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2024年2月28日发(作者：java安装开发工具还是源代码)
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Ｖｏ１．２２（２００２） Ｎｏ．１ 数学杂志 Ｊ．ｏｆ Ｍａｔｈ．（ＰＲＣ） 种新的正则化方法的 正则参数的最优后验选取 一李功胜 （西安交通大学理学院，西安，７１￣０４９） 王家军 （河南新乡师范高等专科学校数学系，新乡，４５３０００） 摘要关键词应用紧算子的奇异系统和广义Ａｒｃａｎｇｅｌｉ方法后验选取正则参数一证明了文［１］中所 第一类算于方程；正则参数的后验选取；正则解的收敛性和渐近阶 中冒法分类号： Ｏ１７５ ３ 建立的求解第一类算子方程的正则化方法是收敛的，且正则解具有最优的渐近阶 ＭＲ（２０００）主题分类号： ６５Ｊ２０￣４５Ｂ０５ 文献标识码 Ａ 文章编号：０２５５－７７９７（２００２）０１—０１０３—０４ ｌ 引言 考虑第一类算子方程 Ｋｘ—Ｙ （１） 的求解问题、其中Ｋ是实的Ｈｉｌｂｅｒｔ空间ｘ—ｙ内的紧线性算子．我们知道，这是一类病态 问题 “］．文［１］中采用与已有文献不同的方法，借助紧算子的奇异系统和正则化子，建立了 一种更为广泛的正则化方法．即对于扰动方程． Ｋｘ一 （２） 其中｛ ｝为右端测量数据，满足条件 Ｉ 一 ≤ ， ＞０ Ｋ’ （３） （４） 引入辅助参数 ＞０．定义方程（２）的正则解为 ＝Ｒ： ＝（ａＩ ４－（Ｋ。Ｋ） ） 其中 ＞０为正则参数，硝；ｙ—ｘ是正则化算子族，Ｋ’为Ｋ的共轭算子 应用Ｋ的奇异系统 Ｌ一， ， ） ∈ ，式（４）可以改写 ｚ 一∑［啦（口， ）／Ｍ］（ｙ ， ）ｚ ＝ｔ （ ） ・收稿日期：１９９９—０ ４—１２． 基金项目：河南省自然科学基金资助项目（９７４０５２９００）
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１０４ 数 学 杂 志 Ｖ０ｌ ２７ 其中啦（口， ）＝ （ ＋ ）＿。 ，０＜口．０＜ ≤ｌＫ 是关于算子 的正则化子 ． 容易看到．当ｄ一１时．（４）式即为Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则解．或者说．由式（４）定义的算子族确定 了一种包含通常Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化的正则化策略．文［１］通过先验选取正则参数．得到了正 则解的可能的摄优渐近收敛收．本文将应用广义的Ａｒｃａｎｇｅｌｉ方法 ｊ 后验确定正则参数． 证明由式（４），（５）确定的正则解的确具有最优的断近阶，下面给出一一些记号、假定和一个重 要的引理． Ｖ ＞Ｏ．定义 ［ ： ＝ （（ Ｋ） ）一｛ ∈ｘ：忙ｌ ＜。。 其中 ｌ 一（∑ 扣｝（ ，ｚ ）｝ ）”。．对某一正常数Ｅ，令方程（１）的解之容许集合为 Ｓ ｄ一｛ｚ∈Ｘ ：忙ｌ ≤Ｅ， ＞０ 另外，文中假定 Ｋ ≠０，Ｋ ０ ｔ６） 引理１ 设Ｋ是 到ｙ中的紧线性算子， ∈ｙ． ∈Ｒ（ ）且满足条件（３）．则当 ∈ Ｓ 时，成立 ｌｌ ～一 ｌ≤（２ ） ０＋（Ｅ／ ）。 （７） 注１该引理给出了近似解与真解之间一个较精确的误差上界估计 ２正则参数的后验选取与正则解的收敛性 为书写方便，以下记 ：。 ．首先给出 对参数 的依赖关系． 引理２设 ∈ｙ，Ｋ ≠０；ｚ“ 由式（５）给出．则 连续依于 和 ，且ｌｉａｒｓ～一ｏ． 证 由算子（ ＋（Ｋ’Ｋ） ） 的可逆性知 “ 连续依赖于 ．固为 一一一。 一蓦 ｔ ， 经简单计算，可知存在常数ｆ—ｃ（口， ，ｄ）一ｔ１／￣ｒ）ｍａｘ｛ 口 一． 。 ｝，使得 （日一 ；斋 ）” （ — ）。 、 ≤小刊 因而有ｌｌ 一 ｌｌ≤ｃｌｌＫ’ ｌ｝。一卢１．这就证得函数。斗 “ ，。＞０的连续性．另一方面，由于 一∑ （口＋ ； ） （Ｋ． ， ） ，易知成立 ｌ “ ｌ≤ ＩＫ 斗０（ 斗。。）． 为了得到扰动方程（２）的最佳近似解，定义误差函数 ｎ）一｛Ｉｇ Ｋ：ｒ 一Ｋ 日＞０ 【８） 对于正常数 ， ，令 （口）一 （９） 下述定理给出了函数 ｎ）的某些性质和正则参数的确定方法． 定理１设条件（６）满足，则对于日＞０，有 （１）ｌｉａｒ ｎ）一０； （２） （ ）关于 ＞Ｏ严格单调递增且连续； （３）Ｖ ＞０，式（９）有唯一解０＝ （ ）； （４）ｌ】ｍｎ（０）一０． 证（１）由于 （口）＝ｌＩｇ Ｋ（ｏＪ＋（Ｋ Ｋ） ） …Ｋ 一Ｋ‘ ｌ ＝∑ ｌ一吼（。， ）］。ｌ（Ｋ ，， ）ｌ 其中ｑ （口， ）一， （口＋ ） 是Ｋ的正则化子．注意到ｌｉｒａ口一 ｔｎ， ）］＝０， 由级数∑ ｌ（Ｋ ， ）ｌ 的收敛性，应用极限概念易知结论成立．
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李功胜等 一种新的正则化方弦的正则参数的晶优后验选取 １０ （２）根据引理２，ｆ（。）连续依于ａ且Ｖ ｎ＞卢＞０，由 （ ） （ ）＝ ∑ ｛［１一 （ ，，ｕｊ）］。 ［１一目 （卢， ）］：ｊ （ Ｙ ， ，）Ｉ ＞０．即得 （３）由已证的（１），（２）可知，函数ｇ（ ）一 ）＞ 卢）． ）是连续，严格递增的：又ｇ（ ）一０（ｎ—Ｏ）， ｇ（ ）一。。（ 一。。）．根据连续函数的介值定理，对于Ｏ＜ ＜。＝，存在唯一的ｎ— ｔ０），使得 ［ （ ）］ ｎ（０））一 ．故结论成立． （４）首先假定存在序列（ ）．ｄ 一０（＂一。。）．但“一。（ ）一。。．根据引理２．有ｌｉｎｗ（ａ ）＝ … ｌｉｍ ｎ）一『Ｉｇ 『ｉ＞０．从而由式（９）得到矛盾０一ｌｉｍ ＝ｌｉｍＧ ％）一。。．故知（“）有界； 其次，若存在（ ），满足占 一Ｏ …），但是 一 ＞０（ｎ￣ｃｏ）．则在等式：ｎ （％）＝群 两边令 一。。得％ （ ）一０即 （ ）一０．但由于 于（０．。。）严格递增，连续且 （０＋）一０；故 此时只有ｎ。一０．所 Ｖ ＞０时，总有ｎ— ｔｄ）一ｏ． 引理３设 — （０）为式（９）之唯一解，则 （１）当０＜ｐ≤２ａｓ时，有ｌｉｍ拍 “ 一０； … （２）当Ｏ＜ｐ≤ 时，有ｌｉｍｂｏ 一０． ０ 证仅证（１），（２）可类似可证．有０＜（占 ） ＿。 ．故有０＜ ｎ 一（ （ｎ） ） 。 一０（ —Ｏ）．即知结论成立． 下述定理说明了由式（４）一（ｊ）定义的近似解是收敛的正则解 定理２设ｎ—ｎ（０）由式（９）唯一确定．如果Ｏ＜ｐ≤２ ，则在引理１的条件下，有： ｌｉｍ￣－ ・ 一 ． ０ 证由引理１之式（７），引理３之（１）以及定理１之（４），即得所证． ３正则解的最优渐近阶估计 记 显然， （ ）＝ ＿ｌＥ 证Ｅ“ 一 ［Ｋ’Ｋ（ａｌ＋Ｋ ） ） Ｊ］ ’Ｙ Ｅ 一ｄ ［ Ｋ（ａｌ＋Ｋ ） ）ｒｌ／ａ ｚ］Ｋ’Ｙ 下述定理说明了当ｄ—Ｏ时， ）与Ⅱ是同阶无穷小． ）一０（ｏ０， 一０． 定理３设ｎ—ｎ（ ）是式（９）的唯一解，Ｏ＜ ≤ｓ且ｚ∈Ｓ一则有 由三角不等式，有『ＩＥ“。『『≤ｔＩＥ 一Ｅ 『｛＋『『Ｆｌ『．因为 ０Ｆ 一 — 『｝［ Ｋ（Ⅱ ＋（ 。 ） ）＿。 一 ］ 。（ 一 ）『『，应用条件（３）及下述估计 ：『 Ｋ（ａｌ＋（ 。 ） ） 『Ｉ≤ｌ，ｄ＞０，ｎ＞０ 可得＿ｌＥ 一 ＿ｌ≤１２＂＇２Ｉ ＬＫ 注意到引理３之（２）即有 ＩＥ 一Ｅ ｌｌ—Ｏ（ｄ一０）．这样，为证结论 成立，即证『『Ｅ 『『＝ ａ）／ａ＝Ｏ（１）．ｄ—Ｏ，只须证＿ｌＥ ｌ１—０（１）， —０． 对于ｚ∈Ｓ 存在 。∈ ，使得上一（ ’Ｋ） 。．注意到条件（６），可知Ｋ Ｋｚ。≠０． 考虑到ｙ＝ 上一Ｋ Ｌ ） 丁。，经计算可知 。 一∑ （ ， ）『（ 。 上。，Ｊ２ ）ｌ 『『 ＋ｄ Ｋ 其中 （ｎ， ）一 ＿。 （Ⅱ＋ 扣） 一１］ ＋ ．应用Ｔａｙｌｏｒ公式，得到 一１］＝一ｄ （／ｉ ＋Ｏａ）“一 （ ＋ ） ，０≤ ≤ｌ ｄ ｒ 。 ＋ ） 从而ｌｉｍｑ （ ， ）一一ｄ＿。＋ｄ 一０．故此，类似于定理ｌ之（１）的证明，可得 ｌｉａ『ｒｌ ＋ 。 一０．即有ｌｉｍ１ＩＥｆｌｌ＝ｌｉ ｒｎ『ＪＥ 『： 『Ｉｇ ｚ Ｉ１＞０，即得所证． 下面给出本文的主要结果
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１０６ 数 学 杂 志 Ｖｏｌ ２２ 定理４设＿ｒ∈ｓ 参数ａ—ａ（ｄ）由式（９）唯一确定且条件（６）成立．则在引理１的条件 下．当Ｏ＜ｄ＜１／２时，取户＞１，５一户＋户／（２ａ）一１；当 ≥１／ｚ时，取ｐ＞２ａ，ｓ＝ｐ＋ｐ／Ｃ２ａ）一１． 稳们有 证一 ｝Ｉ≤ｏ（ 。 。”卅”），占－＋０，Ｖ ａ＞ｏ． 当 ≥１／２时，由ｐ＞２ａ． —Ｐ＋Ｐ／（２ ）一１＞ｐ，知定理３成立．因而，联台式（９）可得 ｌ＿ｍ 口一 一ｌｉｍｐ（ａ）／Ｇ＝Ｏ（１）．即有：ｎ＝０（ “州 ）＝０（占 ≤２ａｓ，知引理３之（１）成立；从而根据引理ｌ之式（７），即得 ”），占－＋ｏ．此时，注意到户＜ ＩＩｚ“ 一 Ｉ≤０（口）＝０（ 州 ）， －＋０，ｄ＞０． 当０＜ ＜１／２时，由ｐ＞ｌ， 一户／（２ ）＋户一ｌ＞ｐ／（ ）知ｐ＜Ｚａｓ＜ｓ，故同上可证结论成立， 注２由Ｋｉｔｓｃｈ［ ：可知，对于ｚ∈Ｓ 求辑方程（１）的最坏情形误差为 Ｆ（３，Ｅ， 优渐近阶估计． Ｉｏ）≤Ｅ ｄ。 因而，定／１４说明由式（９）唯一后验确定的参数 —ｎ（ｄ）导致了Ｋｉｒｓｃｈ意义上的正则解的最 参考文献： Ｅ１Ｚ李功胜．裒忠信．求解病态问题的一种新的优化正则化方法口］．郑州大学学报，１９９９，３１（４）：２１～２３ ｒ ２］Ｋｉｒｓｃｈ Ａ．Ａｎ Ｉｎ”ｏｄｕｃｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ Ｉｎｖｅｒｓｅ Ｐｒｏｂｌｅｍｓ ＥＭ］．Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ： Ｓｐｒｉｎｇｅｒ，１９９６ ｒ３］Ｍ０ｒＯＺＯｖ Ｖ Ａ Ｍｅｔｈｏｄｓ ｆｏｒ Ｓｏｌｖｉｎｇ Ｉｎｃｏｒｒｅｃｔｌｙ Ｐｏｓｅｄ Ｐｒｏｂｌｅｍｓ［Ｍ］．Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ・１９８４ ［４］Ｅｎｇｌ Ｈ Ｗ．Ｄｉｓｃｒｅｐａｎｃｙ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ｆｏｒ Ｔｉｋｈｏｎｏｖ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｉ Ｌｌ—ｐｏｓｅｄ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｌｅａｄｉｎｇ ｔＯ ｏｐｔｉｍａｌ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｒａｔｅｓ［Ｊ］Ｊ Ｏｐｔｉｍ Ｔｈｅｏｒｙ Ａｐｐｌ，１９８７，５２：２０９￣２１５ ［５］Ｈ。ｕ Ｚｏｎｇｙｉ．Ｌｉ Ｈｅｎｎｏｎｇ．Ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌ Ａｒｃａｎｇｅ［ｉ ｓ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｓｏｌｖｉｎｇ ｉｌｌ—ｐｏｓｅｄ ｐｒｏｂｌｅｍｓ［Ｊ］Ｎｏｎｌｉｎ一 …ＡｎａＩ—ＴＭＡ．１ ９９３．２１（３）：１９７～２０６ ＡＮ ｏＰＴＩＭＡＬ ＰｏＳＴＥＲＩｏＲＩ ＣＨｏＩＣＥ ｏＦ Ａ ＲＥＧＵＬＡＲ ＰＡＲＡＭＥＴＥＲ ＦｏＲ Ａ ＮＥＷ ＲＥＧＵＬＡＲＩＺＡＴＩｏＮ ＭＥＴＨｏＤ ＬＩ Ｇｏｎｇ—ｓｈｅｎｇ（牵功胜） （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，ｘ ｄ Ｊｉａｏｔｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｔ Ｘｉ ４ ，７ １００４９） Ｗａｎｇ Ｊｉａ—ｊｕｎ（王家军） （Ｄｅｐｔ．ｏｆ Ｍａｔｈ．，Ｘｉｎｚｉａｎｇ Ｔｅａｃｈｅｒｓ’Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｘｉｎｘｉａｎｇ ４５３０００） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｆｏｒ ａ ｎｅｗ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ ｉｎ Ｅ１］，ａｐｐｌｙｉｎｇ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｓｙｓｔｅｍ ｏｆ ｃｏｍｐａｃｔ ｏｐｅｒａｔｏｒ ａｎｄ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌ ＡｒｃａｎｇｅＩｉ ｓ ｍｅｔｈｏｄ，ｔｈｅ ｏｐｔｉｍａｌ ｒｅｇｕ［ａｒｉｚａｔｉｏｎ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｃａｎ ｂｅ ａ ｐｏｓｔｅｒｉｏｒｌ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ；ａｎｄ ｔｈｅ ｏｐｔｉｍｕｍ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｒｄｅｒ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｇｕｌａｒｉｚｅｄ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｋｉｎｄ ｏｆ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｒｅｇｕ［ａｒｉｚａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ；ｐｏｓｔｅｒｉｏｒｌ ｃｈｏｉｃｅ ｏｆ ｒｅｇｕ［ａｒｉｚａｔｉｏｎ ｐａｒａｍｅｔｅｒ；ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｏｒｄｅｒ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｇｕｌａｒｉｚｅｄ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ＭＲ ２０００ Ｓｕｂｊｅｃｔ ｃｌａｓｓｌｆｉｃａｔｉｏｎ：６５Ｊ２０；４５Ｂ０５
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