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2024年3月21日发(作者：知识库软件)
专题13：函数的定义域与值域求法典型例题（解析版）
函数定义域的常见其
一、已知函数解析式型
即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式
或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。
例1、求函数
y
x
2
2x15
的定义域。
x38
2
x
x5或x3
2x150
即
解：要使函数有意义，则必须满足
x5且x11
x380
解得
x5或x3且x11
即函数的定义域为
xx5或x3且x11
。
二、抽象函数型
抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能用常规方法求解，一般表示为已知一个抽象
函数的定义域求另一个抽象函数的定义域，一般有两种情况。
（一）已知
f(x)
的定义域，求
f
g(x)
的定义域。
其解法是：已知
f(x)
的定义域是
[a,b]
求
f
g(x)
的定义域是解
ag(x)b
，即为所
求的定义域。
2
fx
例2、已知
f(x)
的定义域为
[2,2]
，求
(
1)
的定义域。
2
解：
2x2
，
2
x
1
2
，解得
3x
2
fx
1)
的定义域为
x3x3
(
即函数
3
（二）已知
f
g(x)
的定义域，求
f(x)
的定义域。
其解法是：已知
f
g(x)
的定义域是
[a,b]
求
f(x)
的定义域的方法是：
axb
，求
g(x)
的值域，即所求
f(x)
的定义域。
例3、已知
f(2x1)
的定义域为
[1,2]
，求
f(x)
的定义域。
解：
1x2
，
22x4
，
32x15
。
x|3x5
。即函数
f(x)
的定义域是
三、逆向思维型
即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为
R
,求
参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。
例4、已知函数
ymx
2
6
mxm
8
的定义域为
R
求实数
m
的取值范围。
22
分析：函数的定义域为
R
，表明
mx
6
mxm
8
0
，使一切
xR
都成立，由
x
项的系数是
m
，所以应分
m0
或
m0
进行讨论。
解：讨论：
①当
m0
时，函数的定义域为
R
；
2
mx
6
mxm
8
0
是二次不等式，其对一切实数
x
都成立的充要
②当
m0
时，
m0
条件是
2
(6m)4m(m8)0
0m1
综上可知：
0m1
。
评注：不少学生容易忽略
m0
的情况，希望通过此例解决问题。
kx7
的定义域是
R
，求实数
k
的取值范围。
例5、已知函数
f(x)
2
kx4kx3
2
kx
4
kx
3
0
恒成立，
解：要使函数有意义，则必须
2
因为
f(x)
的定义域为
R
，即
kx
4
kx
3
0
无实数解
3
讨论：①当
k0
时，
16
k
4
3
k
0
恒成立，解得
0k
；
4
②当
k0
时，方程左边
30
恒成立。
3
综上得：
k
的取值范围是
0k
。
4
2
四、实际问题型
这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要
加倍注意，并形成意识。
例6、将长为
a
的铁丝折成矩形，求矩形面积
y
关于一边长
x
的函数的解析式，并求函
数的定义域。
1
解：设矩形一边为
x
，则另一边长为
(
a
2
x
)
于是可得矩形面积。
2
111
22
yx(a2x)axx
xax
。
222
由问题的实际意义，知函数的定义域应满足
x0
x0
a
0x
。
1
2
(a2x)0
a2x0
2
1a
故所求函数的解析式为：
y
x
ax
，定义域为
(0,)
。
22
2
五、含参数型
对于含参数的函数，求定义域时，必须对分母分类讨论。
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