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2024年3月19日发(作者：tastes怎么读啊)
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高教视野
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伽马 熬、恭．概齐论 绺 撰 铈中渤庭
◎田德建索新丽许盈盈（中国矿业大学数学学院，江苏徐州２２１１１６）
例２ 设二维随机变量（Ｘ，ｙ）的概率密度－厂（ ，Ｙ）＝
ｋ
…
伽马函数（Ｇａｍｍａ函数），也叫欧拉第二积分，是阶乘
函数在实数与复数上扩展的一类函数．该函数在分析学、概
率论、偏微分方程和组合数学中有重要的应用．本文主要探
ｅ－２
ｘ－ｙ
＞。＇ｙ＞。’求常数 的值
．
．
…
讨其在概率论与数理统计课程教学中的计算技巧与重要
应用．
解 由概率密度的性质可知
伽马函数作为阶乘的延拓，是定义在复数范围内的亚
纯函数，通常写成厂（・）．我们仅介绍实数域上的伽马函数：
＝
』Ｊ－＋ ，＊ ＋∞ （ ，ｙ）ｄｘｄｙ＝Ｉ Ｊ＋∞ ＋ｃ ｋ∞ ｅ－Ｚ＇－Ｚｄｘｄｙ
，
一
∞Ｊ一∞ＪＵ ＪＵ
ｋｅ－￣ｄｘｆ￣ｅ－ｙ 告．
厂（ ）：Ｉ ｔ ｅ－ｔｄｔ（ａ＞０）．
函数厂（・）的主要性质为
（ｉ）Ｆ（ ＋１）：ａＦ（ ）（ ＞０）；
故可得ｋ＝２．
例２介绍的是根据概率密度函数的性质求待定参数．通
过此例可以看出，在求待定参数的过程中，指数分布和伽马
函数发挥了很大的作用．
例３ 设随机变量ｘ的概率密度为
：
（ｉｉ）厂（ １）＝ ；
（ｉｉｉ）Ｆ（１）＝１．
对于以上性质我们不给予证明．
』赢ｅ号， ｏ，
ｔｏ
，
≤０，
在概率论与数理统计课程中，常见的积分主要包括两
大类，第一类是关于ｅ 的积分，第二类是关于ｅ 的积分．
第一类积分跟指数分布密切相关，同时跟伽马函数也联系
密切．第二类积分跟正态分布有直接的联系．我们这里主要
考虑第一类积分，在积分过程中，可以发现厂（ｒｔ＋１）：ｎ！
其中 ＞０， ＞０．求其期望和方差．
．
４－∞
解
＝
Ｅ［Ｘ］＝Ｉ
Ｊ一∞
）出
几舌） ｅ一‘寺）ｄ（寺）
＝啦
（ｎ为非负整数）．
下面我们通过概率论与数理统计课程中几个非常典型
的例子来说明伽马函数的重要性，以及在计算过程中带来
的方便．
＝
Ｅ［Ｘ２］＝
＝
）
首先，来介绍跟伽马函数直接相关的指数分布．指数分
布是一种重要的概率分布，它可以用来表示独立随机事件
发生的时间间隔，比如，顾客进商场的时间间隔等．除此之
外，指数分布的分布函数对应于生存函数，在保险精算中也
具有重要的应用．
＝
寺）ａ－４１ｅ＿（寺）ｄ（舌）
＋１）
因此，Ｘ的方差为Ｄ（ ）＝Ｅ［ ］一Ｅ Ｉｘ］＝ ．
上述例子其实是伽马分布，通常记为Ｘ一，（ ，口），可
以通过其求期望和方差的过程中看出伽马积分的作用．
例１ 随机变量 服从参数为Ａ（Ａ＞０）的指数分布，
其密度函数为 ）＝｛
验证其是密度函数，并求
解 非负性显然，又
０’
］．
例４设ｘ—Ｎ（ｏ，号），ｙ—Ｎ（ｏ，号）并且 ，ｙ相互独
立，计算Ｅ［Ｉ Ｘ—ＹＩ］．
解 记ｚ＝Ｘ—ｙ，则Ｚ—Ｎ（０，１）．故
Ｌ ） 上￣ｅ－ｌｘｄｘ＝上 ｄｙ＝１・
故其为密度函数．
［Ｉ Ｘ一］：ｒ 一］ＹＩ Ｌ。去Ｊ一０ Ｉ ｚ Ｉ士 出 ／可出 ＇＾，
＝
孚出＝ ”ｅ一孚
Ｅ［Ｘ２］＝ｆ
ｆｅ－Ｙｄｙ
） ＝【Ａｘ ｅ ｄｘ
一
＝
√ 上 ｅ ｄｔ：√ ．
例４是关于正态分布计算数学期望跟伽马函数有关的
个典型例子．
例５ 设Ｘ ， ，…，以总体Ｘ的样本，Ｘ的概率密度为
例１给出的是指数分布的一些性质，我们可以看到指数
分布的概率密度对应于 ＝１的情形．更一般地，指数分布
也可以看成为伽马分布和威布尔分布的特殊情况，在这里
我们不做介绍．
数学学习与研究２０１７．２３
，（ ； ， ）：｛【言 ， ≥ ， ＞ｏ，求 和 的矩估计量
０． ＜ｆｔ．
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高教视野
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例５给出了伽马函数在一类计算矩估计量的过程中，可
Ｅ ［］＝』［］＝ＪＸ Ｊ － ￣ｘｆ（； ， ） ＝Ｊ＝【ｍ ＋ ｒ 寺ｅ÷ｅ， 一
＝
以使运算变得简单，而又不容易出错．
通过以上五个例子，我们可以看出伽马函数在概率论
与数理课程中几个典型的问题包括指数分布、正态分布、求
解待定参数、矩估计等中有非常重要的作用，尤其在计算过
程中可以带来很多方便．
上 （ ＋ ）ｅ一 ｄｙ＝ Ｉ ｅ一 ｄｙ＋ ），ｅ一，
＋０， ＝
］＝ 力 ； ＝Ｊ【＋ 等ｅ一
：
ｒ（ ＋ ２ｅ－Ｙｄｙ＝ ＋２矿＋
ｌ
【参考文献】
［１］茆诗松，程依明，濮晓龙．概率论与数理统计教程
［Ｍ］．第２版．北京：高等教育出版社，２０１１．
从而利用矩
估计的原理有
＝
Ｘ，
［２］陈希孺．概率论与数理统计［Ｍ］．北京：科学出版
社。２００２．
ｉ ＋２矿＋ ＝ ｎ霹．
可以解得 的矩估计量为／。 Ｓ，０的矩估计量为 一
，
［３］盛骤，谢式千，潘乘毅．概率论与数理统计［Ｍ］．第３
版．北京：高等教育出版社，２００６．
、， ｎ
［４］周圣武．概率论与数理统计［Ｍ］．第２版．北京：煤
炭工业出版社，２００７．．
－ＴＳ
．
（上接６页）
从上即可看出费马数 ＝２ ＋１（ｎ∈ｚ一）两两互素．
同时这也就是证明费马数两两互素的一种极为简便的
方法．
从上可以看出有无穷多对费马数与梅森数互素．
６．求（口 ＋１，ａ 一１），其中ａ∈Ｚ，ｍ，ｎ∈Ｚ一，ｍ＞ｎ，ｂ
为正偶数，ａ＝一１与ｎ＝０不同成立．
２．求（ａ ＋１，ａ ＋１），其中ａ∈Ｚ，ａ≠一１，ｍ，ｎ∈Ｚ一，
ｍ＞ｎ，ｂ为正奇数．
解据预备定理２之推论４即得
（０ ＋１，ａｂｍ一１）＝Ｉａ ＋１Ｉ．
解根据预备定理３之推论４即得（ａ ＋１，ａ ＋１）＝
从上即可看出有无穷多个梅森数的真约数为费马数．
７．求（Ⅱ ＋１，ａ 一１），其中口∈ｚ，ａ≠一１，ｍ，ｎ∈ｚ一，
ｍ＞ｎ，ｂ为正奇数．
解据预备定理３之推论１即得
１
，
２ １ａ，
１０ ＋１ １．
３．求（ａ 一１，ａ 一１），其中ａ∈Ｚ，ｍ，ｎ∈ｚ一，，孔＞ｎ，ｂ
为正偶数，ａ＝１与ｎ∈Ｚ一不同成立，ａ＝一１与ｎ∈Ｎ不同
成立．
（。 ＋１，。ｂｍ一１）＝
解据预备定理４之推论４即得
【２
２
，
（ａ 一１，ａ 一１）：ｌａ 一１１．
８．求（ａ ＋１，口 一１），其中ａ∈ｚ，ｍ，ｎ∈Ｚ一，ｍ＜ｎ，ｂ
为正偶数，ａ＝１与ｍ Ｅ ｚ一不同成立，ａ＝一１与ｍ∈Ｎ不同
成立．
从上即可看出有无穷多个梅森数的真约数亦为梅
森数．
４．求（ａ 一１，ａ 一１），其中ａ∈Ｚ，ｍ，ｎ∈ｚ一，ｍ＞ｎ，ｂ
为正奇数，ａ≠１．
解据预备定理５之推论４即得
（ａ “——１，ａ ——１）＝１ａ “—．１ Ｉ．
解据预备定理４之推论１得
ｌ
，
２ １ａ
，
（ａｂｎ＋１，ａ 一１）＝
【２
２
，
口
．
９．求（ａ ＋１，口 一１），其中ａ∈Ｚ，ｍ，凡∈ｚ一，ｍ＜ｎ，ｂ
为正奇数，ａ≠１．
从上也可看出有无穷多个梅森数的真约数亦为梅
森数．
５．求（ａ ＋１，ａｂ 一１），其中ａ∈ｚ，，ｎ，ｎ∈ｚ一，ｍ＝ｎ，ｂ
为正整数．
解‘．‘ａ∈Ｚ，ｍ，ｌｌ，∈Ｚ一，ｍ＝ｎ，ｂ为正整数，则
解据预备定理５之推论ｌ即得
１
，
２ １ａ，
（ａｂｎ＋１，ａｂｍ－１）＝
【２
２
，
这里需要提及一点，灵活运用第一数学归纳法是很有
好处的．另外，从中可以看出费马数与梅森数存在一定关
（口 ＋１，ａ ｍ一１）：（ａ ｍ＋１，ａ ｍ一１）＝（ａ ｍ＋１，ａ ｍ—
ｌ＋（ａｂｍ＋１）（一１））：（ａｂｍ＋１，－２）＝
那么（口 ＋ｌ，口ｂｍ一１）＝
１
，
２ １ａ
，
，
系，这是可喜的．
１
，
２１ ａ
，
【２
２
，
口
，
【参考文献】
［１］潘承洞，潘承彪．初等数论［Ｍ］．北京：北京大学出
版社，１９９２：２７．
数学学习与研究
【２
２
Ⅱ
．
２０１７．２３
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