x,y)和v=h(x,y)给定的复合函数。

求导法则公式为：∂z/∂x=(∂z/∂u)(∂u/∂x)+(∂z/∂v)(∂v/∂x)

和∂z/∂y=(∂z/∂u)(∂u/∂y)+(∂z/∂v)(∂v/∂y)

推导过程：

设z=f(u,v)，u=g(x,y)，v=h(x,y)。

根据链式法则公式，dz/dx = ∂z/∂u * du/dx + ∂z/∂v * dv/dx

即∂z/∂x=(∂z/∂u)(∂u/∂x)+(∂z/∂v)(∂v/∂x)

同理，可以得到∂z/∂y的表达式。

2.隐函数的求导法则：

设G(x,y,z)=0是一个由两个变量x和y决定的函数z的隐函数关系

式。

求导法则公式为：dz/dx = - (∂G/∂x)/(∂G/∂z) 和 dz/dy = -

(∂G/∂y)/(∂G/∂z)

推导过程：

根据隐函数求导公式，有 dx/dy = - (∂G/∂y)/(∂G/∂x)。

同时，我们可以得到 dz/dx = (dz/dx)/(dx/dy) = -

(∂G/∂x)/(∂G/∂y)。

根据分子分母同乘以 ∂z/∂x，即 dz/dx = - (∂G/∂x)/(∂G/∂z)。

同理，可以得到 dz/dy 的表达式。

3.参数方程的求导法则：

设x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)是由参数t给定的函数。

求导法则公式为：dz/dt = (∂z/∂x)(dx/dt) + (∂z/∂y)(dy/dt)

推导过程：

根据链式法则公式，dz/dt = (∂z/∂x)(dx/dt) + (∂z/∂y)(dy/dt)

4.偏导数的求导法则：

设函数z=f(x,y)是关于x和y的函数。

求导法则公式为：∂²z/∂x²=∂/∂x(∂z/∂x)和∂²z/∂y²=∂/∂y(∂z/∂y)

以及∂²z/∂x∂y=∂/∂x(∂z/∂y)和∂²z/∂y∂x=∂/∂y(∂z/∂x)

推导过程：

根据二阶导数的定义，∂²z/∂x²=∂/∂x(∂z/∂x)和∂²z/∂y²=∂/∂y(∂z/∂y)。

同理，可以得到∂²z/∂x∂y的表达式。

以上是多元函数的一些常用求导法则公式，这些公式的推导过程基于

链式法则、隐函数求导和二阶导数的定义。在实际应用中，这些公式可以

帮助我们计算多元函数的导数，进而用来分析函数的变化、求解极值问题

等。


本文标签： 函数 求导 法则 公式 导数

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