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2024年2月28日发(作者：oracle电子书)

metropolis 蒙特卡洛算法

Metropolis蒙特卡罗算法是一种基于概率分布的随机采样算法，广泛应用于统计物理学、计算化学和机器学习等领域。该算法通过赋予每个状态一个能量值，并随机采样生成下一个状态，根据采样出的新状态的能量和当前状态能量间的比较，以一定的概率接受或拒绝新状态，最终达到从概率分布中随机采样的目的。

以下是Metropolis蒙特卡罗算法的详细步骤：

1. 定义问题：将问题转化为一个概率分布，设定初始状态

首先需要将问题转化为一个概率分布，也就是定义系统状态的空间，并且给出每个状态的概率。例如，在一个2D格点上，每个格点上可以有一个粒子或者没有粒子，我们可以定义一个概率分布，表示每个格点上粒子的存在概率。接着，需要设定一个初始状态，也就是从哪个状态开始采样。

2. 采样新状态

在设定好初始状态后，需要采样一个新的状态。采样方式可以是随机的，也可以是根据某种采样规则生成，例如在格点系统中，可以随机选择一个粒子，随机将其移动到周围的一个格点上。

3. 计算新状态的能量

在确定了新状态后，需要计算新状态的能量，并将其与当前状态比较。这里，能量可以根据实际问题的物理特性定义。在格点系统中，能量可以定义为粒子之间的相互作用能，或者粒子与外部势场的相互作用能。

4. 判断是否接受新状态

在计算出新状态的能量之后，需要根据接受准则，决定是否接受新状态。接受准则通常是基于Metropolis-Hastings算法的接受准则来定义的，即：

设当前状态的能量为E，新状态的能量为E'，则新状态被接受的概率为min(1, [P(E')/P(E)][Q(E|E')/Q(E'|E)])。

其中，P(E)表示当前状态的概率，P(E')表示新状态的概率，Q(E|E')表示给定新状态，接受状态为当前状态的概率，Q(E'|E)表示给定当前状态，接受状态为新状态的概率。

根据接受准则，当随机生成的数小于接受概率时，就接受新状态，否则拒绝新状态，继续沿用当前状态。

5. 重复步骤2到4，直到采样完成

在完成了一次采样后，需要重复执行步骤2到4，直到采样次数达到预设值或者采样概率满足一定的要求为止。

总之，Metropolis蒙特卡罗算法是一种灵活、高效的采样方法，广泛应用于统计和物理领域，也是机器学习中一些模型推导和参数估计的重要工具。理解这个算法的实现步骤及其中的优劣势，将有助于深入研究和应用这个算法。


本文标签： 状态 采样 接受 概率 能量

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