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2024年3月19日发(作者：小说玩游戏id有个叫零零九的)
本科毕业论文
题目： 随机变量序列的
几种收敛性及其关系
学院： 数学与计算机学院
班级： 数学与应用数学2008级八班
姓名： ***
指导教师： 丁平仁 职称： 副教授
完成日期： 2012 年 5 月 10 日
随机变量序列的几种收敛性及其关系
摘要
：
本文主要对随机变量序列的四种收敛性：a.e.收敛、依概率收敛、依分布收敛、
r—阶收敛的概念、性质进行阐述；并结合具体实例讨论了它们之间的关系，进一步对
概率论中依分布收敛的等价条件和一些依概率收敛的弱大数定律进行了具体的研究
.
关键字
：
随机变量序列 收敛 分布函数
目录
1.引言 .................................................................... 1
收敛、依概率收敛、依分布收敛、r—阶收敛的概念、性质以及它们之间的关系.
2.收敛的概念及性质 ................................................................................................... 1
2.2 依概率收敛的概念及性质 .............................................................................................. 2
2.3依分布收敛的概念及性质 ............................................................................................... 3
2.4 r—阶收敛的概念及性质 .................................................................................................. 5
3.随机变量序列依分布收敛的等价条件. ....................................... 6
1
n
4.随机变量
k
依概率收敛的一些结果 ..................................... 9
n
k1
5.小结. .................................................................. 12
6.参考文献 ............................................................... 12
1.引言：
在数学分析和实变函数中“收敛性”极为重要，特别在实变函数中对可测函数列收
敛性的讨论。实变函数主要是在集合论与测度论的基础上建立起了Lebesgue积分以及
它的一些性质，而Lebesgue积分的讨论中，在测度空间中关于可测函数列的
（,F,P）
各种收敛性以及它们之间的关系的讨论在理论和应用上都是十分重要的.同样在现代概
率论中，其中的许多概念也是借助于集合论和测度论中的概念来定义和研究的，比如概
率论中事件间的关系及运算与集合论中
—
代数间的关系及运算是相类似的，而且在许
多情况下，用集合论的表达方式更简练、更容易理解，不妨设
为满足某一性质的全体
所成的集合，若F为
的一个
—
代数，则称为可测空间；若
为F上的测度，
（,F）
则称为测度空间；若
为F上的测度，且
（）
则称
为F上的概率测度，
（,F,
）1
，
称为概率测度空间；由此我们通过测度论知识就得到了概率测度空间，同时引
（,F,
）
出了概率公理化定义：概率是在
—
代数F上的一个非负的、规范的、可列可加的集函
数，其中
为某一试验中可能的结果的全体,称为样本空间；F为随机事件全体，称为
事件域（
—
代数）；也就是说概率P是概率测度空间F上的一个测度集函数，同实变
函数中的可测函数列收敛性一样，在概率论中我们有必要研究随机变量序列的收敛性，
这对于概率论的学习是十分重要的.
收敛、依概率收敛、依分布收敛、r—阶收敛的概念、性质以及它们之间的关系.
在概率论中，概率空间
(,F,P)
上的随机变量就是样本空间
上关于F的可测函数，
对于一般的可测函数的序列我们在数学分析和实变函数中已有认识，其中“收敛性”理
论是非常重要的，在概率论中也一样重要，随机变量序列有：几乎处处收敛，依概率收
敛，依分布收敛，r—阶收敛.下面一一分别介绍：
设
和
n
(n1)
是给定概率空间
(,F,P)
上的随机变量.
2.收敛的概念及性质
定义1 如果有
P(
:lim
n
(
)
(
))1
， （1.1）
n
a.s.
. 则称随机变量列
{
n
}
几乎处处收敛到
，记作
n
注意：（1.1）式中括号里的
集是一事件，因而是有意义的，用集合论的语言实际上
是
1
(lim
n
(
)
(
))(|
n
(
)
(
)|)F
. （1.2）
nm1k1nk
m
a.s.
的充要条件是 定理1
n
0
limP((|
k
|
))0
. （1.3）
nkn
证明：（必要性）如在定点
上有
lim
n
(
)
(
)
，则
0
n
|
n
(
)
(
)|
不能对无穷多n成立.
a.s.
得 令
A
n
(
:(|
n
(
)
(
)|
))
，则
A
n
A
n1
，故由连续性定理及
n
kn
limP((|
k
|
))P((|
k
|
))0
.
nknn1kn
（充分性）由（1.2）式及上式第一等号得
P((|
k
|
n1kn
1
))0
.
m
注意：对可列多个概率为0的事件
A
n
的和
AA
n
，有
P(A)
P(A
n
)0
，即
P(A)0
，
n1
n1
11
故
P((|
k
|))0
.由对偶原则，即得
P((|
k
|))1
.
m1n1knm1n1kn
mm
a.s.
. 由此及（1.2）即得
n
2.2 依概率收敛的概念及性质
定义2 如果
0
，
limP(|
n
(
)
(
)|
)0
，
n
P
. 则称随机变量序列
{
n
(
)}
依概率收敛于随机变量
(
)
，记作
n
a.s.P
，则
n
. 定理2 若
n
a.s.
及定理1 证明：由于
0
，有
(|
k
|
)(|
k
|
)
，又
n
kn
得
limP((|
k
|
))0
，所以
limP(|
n
|
)0
定理得证.
nkn
n
但是定理2的逆命题不真，反例如下：
例1 取
(0,1]
，F为[0,1]中全体博雷尔子集所成
代数，P为勒贝格测度，
11
1,
(0,]0,
(0,]
22
;
22
(
)
.
一般地，将（0,1]分成k个等长的令
11
(
)1;
21
(
)
11
0,
(,1]
1,
(,1]
22
i1i
1,
(,],
kk
(i1,2,k;k1,2).
区间，而令
ki
(
)
i1i
0,
(,],
kk
定义
1
(
)
11
(
),
2
(
)
21
(
),
3
(
)
22
(
),
4
(
)
31
(
),
5
(
)
32
(
),
,
则
{
n
(
)}
是一列随机变量，对任意
0
，由于
P(|
ni
(
)|
)
1
,
故
n
P
0
；然而对任意固定
，任一正整数k,恰有
P(|
ni
(
)|
)0,(n)
，即
n
一i，使
ki
(
)1，而对其余的j有
kj
(
)0
，有此知{
n
(
)}中有无穷多个1及无穷
多个0，于是
{
n
(
)}
对每个
都不收敛.
2.3依分布收敛的概念及性质
定义3 设F(x),F
n
(x)(n1)均为实函数.如果有
limF
n
(x)F(x)
,其中x为
F(x)
的连
n
续点集，
W
F(x)
. 则称{F
n
(x)}弱收敛到
F(x)
，记作
F
n
(x)
例2 任意取一常数列
{c
n
}
，使
c
1
c
2
,
lim
c
n
c
(
n
)
.
n
令
n
(
)c
n
,
(
)c（一切
）
.显然，对每一
有
lim
n
(
)
(
)
.其次，
n
(
)
及
(
)
n
0,xc
n
0,xc
W
F(x)
；但在
F(x)
的不连
;F(x)
的分布函数分别为
F
n
(x)
，
F
n
(x)
1,xc
1,xc
n
续点c上，
F
n
(c)0,F(c)1
.故
limF
n
(c)F(c)
.
n
由此例可知定义3中称“弱收敛”是自然的，因为分布函数列的极限函数不一定是
分布函数，为了避免这种情况，故引入如下的定义：
W
F(x)
，则称随定义
3'
设随机变量
n
与
分别有分布函数
F
n
(x)
与
F(x)
，且
F
n
(x)
W
. 机变量列
{
n
}
依分布收敛到
，仍记作
n
PW
，则
n
. 定理3 设
n
证：对任意
xR
1
,xR
1
，有
(
y)(
n
x,
y)(
n
x,
y)
(
n
x)(
n
x,
y)
F(y)F
n
(x)P(
n
x,
y)
，
P
，故对
yx
得 由于
n
P(
n
x,
y)P(|
n
|xy)0,(n)
因此
F(y)limF
n
(x)
；
n
类似可证：对
xz
，有
limF
n
(x)F(z)
，
n
于是对
yxz
，有
F(y)limF
n
(x)limF
n
(x)F(z)
.
n
n
如果
x
是
F(x)
的连续点，令
yx,zx
，得
F(x)limF
n
(x)
.
n
但定理3逆命题不成立，反例如下：
例3 抛掷一枚均匀的硬币，有两个可能结果：
1
={出现正面}，
2
={出现反面}，
于是有
1,
1
,
1
P(
1
)P(
2
)
令
(
)
则
(
)
是一个随机变量，其分布函数为
1,
,
2
2
1,x1
1
这时，若
(
)
(
)
，则显然
(
)
与
(
)
有相同的分布函数
F(x)
.
F(x)
,1x1
，
2
0,x1
再令
n
,
n
的分布函数记作
F
n
(x)
，故
F
n
(x)F(x)
，于是对任意的
xR
，有
n
W
F(x)
成立，而对任意的
0
2
，恒有
limF
n
(x)limF(x)F(x)
，所以
F
n
(x)
n
P
.
P(|
n
|
)P(2|
|
)1
不趋于0，即不可能有
n
在上述例子中，随机变量
与
在每次试验中取相反的两个数值，可是它们却有完
全相同的分布函数.由此可知，一般说来并不能从分布函数列的弱收敛肯定相应的随机
变量序列依概率收敛.但是在特殊情况下，它却是成立的，由下面定理说明.
W
P
F(x)
.
c(c为常数）
定理4 随机变量序列
n
的充要条件是
F
n
(x)
1,xc
这里
F(x)
是
c
的分布函数，也就是退化分布：
F(x)
.
0,xc
证明：（必要性）已由定理3给出，下证（充分性）：
对任意的
0
，有
P(|
n
c|
)P(
n
c
)P(
n
c
)
P(
n
c)P(
n
c
)
2
1F
n
(c)P(c
)
定理得证.
2
110,n
注：定理4将随机变量序列依概率收敛于常数的问题转化为讨论分布函数列弱收敛于退
化分布的问题.这样两种收敛关系间的联系就清楚了.
引理 1 （马尔科夫[Mapkob]不等式）设随机变量
有
r
阶绝对矩，即
E|
|
r
,(r0)
，
则对任意
0
有
P(|
|
)
E|
|
r
r
. （1.4）
D
取
r2
，并以
E
代替
，得
P(|
E
|
)
2.4 r—阶收敛的概念及性质
2
，称为切比雪夫不等式.
定义 4 设对随机变量
n
及
有
E|
|
r
，其中r>0为常数，如果
limE|
n
|
r
0
，
n
r
. 则称
{
n
}r
阶收敛于
，记为
n
rP
，则
n
；反之不真. 定理 5 如果
n
证明：由引理1，对
0
，有
P(|
E
|
)
P
. 所以
limP(|
n
|
)0
，即得
n
E|
n
|
r
r
，又
limE|
n
|
r
0
，
n
n
1
1
r
n,如
（0，]
n
例4
(,F,P)
如例1所取，令
n
(
)
，
(
)0
（一切
）.
1
0,如
（0，];
n
a.s.P
；
n
. 显然，对一切
，
n
(
)
(
),(n)
，故
n
1
1
不趋于0.
n
由上面四种收敛性间的关系可得：
几乎处处收敛
依概率收敛
依分布收敛.
r
阶收敛
依概率收敛
依分布收敛.
然而
E|
n
|
r
n
3.随机变量序列依分布收敛的等价条件.
因为随机变量取值的统计规律可由它的分布函数完全确定，所以自然会考虑利用分
布函数的收敛性来定义随机变量的收敛性，又分布函数和特征函数一一对应，而判断一
个分布函数的序列的收敛是否弱收敛有时是很麻烦的，但判断相应的特征函数序列的收
敛性却往往比较容易，下面给出弱收敛的充要条件，首先做一些准备：
W
F(x)
的充要条件是： 定理 6 设
F(x),F
n
(x)(n1)
均为分布函数，则
F
n
(x)
对于函数
F(x)
的连续点集
R
1
的某个稠子集
D
有
limF
n
(x)F(x),xD
. （2.1）
n
证明：由
DR
1
立得必要性.下设（2.1）式成立.对任何
xR
1
,取
yxz
且
y,zD
则
有 F
n
(y)F
n
(x)F
n
(z).令
n
，用（2.1）式得
F(y)limF
n
(y)limF
n
(x)limF
n
(x)limF
n
(z)F(z)
.
n
n
nn
W
F(x)
，证毕. 再令
yx及zx
便得证
limF
n
(x)F(x)
，即
F
n
(x)
n
引理 2 （海来Helly第一定理）任一分布函数列
{F
n
(x)}
必定含弱收敛于某函数
F(x)
的
子列，而且
F(x)
单调不减，右连续，
0F(x)1
.
注：在引理2中不能断定海来第一定理中的
F(x)
是分布函数.事实上，取
n
n(n1)
，
W
0
,极限函数不是分布函数. 则对任应的分布函数
F
n
(x)
引理 3 （海来Helly第二定理）设分布函数列
{F
n
(x)}
弱收敛于分布函数
F(x)
，则对任
何有界连续函数
有
(x)p
n
(x)dx
(x)p(x)dx
. （其中
p
n
(x),p(x)
分别是
F
n
(x),F(x)
RR
的密度函数）.
定理 7 （连续性定理）分布函数列
{F
n
(x)}
弱收敛到分布函数
F(x)
的充要条件是：
相应的特征函数列
{f
n
(t)}
逐点收敛到相应的特征函数
f(t)
.
证明：令
p
n
(x),p(x)
分别是
F
n
(x),F(x)
的密度函数.
W
F(x)
，对有界连续函数
sintx与costx
分别用引理3便得，当（必要性）：设
F
n
(x)
n
时对一切
tR
有
f
n
(t)
e
itx
p
n
(x)dx
costxp
n
(x)dxi
sintxp
n
(x)dx
RRR
costxdF
n
(x)i
sintxdF
n
(x)
costxdF(x)i
sintxdF(x)f(t)
.
RRRR
（充分性）据引理2知，分布函数列{F
n
(x)}必存在子序列
{F
n
k
(x)}
，使当n
k
时
W
F
n
k
(x)F
.其中极限函数
F
是
R
上非减右连续函数且有界：
F()0,F()1
.
下证此二式均取等号，即
F
为分布函数.如若不然，有
aF()F()1
. （2.2）
那么，一方面由
f(0)1
及
f(t)
连续知，对满足
0
1a
的任意
，存在充分小的正数
，使
1
|
f(t)dt|1a
.
2
22
W
另一方面，既然
F
n
k
(x)F
，由（2.1）式知可选取
b
4
，使
b
与
b
皆为
F
的连续
点，且存在自然数
K
，使当
kK
时有
a
k
F
n
k
(b)F
n
k
(b)a
4
. （2.3）
22
再由
|
e
itx
dt|2
及
|x|b
时有
|
e
itx
dt||sintx|
，便可得到
xb
1
1
itx
|f
n
(t)dt||[edt]dF
n
k
(x)|
2
k
2
11
|
[
e
itx
]dF
n
k
(x)||
[
e
itx
dt]dF
n
k
(x)|
2
(b,b)
2
(|x|b)
1
a
k
a
k
aa,
b
k
4442
这与（2.3）式矛盾.至此得证
{F
n
(x)}
的子列
{F
n
k
(x)}
弱收敛到分布函数
F
.对此运用已
证的必要性，知
F
所对应的特征函数为
f
.再由极限函数的唯一性定理可推出
FF
.
最后证明分布函数列
{F
n
(x)}
也弱收敛到
F(x)
.仍然用反证法.如若不然，必存在
F(x)
的连续点
x
0
，使
F
n
(x
0
）
不趋于
F(x
0
)
.于是有界数列
F
n
(x
0
)
必含收敛子列
{F
m
k
(x
0
)}
.
其极限值
F
m
k
(x
0
)F
*
(x
0
)F(x
0
)
.对分布函数序列
{F
m
k
(x)}
运用引理2，又存在子列
W
F
*
.
F
*
与前述
F
至少在
x
0
上不同.但是重复上述论证可知
F
*
也
{F
m
k
1
(x)}
使
F
m
k
1
(x)
应当是与
f
对应的分布函数，由唯一性定理知
F
*
F
，这导出矛盾.定理证完.
例5 若
是服从参数为
的泊松分布的随机变量，证明：
1
limP(
x)
2
证明：已知
的特征函数为
(t)e
(e
iy
x
e
t
2
2
dt
. （2.4）
1)
故
的特征函数为
t
)e
i
t
g
(t)
(
i
t
e
(e
i
t
1)i
t
对任意的
t
，有
e
t
t
2
1
1o(),
2!
it
于是
(e
i
t
2
1t
2
1)i
t
o(),
2
2
t
2
2
从而对任意的点列
n
，有
limg
n
(t)e
n
t
2
2
.
t
2
2
但是
e
1
是N（0,1）分布的特征函数，由定理7即知有
limP(
x)
2
x
e
dt
成立，因为
是可以任意选取的，这就意味着（2.4）式成立（“泊松分布（当参数
时）收敛于正态分布”）.
下面给出弱收敛的各种等价条件：
如果存在一个函数
f(t)
，使对每一
tR
,有
limf
n
(t)f(t)
，则称特征函数列
{f
n
(t)}
n
为广义均匀收敛到
f(t)
，而且这收敛对每一有限区间
[c,d]
中的
t
是均匀的（即对任意
0
，任意有限区间
[c,d]
，存在正整数
NN(
,c,d)
，使对一切
t[c,d]
，当
nN
时 ，
有
|f
n
(x)f(x)|
），这时也说
{f
n
(t)}
广义均匀（一致）收敛
f(t)
.
注：由于
f
n
(t)
连续，如
{f
n
(t)}
广义均匀收敛到
f(t)
，则
f(t)
必定是连续函数.
系1 设分布函数列
{F
n
(x)}
对应的特征函数列为
{f
n
(t)}
，则下列四条件等价：
（1）
{F
n
(x)}
弱收敛于某分布函数
F(x)
，
（2）
{f
n
(t)}
收敛到某函数
f(t)
，
f(t)
在点0连续，
（3）
{f
n
(t)}
收敛到某连续函数
f(t)
，
（4）
{f
n
(t)}
广义均匀收敛到某函数
f(t)
.
当任一条件满足时，
f(t)
是
F(x)
的特征函数.
下面说明系1中等价条件（2）中“
f(t)
在
t0
的连续性”是不可缺少的条件.
例6 设
f
n
(t)
sinnt
,(n1,2,)
.
{f
n
(t)}
是一列特征函数
(f
n
(0)1)
.实际上，
nt
sinnt1
n
itxitx
edxe
n
(x)dx
，
n
nt2n
0,xn,
1
xn
,x[n,n],
其中
n
(x)
2n
是分布函数
F
n
(x)
（2.5）
,nxn,
2n
0,x[n,n],
1,xn
的密度函数.
1,t0,
显然，对任意
t
，
limf
n
(t)f(t)
，这里
f(t)
，
n
0,t0.
f(t)
在0点不连续，也不是特征函数.
1
(一切xR
1
)
不是一分布函数.
n
2
至此我们可将随机变量序列的四种收敛性间的蕴含关系总结如下：
几乎处处收敛
依概率收敛
分布函数的弱收敛
另外对于（2.5）中
F
n
(x)
，极限函数
F(x)limF
n
(x)
r阶收敛 特征函数逐点收敛
1
n
4.随机变量
k
依概率收敛的一些结果
n
k1
在概率论，我们用“频率的稳定性”引出概率这个基本的概念.许多试验结果表明，
虽然一次随机试验中某确定事件发生与否不能预言，但是如果在相同条件下大量重复这
个试验，则此事件发生的频率会稳定在某个值的附近.这说明，在一定条件下各事件出
现的可能性的大小是客观存在的，可以用上述频率的稳定值来度量，这就是事件的概率.
频率的稳定性呈现在大量重复试验中，历史上把这个试验次数很大时出现的规律称作大
数定律.
后来我们引入了伯努利概型来刻画独立重复试验.将一成功（即A发生）概率为p
的试验独立重复n次，其中成功
n
次，则
n
是二项分布随机变
量.
E(
n
)np,D(
n
)npq.
n
pq
也是随机变量.其期望为p与n无关，且方差当
n
时趋于0.
n
n
熟知，方差为0的随机变量恒等于它的期望，所以当
n
时频率
n
应以概率p为极
n
因此成功的频率
限.另一方面，可以写
n
k
，其中
1
,
2
,
,
n
相互独立，具有相同的伯努利分布，
k1
n
1
n
至此，问题转化为研究
n
时
的平均值序列
k
的极限行为.鉴于已在上面讨论
n
k1
过随机变量列的各种收敛性，因此我们可以给出大数定律的严格定义.
定义5 设
{
n
}
为随机变量序列，它们都有有限的数学期望
E(
n
)
.如果
1
n
P
0
, （3.1）
[
k
E(
k
)]
n
k1
则称
{
n
}
满足大数定律.
定理8 （马尔科夫大数定律）
n
1
设{
n
}是方差有限的随机变量序列，如果有
2
D(
k
)0
. （3.2）
n
k1
则
{
n
}
满足大数定律.
证明：由切比雪夫不等式及（3.2）式立得，对任意的
0
有
n
1
n
1
P(|
(
k
E(
k
))|
)
22
D(
k
)0
，
n
k1
n
k1
即得证（3.1）式成立，定理得证.
n
1
注：将
2
D(
k
)0
称为马尔科夫条件，由定理8知它是大数定律成立的一个充分条
n
k1
件.
定理9（切比雪夫大数定律）
若序列
{
n
}
两两不相关且方差有界：
D(
n
)C(n1)
，则
{
n
}
满足大数定律.
n
11
证明：在所给条件下，（3.2）式的左方
2
D(
k
)
2
nn
k1
D(
k
)
k1
n
C
0
.即马儿科夫条
n
件满足,从而大数定律成立.
定理 10 （伯努利大数定律）
设
n
为n重伯努利试验中事件A出现的次数，又A在每次试验中出现的概率为
p(0p1)
,则对任意的
0
，有
limP(|
n
n
n
p|
)1
.
A出现
1,在第一次试验中
证明：令
i
（1in)
则
1
,
2
,
,
n
是n个相互独立的随机
0,在第一次试验中A不出现
变量，且
E
i
p,D
i
p(1
p)
pq
1,(i
1,
,n)
.满足切比雪夫大数定律条件，从而大
数定律成立.
注：此定理就是“频率以概率为其稳定值”的严格刻画.
马尔科夫大数定律的重要性在于对
{
n
}
已经没有任何同分布、独立性、不相关的假
定.切比雪夫大数定律可以看成是马尔科夫大数定律的特例，伯努利大数定律是切比雪
夫大数定律的特例，下面介绍一个随机变量序列独立同分布时的大数定律：
定理 11（辛钦大数定律）设
1
,
2
,
是一列独立同分布的随机变量，且数学期望存在：
1
n
E
i
a,i1,2,
则对任意的
0
，有
limP(|
i
a|
)1
成立.
n
n
i1
证明：因为
1
,
2
,
有相同分布，所以也有相同的特征函数，记这个特征函数为
(t)
，
又因为
E
i
存在，从而特征函数
(t)
有展开式：
(t)
=
(0)
/
(0)to(t)1iato(t)
1
n
再由独立性知
i
的特征函数为
n
i1
tt
[
()]
n
[1iato()]
n
nn
对任意取定的t,有
ttt
lim[
()]
n
lim[1iao()]
n
e
iat
nn
nnn
1,xa
而
e
iat
是退化分布的特征函数，相应的分布函数为
F(x)
0,xa
1
n
由定理7连续性定理知
i
的分布函数弱收敛于
F(x)
，
n
i1
1
n
P
a
，故辛钦大数定律成立. 再由定理4即知有
i
n
i1
5.小结.
本文主要对随机变量的四种收敛性的定义，性质进行了阐述，并结合具体的实例对
四种收敛性间的关系进行了讨论给出了相应的定理，对于概率论中十分重要的依分布收
1
n
敛给出了一些等价条件，和应用依概率收敛给出了随机变量
k
的一些弱大数定理理
n
k1
论，揭示了“频率的稳定性”，这样使对极限理论后续内容的理解更加容易，学习更加
简单.
6.参考文献
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[9] 周晓钟，尹秀实.由依概率收敛推出
r
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2005.
[12] 峁诗松，程依明，濮晓龙. 概率论与数理统计教程[M]. 北京:高等教育出版社，2004:199-223.
Some Convergences of Random Sequences
And Their Relationship
This paper focuses on the four convergences of random variable sequences.
Abstract
：
We mainly talk about the concepts and properties of almost sure convergence, convergence in
probability, convergence in distribution, r-order convergence and discuss the relationship
between them. Further, we do more specific research about convergence in distribution and
convergence in probability.
Key words
: random variable sequences ; convergence; CDF.
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