第8讲 正切函数图像及其性质(讲义)解析版

第8讲 正切函数图像及其性质

知识梳理

1、正切函数的图像：

可选择,的区间作出它的图像，通过单位圆和正切线，类比正、余弦函数图像的画22法作出正切函数的图像

y

y

x

根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函数ytanx,xR，

0

x

且xk2(kZ)的图像，称“正切曲线”.

由正弦函数图像可知：

（1）定义域：{x|xk（2）值域：R

观察：当x从小于k2(kZ)}，

2kz，xk时，tanx

2 当x从大于2kkz，x2k时，tanx.

（3）周期性：T

（4）奇偶性：tan(x)tanx，所以是奇函数

（5）单调性：在开区间(2k,2k),kZ内，函数单调递增.

（6）中心对称点：k,0,kZ

22、 余切函数的图象：

ycotxtanxtanx

22即将ytanx的图象，向左平移图象

个单位，再以x轴为对称轴上下翻折，即得ycotx的2

由余弦函数图像可知：

（1）定义域：{x|xk(kZ)}，

（2）值域：R

（3）周期性：T

（4）奇偶性：tan(x)tanx，所以是奇函数

（5）单调性：在开区间(k,k),kZ内，函数单调递增.

（6）中心对称点：k,0,kZ

2例题解析

一、正切函数的图像

例1．（2020·全国高一课时练习）设函数f(x)tanx.

33（1）求函数f(x)的最小正周期､对称中心；

（2）作出函数f(x)在一个周期内的简图.

【答案】（1）最小正周期3，对称中心是3k,0kZ；（2）答案见解析.

2【分析】（1）首先根据正切函数的周期公式即可得到函数fx的周期，再根据正切函数的对称中心即可得到函数fx的对称中心.

（2）根据函数的解析式得到fx的图象与x轴的交点坐标为,0，图象上的7,1,1、两点，再找到两侧相邻的渐近线方程，画出函数的图象即可.

44xT31【详解】（1）fxtan，，

333令xk3，kZ，解得xk，kZ，

33223k,0kZ.

2故对称中心为（2）令x0，解得x，

33

令x7，解得x，

4334令x，解得x，

3344x5，解得x，

2332令令x，解得x，

2332x的图象与x轴的一个交点坐标为,0，

33所以函数fxtan图象上的点有7,1、,1两点，

44在这个55,xx周期内左右两侧相邻的渐近线方程分别为和，

22225,内的简图(如图).

22从而得到函数fx在一个周期

【点睛】本题主要考查正切函数的周期和对称中心，同时考查了正切函数的图象，关键点是找出图象上的点用描点法画图象，属于中档题.

例2．（2020·全国高一课时练习）已知函数fxsinx．

cosx（1）求函数fx的定义域；

（2）用定义判断函数fx的奇偶性；

（3）在,上作出函数fx的图象．

【答案】（1）xxk,kZ；（2）奇函数,见解析；(3)见解析

2【分析】（1）根据cosx0,求解即可；

（2）由（1）可知fx的定义域关于原点对称,判定fx和fx的关系,从而判定奇偶性；

（3）将fx写为分段函数,画出图象即可

【详解】（1）由cosx0,得xk2（kZ）,

fxxxk,kZ所以函数的定义域是.

2（2）由（1）知函数fx的定义域关于原点对称,

因为fxsinxcosxsinxfx,所以fx是奇函数.

cosxtanx,x22（3）fx,

tanx,x或x22所以fx在,上的图象如图所示,



【点睛】本题考查函数定义域,考查奇偶性的判断,考查函数图象.

例3.作函数ytan|x|的图像.

【难度】★★

【答案】如图

【解析】

tanxytan|x|等价于

ytanxx0,xkx0,xk2(kZ)2，图像如图所示．

例4.求函数f(x)tanxtanx的定义域、周期、单调增区间，并画草图．

【难度】★★★

【答案】定义域：{x|xk,kZ} ，周期：T，单调增区间：[k,k)

22

8fx() = tan(x) + tan(x)642ππ2πππ2π3π

例5.根据正切函数图象，写出满足下列条件的x的范围.

（1）tanx0 （2）tanx0 （3）tanx0 （4）tanx【难度】★

【答案】

23

（1）k,k,kZ,

（2）xxk,kz

2（3）k,k,kZ,

（4）k,k，kZ

223例6.根据正切函数图像，写出使下列不等式成立的x值的集合：

（1）1tanx0 （2）tanx30

【难度】★★

【答案】（1）

[k,k),kZ

42（2）[k,k),kZ

32例7.比较下列两数的大小

（1）tan210613与tan （2）tan与tan() （3）cot81与cot191

7755【难度】★

【答案】（1）tan210613tan （2）tantan() （3）cot81cot191

7755例8.函数ysinx与ytanx的图像在[2,2]上的交点有 （ ）

A.3个

B.5个

C.7个

D.D.9个

【难度】★★

【答案】B

【巩固训练】

1．作出函数y|tanx|的图象.

【难度】★★

【答案】如图

2．利用图像，不等式3tan2x1的解集为____________.

【难度】★★

【答案】(

kk,],kZ

26283．比较tan1317与tan的大小

45【难度】★

【答案】13tan4tan4，17tan52tan5，042,ytanx在0,52

内单调递增.

tan4tan221317,tantan,即tantan

545454．若f(x)tan(x【难度】★★

4试比较f(1),f(0),f(1)，并按从小到大的顺序排列：_________.

)，【答案】f(1)f(1)f(0)

5.（2020·全国高一课时练习）设函数fxtanx.

23（1）求函数f(x)的最小正周期，对称中心；

（2）作出函数fx在一个周期内的简图．

2【答案】（1）T2，k,0kZ；（2）图象见解析

3x的周期，再23【分析】（1）首先根据正切函数的周期公式即可得到函数fxtan根据正切函数的对称中心即可得到函数fxtanx的对称中心.

23（2）首先根据函数的解析式得到数fxtanx的图象与x轴的一个交点坐标为2352,0xx，在这个交点左右两侧相邻的渐近线方程分别为和，再画出函数333的图象即可.

xT21【详解】（1）fxtan，.

232令xk2，kZ，解得xk，kZ，

232323故对称中心为k,0kZ.

（2）令27xx0，解得x，令，解得x，

2323436令5xx，解得x，令，解得x，

23423263令x，解得x，

23232x,0，

的图象与x轴的一个交点坐标为233所以函数fxtan在这个交点左右两侧相邻的渐近线方程分别为x故函数在一个周期内的函数图象为：

3和x5.

3

【点睛】本题主要考查正切函数的周期和对称中心，同时考查了正切函数的图象，属于中档题.

二、正切函数的定义域及值域

1、正切函数的定义域

例1.求下列函数的定义域

（1）ytan2x （2）y3tan2x （3）ycosxtanx （4）y【难度】★

1

1tanx【答案】（1）xx4k,kZ

2 （2）k,k,kZ

33 （3）xxR且xk,kZ

2 （4）xxk4,且xk,kZ

2

例2．（2019·宝山区·上海交大附中高一期末）下列四个函数中，与函数fxtanx完全相同的是（ ）

x2 A．yx1tan222tanC．yB．y1

cotx1cos2x

sin2xsin2x

1cos2xD．y【答案】C

【分析】先判断函数的定义域是否相同，再通过化简判断对应关系是否相同，从而判断出与fx相同的函数.

【详解】fx的定义域为x|xk,kZ，

2xxxtan1k,kZ2tan2242，因为A.

y，所以，

xx2xk,kZk,kZ1tan22222定义域为{x|x2k2或x2k,kZ}，与fxtanx定义域不相同；

xk,kZcosx01B.

y，因为，所以，

2cotxsinx0xk,kZkxx,kZ，与fxtanx定义域不相同； 所以定义域为2C.

ysin2x，因为1cos2x0，所以定义域为x|xk,kZ，

21cos2xsin2x2sinxcosxtanx，所以与fxtanx相同；

1cos2x2cos2x又因为yD.

y1cos2x，因为sin2x0，所以2xk,kZ，定义域为sin2xkx|x,kZ，

2与fxtanx定义域不相同.

故选：C.

【点睛】本题考查与三角函数有关的相同函数的判断，难度一般.判断相同函数时，首先判断定义域是否相同，定义域相同时再去判断对应关系是否相同（函数化简），结合定义域与对应关系即可判断出是否是相同函数.

例3．（2019·上海市大同中学高一期中）函数yarcsinxtan2x的定义域是________

【答案】[1,)(,)(,1]

44441x1,即得解. 【分析】解不等式2xk,kZ21x1, 【详解】由题得2xk,kZ2所以x∈[1,)(,)(,1].

4444故函数的定义域为[1,)(,)(,1]

4444故答案为[1,)(,)(,1]

4444【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，考查反三角函数和正切函数的定义域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.

例4．（2017·上海杨浦区·复旦附中高一期中）已知函数fxlgtanx19x2，则fx的定义域是____.

3,,

4242【答案】tanx10【分析】由意义得出，解出该不等式组即可得出函数yfx的定义域.

29x0tanx10【详解】函数fxlgtanx19x，，

29x02kxkkZ3,,，

，x4242423x3

因此，函数yfx的定义域为3,,.

2424故答案为：3,,.

4242【点睛】本题考查函数定义域的求解， 同时也涉及了正切不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.

例5.求函数ylg(tanx3)【难度】★★

【答案】(k2cosx3的定义域．

,k),kZ

32

tanx3【解析】2cosx30 由此不等式组作图：

xk,kZ2∴(k,k),kZ

32【巩固训练】

1．函数ytanx的定义域为__________

4【难度】★

【答案】xxk,kZ

42．与函数ytan(2x4)的图象不相交的一条直线是

（ ）

A.x2

B.x2

C.x4

D.x8

【难度】★

【答案】D

3．求下列函数的定义域

(1)ysinx1 ；(2)ytan(x)logsinx(2cosx1) ．

tanx4【难度】★★★

【答案】见解析

解：等价转化为求一个不等式组的解

sinx0(1)tanx0x(2k,2k),xk,(kZ)

2xk,(kZ)2x(2k,2k)332cosx10x(2k,2k)(2k,2k) (2)sinx022xk,(kZ)xk42

4x(2k,2k)(2k,2k),(kZ)．

443注：转化过程中要注意必须是等价转换，才能保证结果既不扩大也不缩小．在求条件组的解时，常会求角集得交集，可以画数轴，用单位圆或函数的图像，应熟练掌握这种技能．



2、正切函数的值域与最值

例1．（2016·上海浦东新区·华师大二附中高一期中）设函数fxsin2xsinx，关于fx的性质，下列说法正确的是_________.

1cos2xcosx①定义域是xxk,kZ；②值域是R；③最小正周期是；

2④fx是奇函数；⑤fx在定义域上单调递增.

【答案】③④

【分析】先求定义域，再化简函数解析式，根据正切函数性质求值域、求周期、判断单调性与奇偶性.

【详解】fxsin2xsinx1cos2xcosx0

1cos2xcosx1，

22cos2xcosx0cosx0且cosx定义域是xxk2,xk,kZ；

3fxsin2xsinxsinx(2cosx1)tanx

1cos2xcosxcosx(2cosx1)所以f(x)3；fx最小正周期是；fx是奇函数；

fx在定义域上不具有单调性

故答案为：③④

【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及函数综合性质，考查综合分析求解能力，属中档题.

例2．（2020·上海高一课时练习）求下列函数的值域：

（1）y1tanx,x,0；

1tanx22ytanx3tanx1,x,． （2）3413,3

4【答案】（1）(1,1)；（2）【分析】（1）由定义域可得tanx,0，令ttanx则t,0，所以y1t21，再根据幂函数的性质计算可得；

1tt1（2）利用换元法将函数转化为二次函数，根据二次函数的性质计算可得；

【详解】解：（1）因为y1tanx,x,0，所以tanx,0

1tanx2令ttanx则t,0

所以y1t21

1tt1121,0，0,2，

t1t1因为t,0，所以t1,1，121,1，即y1,1

t12（2）因为ytanx3tanx1,x,

34所以tanx3,1

令mtanx，m3,1

313所以yfmm23m1m

24所以fm在233,1上单调递增，在3,上单调递减，

22133f，f13，f3233

4213fm所以,3

4即函数的值域为13,3

4【点睛】本题考查正切函数的性质的应用，换元法求函数的值域，属于中档题.

例3．（2020·上海高一课时练习）求下列函数的值域：

（1）ytanx,x,；

626（2）y2tanx1,x,；

1tanx46,．

33（3）ysec2tan1,21533【答案】（1）[3,3]；（2）,（3）[1,523]

；22【分析】（1）首先令tx值域.

（2）首先令ttanx，得到y6，得到ytant，再根据ytant的单调性即可得到函数的2t132，再根据函数的单调性即可得到值域.

1t1t

（3）首先将函数化简为ytan2tan2，令ttan，得到yt2t2，再利用二次函数的性质即可求出函数的值域.

22【详解】（1）令tx6，因为x,，所以t,，

3326又ytant在t,上为增函数，所以所求函数值域为[3,3]．

333x,t1,（2）令ttanx，因为．

，所以3462t12(t1)333y2,t1,．

1t1t1t333在t1,为增函数，

31t因为y1t为减函数，所以y即：y233t1,在上为增函数，

31t所以ymin353331ymax22，2.

322131533所以函数的值域为,．

221sin2cos2（3）y2tan1=2tan1tan22tan2．

22coscosttan,,，所以t[3,3]． 令33yt22t2(t1)21,t[3,3]．

当t1时，ymin1，当t3时，ymax523.

所以函数的值域为[1,523]．

【点睛】本题主要考查正切函数的值域问题，利用换元法求值域为解决本题的关键，属于中档题.

例4.函数y2tanx,x0,的值域为

124【难度】★

【答案】423,23

例5.若x1,，求函数y2tanx1的最值及相应的x值；.

234cosx【难度】★★

【答案】x4时，ymin1；

x24时，ymax5

例6.已知ytanxatanx，当x[0,【难度】★

1],a[0,]时，函数ymax2，求实数a的值.

34【答案】a32

3例7.求函数y【难度】★★

【答案】(0,5]

5的值域.

2tan2x4tanx3【巩固训练】

1．求函数ysinxtanx,x[,]的值域

44

【难度】★★

【答案】[221,1]

22

2．求函数y2的最大值，并求当函数取得最大值时，自变量x的集合.

21(tanx1)【难度】★★

【答案】ymax2，此时xxxk,kZ

43．已知ytanx2tanx3，求它的最小值

2【难度】★★

【答案】当tanx1时，ymin2

4．函数ytanx4tanx1的值域为____________

【难度】★

【答案】5,

【解析】令ttanx则转化为t的二次函数求最值。

2三、正切函数的性质

1、正余切函数的周期性

例1．（2016·上海浦东新区·高一期末）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间,上为减函数的是（ ）

2

A．ycosx

2B．y2sinx

1C．y3cosx D．ycotx

【答案】B

【分析】分别求出四个选项中函数的周期，排除选项后，再通过函数的单调减区间找出正确选项即可.

【详解】由题意观察选项，C的周期不是，所以C不正确；

对于A，ycosx不正确；

21cos2xπ，函数的周期为，但在区间,π上为增函数，故A22对于B，y2sinx，函数的周期为，且在区间π,π上为减函数，故B正确；

2对于D，ycotx，函数的周期为，但在区间π,π上为增函数，故D不正确；

2故选：B

【点睛】本题主要考查三角函数的性质，需熟记正弦、余弦、正切、余切的性质，属于基础题.

例2．（2015·上海）下列函数中，以为周期的偶函数是（ ）

A．ysin2x B．ycos

x2C．ysinx

2D．ycos2x

【答案】D

试题分析：由正余弦函数周期求解公式可知ysin2x的周期为，ycosx的周期为2x4，ysin的周期为4，ycos2x的周期为，其中ycos2x是偶函数

2考点：三角函数周期性与奇偶性

例3．（2018·上海市青浦高级中学）函数y3tan(3x______________.

6)的最小正周期为【答案】

3【分析】利用函数y＝Atan（ωx+φ）的周期为，得出结论．

【详解】函数y＝3tan（3x）的最小正周期是，

63故答案为：．

3【点睛】本题主要考查函数y＝Atan（ωx+φ）的周期性，利用了函数y＝Atan（ωx+φ）的周期为．

例4．（2019·上海市向明中学高一期中）函数ycot2x的最小正周期为______.

【答案】

2.

【分析】ycotx的周期T【详解】T2.故答案为

2【点睛】本题考查三角函数的周期，属于基础题.

例5．（2020·上海高一课时练习）求下列函数的最小正周期：

ytan2x（1）；

3（2）ytanxcotx．

【答案】（1）；（2）

2【分析】（1）直接利用周期公式计算得到答案.

（2）化简得到y2，得到周期.

sin2x【详解】（1）ytan2x，故T.

23ksinxcosxsin2xcos2x2（2）ytanxcotx，x，kZ，

2cosxsinxsinxcosxsin2x故T2.

2【点睛】本题考查了三角函数的周期，意在考查学生的计算能力和应用能力.

例6.求下列函数的周期:

（1）ytan(3x3)

（2）y2tanx

（3）ycotxtanx

21tanxx2

（5）ysinx1tanxtanx

（4）y22x1tan22tan【难度】★

【答案】（1）（2）（3）（4）（5）

322【巩固训练】

1．函数y3tan(2x)的周期为_____________.

4【难度】★

【答案】T2

【解析】f(x)3tan(2x)3tan(2x)

44

3tan[2(x)]f(x)

T

2242

2．函数ytan(ax【难度】★

6)(a0)的最小正周期为_____________,

【答案】T|a|

1tan2x3．函数y＝的周期为

1tan2x【难度】★★

【答案】T

2、正切函数的奇偶性与对称性

例1判断下列函数的奇偶性

(1)fx2cosxtanx

(2)fxx2tanxcot2x

(3)fxtan2xtanx

4fxxtan2xx

5fx1tanx41sinxcosx

1sinxcosx【难度】★

【答案】（1）偶函数 （2）既不是奇函数又不是偶函数；

（3）既不是奇函数又不是偶函数 （4）偶函数；

（5）定义域是xxk2且xk所以此函数是非奇非,kZ不关于原点对称，4偶函数。

例2.求函数f(x)【难度】★★

【解析】T1的最小正周期，并判断函数的奇偶性.

tanxcotx2，奇函数.

例3．（2020·上海市南洋模范中学高一月考）函数ytan2x的最小正周期为4____________，对称中心为____________.

【答案】k2

48,0，kZ.

【分析】由题意利用正切函数的周期性以及图象的对称性，得出结论.

【详解】函数ytan2x4的最小正周期T2，

令2xk4k2，求得x48，

可得函数的图象的对称中心为k48,0，kZ，

故答案为：k2；48,0，kZ.

【点睛】本题考查正切型函数的性质，属于基础题.

例4.．（2015·上海）下列结论中：

1）函数ysinkxkZ为奇函数

2）函数ytan2x6的图象关于点12,0对称

3）函数ycos2x3的图象的一条对称轴为x

234）若，则cosx21

5其中正确的结论序号为____________________．

【答案】1,3,4

ysinkxsin2x试题分析：1），因此函数是奇函数；2）,0代入函数122ytan2x不成立，因此该点不是对称中心点；3）中当x时函数取得最小63值，因此对称轴为x；4）中23tanx2sin2x4cos2x1sin2xcos2x1cos2x

5考点：三角函数对称性奇偶性等性质

例5.求函数y3tan(2x【难度】★

【答案】(3)的对称中心的坐标．

k,0),kZ

46k,0),kZ．

2【解析】ytanx是奇函数，它的对称中心有无穷多个，即(由2x3kk,kZ得x,kZ

246k,0),kZ

46∴对称中心坐标为(例6.若ytan(2x)图象的一个对称中心为(【难度】★

【答案】3,0)，若22，求的值.

,

63

【巩固训练】

1．判断下列函数的奇偶性（1）f(x)tanx【难度】★

【答案】（1）奇函数 （2）偶函数

2．判断下列函数的奇偶性

（1）ytan(3x【难度】★

【答案】（1）非奇非偶函数 （2）非奇非偶函数

3．函数ytan2x的图像关于点 成中心对称.

【难度】★

1；（2）f(x)2cosxtanx；.

tanx)（2）y|tan(x)|

34【答案】k,0，kZ.

44．下列坐标所表式的点中，不是函数ytan(x26)的图象的对称中心的是 （ ）

425A.(,0)

B.(,0)

C.(,0)

D.(,0)

3333【难度】★

【答案】D

3、正切函数的单调性

例1．（2020·上海徐汇区·位育中学高一月考）下列函数中既是奇函数又在(0,)上单调递增的是（ ）

A．ysinx B．ycosx C．ytanx D．ysinx

2

【答案】D

【分析】根据三角函数的单调性和奇偶性逐一判断选项即可.

【详解】A.ysinx是奇函数，2k,2k,kZ上单调递增，A选项错误.

22B.ycosx是偶函数，B选项错误.

ytanxxxk,kZC.是奇函数，且定义域为，C选项错误.

2D.ysin故选：D

【点睛】本题考查三角函数的定义域、单调性和奇偶性，属于基础题.

例2．（2019·上海市宜川中学高一期中）函数ytan2x的单调递增区间是________.

x是奇函数，单调递增区间为4k,4k,kZ，D选项正确.

2【答案】（kk，），k∈Z．

2424【分析】根据正切函数y＝tanx的单调增区间，令kπ求出不等式组的解集即可．

【详解】函数ytan2x

2＜2x＜kπ，k∈Z；

2令kπ2＜2x＜kπ，k∈Z；

2解得kk＜x＜，k∈Z；

2424所以函数ytan2x的单调递增区间是：

（kk，），k∈Z．

2424

故答案为：（kk，），k∈Z．

2424【点评】本题考查了正切函数的单调性以及整体代换的应用问题，是基础题．

例3．（2019·上海市向明中学高一期中）函数ytan2x______.

的单调递增区间为4【答案】kk3,8282,kZ

【分析】ytanx的增区间是k2,k,kZ，由此可列式求解.

2【详解】令2x4，

因为ytan的增区间是k2,k,kZ，

2所以2xk,k,kZ，

422所以xkk3,,kZ.

2828kk3,8282,kZ

故答案为【点睛】本题考查三角函数单调区间的求法，属于基础题.

例4.求下列函数的单调区间：

（1）y3tan(x【难度】★★

12x) （2）y3tan()

424

【答案】（1）（2k33，2k）kZ（2）(2k,2k),kZ

2222【解析】（1）令u1x，则y3tanu

24u1x是增函数，且ytanu的递增区间为u(k,k),kZ

2422所以由k211xk知：y3tan(x)是单调递增区间是：

24242（2k3，2k）kZ

22（2）因为原函数可以化为：y3tan()

24令ux，则ytanu单调递增区间为：u(k,k),kZ

2422k211xky3tan(x)24242单调递减区间为(2k2,2k3),kZ

2

例5.求下列函数的单调区间：

（1）ycot(42x) （2）y|tanx|

【难度】★★

【答案】（1）递增区间(3kk,),kZ （2）递减区间为[k,k),kZ

28282递增区间为(k2,k],kZ

,内是减函数，则

（ ）

22例6.已知函数ytanwx在

A.0w1

B.1w0

C.w1

D.w1

【难度】★★

【答案】B

例7.已知函数y3tan(【难度】★★

【答案】a2,b3

x

)b,x[0,]是增函数，值域为[23,0]，求a,b的值。a33例8.求函数ytanx的定义域、值域并指出它的周期性、奇偶性、单调性.

4【难度】★★

【解析】(1)定义域{x|xk4,kZ} (2)值域：[0,)； (3)周期；

(4) 在(k3,k)上是减函数，在(k,k)上是递增函数；

4444(5)是非奇非偶函数。

例9．（2018·上海静安区·高一期末）已知余切函数fxcotx.

（1）请写出余切函数的奇偶性，最小正周期，单调区间；（不必证明）

（2）求证：余切函数fxcotx在区间0,上单调递减.

【答案】（1）奇函数；周期为，单调递减速区间：k,k1kZ

【分析】（1）直接利用函数的性质写出结果．

（2）利用单调性的定义和三角函数关系式的变换求出结果．

【详解】（1）奇函数；周期为，单调递减区间：k,k1kZ



（2）任取x1，x20,，x1x2，有

cotx2cotx1cosx2cosx1sinx1x2

sinx2sinx1sinx1sinx2因为0x1x2，所以x1x20，

于是sinx1x20，sinx1x20，

从而cotx2cotx10，cotx2cotx1.

因此余切函数fxcotx在区间0,上单调递减.

【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．

例10.设足球场宽65米，球门宽7米，当足球运动员沿边路带球突破，距底线多远处射球门，对球门所张的角最大.（保留两位小数）

【难度】★★

【解析】AB7 米，由球场宽65米，可知AC29米，BC36米，设足球运动员在边线上的点M处射球门，AMB,AMC，显然越大，越有利于射门，设点M与底线AC的距离为x米，则

tan2936

,tan()xxtan()tan1tan()tantantan()36297x77xx

3629x23629362912291xxxx当且仅当x3629，即x62932.31时，tan取最大值，因为当0时，x2

tan为增函数，所以当x32.319（米）时，取最大值

【巩固训练】

1．求函数ytan(2x【难度】★★

【答案】(3)的单调区间．

12k5k,),kZ

2122【解析】ytanx,x(2k,2k),kZ是增函数．

∴2k2x32k,kZ

即12k5kx,kZ

2122函数ytan(2x3)的单调递增区间是(12k5k,),kZ

21222．求下列函数的单调区间

（1）y2tan(【难度】★★

【答案】（1）3k2,3kkZ单调递增；

x) （2）ytan(3x);

366（2）kk2,kZ单调递减

39393．下列函数中，周期为，且在0,上是单调递增函数的是 （ ）

2

C.A.ytanx【难度】★

B.ysinxytanx

D.ycosx

【答案】C

3．下列命题中正确的是

（ ）

A.ytanx在第一象限单调递增

B.在函数ytanx中，x越大，y也越大

C.当x0时，总有tanx0

D.ytanx

的图象关于原点对称

【难度】★

【答案】D

4．下列命题中正确的是 （ ）

A.ycosx在第二象限是减函数

B.ytanx在定义域内是增函数

C.y|cos(2x)|的周期是

D.ysin|x|是周期为2的偶函数

23【难度】★

【答案】C

5．函数f(x)tanwx(w0)的图像相邻的两支截直线y4所的线段长度为4，则f的值为 （ ）

4A.

B.0

C.1

D.2

4【难度】★★

【答案】B

6．直线ya(a为常数)与正切曲线ytanx(为常数，且0)相交的两相邻点间的距离为（ ）

A.

B.2

C.

D.与a值有关

【难度】★★

【答案】C

7．已知函数ytan(2x)的图像过点,0，则可以是

（ ）

12A.6

B.6

C.12

D.

12【难度】★

【答案】A

8．在下列函数中，同时满足：①在0,②以2为周期；③是奇函数的是（ ）

上递增；2x

D..2A.ytanx

B.ycosx

C.ytanytanx

【难度】★

【答案】C

9．求函数ytan(3x【难度】★★

【解析】令t3x3)的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性。

3，则由tk2,得xk5(kZ)，

318即函数的定义域是xxR,且xk5(kZ)

318因为函数ytant的值域是R，所以ytan(3x3)的值域是R。

周期T3

ytan(3x3)既不是奇函数也不是偶函数。

由k2tk2,得kk5x(kZ)

318318kk5,)(kZ)上是增函数。

318318所以函数ytan(3x3)在(反思总结

本节课是在学生已经掌握了正弦函数、余弦函数正切函数的图像及性质的前提下，进一步分析和探究余切函数图像和性质及正切函数的图像和性质的应用。例题的设计上从最基本的利用单调性比较大小出发，到函数性质的简单应用，再到单调性和周期性的变式训练，由浅入深，层层递进，以积极发挥课堂教学的基础型和研究型功能，教师遵循“以学生为主体”的思想，鼓励学生善于观察和发现；鼓励学生积极思考和探究；鼓励学生大胆猜想，努力营造一个民主和谐、平等交流的课堂氛围，采取启发、对话式教学，调动学生学习的积极性，激发学生学习的热情，使学生较开阔的思维空间，让学生积极参与教学活动，提高学生的数学思维能力。