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2024年3月21日发(作者：rowcount())

高中数学-复合函数值域（最值）

一、知识点梳理及运用

知识点一、复合函数值域

复合函数求值域是一个难点，对于复合函数求值域问题应注意握两点：一、复合函数的定义；二、复合函数的单调性

典型例题

x

1

x

2

1

2

例1、（指、对数函数作外层函数）求函数

y

()

的值域

3

【变式训练】

求函数

ylog

1

(4xx)

的值域

2

2

例2、（指、对数函数作内层函数）己在函数

f(x)1233

（1）求函数

f(x)

的值域

（2）若

x[2,1]

时，函数

f(x)

的最小值为和最大值

【变式训练】

22

（1）己知函数

f(x)2log

3

x,x[1,9]

，求函数

y[f(x)]f(x)

的值域

x2x

（2）求函数

ylog

2

xlog

x

(2x)

的值

例3、（其它函数复合）求函数

y

x

【变式训练】

已知函数y＝(e

x

－3)

2

＋(e

x

－3)

2

(a∈R，a≠0)，求函数y的最小值

【方法总结】

1、复合函数值域（最值）的求法一般用换元法，但换元时要注意中间变量的取值范围，换元后求新的函数的值域（最

值）即可

2、复合函数值域（最值）的考察一般分为两种：指、对数函数复合和其他函数复合，前一种为重点

－

2

121

2x4(x)

的值域

2

xx2

知识点二、含参数函数的值域（最值）

含参数函数的值域（最值）一般考察三种情况：含参数指对数函数、含参数耐克函数和含参数二次函数

方法有：换元法和分类讨论的思想

典型例题

例1、（含参数指、对数函数）己在函数

f(x)12aa(a0)

（1）求函数

f(x)

的值域

（2）若

x[2,1]

时，函数

f(x)

的最小值为-7，求

a

的值并求

f(x)

的最大值

【变式训练】

1、已知函数f（x）=log

2

（1）求

F(x)

的定义域

（2）求

F(x)

的值域

x2x

x2

,g(x)log

2

(x2)log

2

(px),且

p＞2，设

F(x)f(x)g(x)

x2

x

2

xa

(a0),x[1,2]

的值域 例2、（耐克函数）求函数

f(x)

x

【变式训练】

求函数

f(x)2x

例3、（二次函数）已知函数

f(x)x2axa1(aR)

，求

f(x)

在区间

[1,1]

上的最大值和最小值

【变式训练】

已知函数

f(x)x2x2

在区间

[t,t1](tR)

上的最大值和最小值

【方法总结】

1、含参数指对数函数求值域（最值）：一般先给出值域（最值），求参数，用换元法

2、含参数耐克函数求值域（最值）：只要知道耐克函数的单调区间，对参数进行分类讨论即可

3、含参数二次函数值域（最值）：先找出对称轴，分对称轴在区间的左边、右边和里面进行讨论

2

22

2

a

的值域

x

2


本文标签： 函数 值域 最值 复合 参数

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