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2024年3月10日发(作者：asp防止查看源代码)

图的特征值和结构参数的研究

图谱理论是图论中非常重要的研究领域之一,它在计算机科学、信息科学、通信网络、

量子化学和统计力学等方面的应用极其广泛.图谱理论的研究主要是利用矩阵论和组合矩

阵论中的经典结论和方法,通过图的矩阵表示,建立起图的代数性质与拓扑结构之间的紧密

联系.本文主要讨论了图的几类矩阵特征值与图的结构参数(如图的度、平均二度、传递

(transmission)、直径、围长、色数、连通度等)之间的关系,进而研究图的一些性质.文章结

构如下:第一章,主要介绍了图谱理论以及本文涉及问题的研究背景,而且给出了本文所用到

的一些基本概念和记号.第二章,研究了连通的非正则(n,m)-图(即有n个点和m条边的图)

的(无符号)拉普拉斯谱半径.首先给出了无符号拉普拉斯谱半径关于度和平均二度的上界,并

刻画了对应的极图.然后,得到了(无符号)拉普拉斯谱半径关于最大、最小度的上界.最后,讨论

了不同图的拉普拉斯谱半径和无符号拉普拉斯谱半径之间的关系,而且对不同图的(无符号)

拉普拉斯谱半径进行了排序和比较.第三章,研究了图的Aα-矩阵的最小特征值λλn(Aααα).

令n,m,χ和qn(G)分别表示图G的点数、边数、色数和无符号拉普拉斯最小特征值.de

Lima,Oliveira,de Abreu和 Nikiforov[The smallest eigenvalue of the signless

Laplacian,Linear Algebra Appl.435(2011)2570-2584]提出了多个公开问题,其中两个如

下:问题1:找到qn(G)=2m/n-1成立的充要条件;问题2:找到qn(G)=(1-1/χ-1)2m/n成立

的充要条件.在这章中,我们首先得到了λn(Aα)(此处1/2 ≤ α ≤ 1)的一个上界并刻画了对

应的极图,作为应用,完全解决了问题1.然后,当α ≠ 1/χ时给出了Nikiforov和 Rojo[A

note on the positive semidefiniteness of Aα(G),Linear Algebra

Appl.519(2017)156-163]得到的 λn(Aα)≤(αχ-1)2m/(χ-1)n中等式刻画的必要条件,进而

得到了问题2的必要条件.最后,考虑了λn(Aα)关于图的度、直径和围长的一些界且刻画了

一些极图,改进和推广了qn(G)以及λn(Aα)的一些已有结果.第四章,考虑了图的距离(无符号

拉普拉斯)谱半径.一方面,研究了循环图的距离谱半径与转发指标.通过构造任意两点间的最

短路得到了几类循环图的距离谱半径以及所对应的距离矩阵的元素.然后,讨论了距离谱半

径与转发指标的关系.最后,给出了几类循环图的点转发指标的确切值和边转发指标的上下

界.另一方面,讨论了非传递正则图(non-transmission-regular graphs)的距离(无符号拉

普拉斯)谱半径.分别用两种方法对这类图的距离(无符号拉普拉斯)谱半径与(2倍)图的最大

传递之差进行了估计,并对所得结果进行了比较.而且,关于距离谱半径和图的最大传递提出

了一个猜想并验证了此猜想对树是成立的.此外,利用证明中类似的方法,改进了非正则图的

邻接谱半径和最大度差值的一个已有结果.第五章,对本文进行了总结,并对有待研究的问题

进行了展望.


本文标签： 研究 半径 问题 距离

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