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2023年12月25日发(作者：fseek fp 10l 2)
指数函数和对数函数的知识点及典型例题
XXX: Concepts and typical examples
I。Properties of XXX
t of Integer Exponents: an = a × a × … × a (n times)。where a ≠ 0 and n is a positive integer。a-n = 1/(a^n)。where a ≠
0 and n is a positive integer.
ties of Integer Exponents: (1) am × an = am+n (m。n
are integers)。(2) (am)n = amn (m。n are integers)。(3) (ab)n =
an × bn (n is an integer)。Also。a/a = a^(m-n)。a^(1/n) × a^(1/n)
× … × a^(1/n) (n times) = a^(1).
t of nth Root of a: If a^n = b (n is a positive integer)。then the nth root of b is denoted by √n(b) = a (n is a positive
integer).
ties of nth Root of a: (√n(a))^n = a。If n is odd。then √n(a) = a。if n is even and a。 √n(a) = a^(1/n) and (-√n(a)) = -(a^(1/n))。if n is even and a < √n(a) is undefined.
: Calculate 7^(40) + 7^(-40).
n: 7^(40) + 7^(-40) = (5+2)^2 + (5-2)^2 = 25.
II。XXX
: a^(m/n) = (a^(1/n))^m (a。0.m。n are positive
integers and n。1)。XXX.
: Simplify 2^(5/4) × 3^(3/2) × 4^(2/3).
XXX: 2^(5/4) × 3^(3/2) × 4^(2/3) = 2 × 2^(1/4) × 3^(3/2) × (2
× 2^(1/3))^(1/3) = 2^(7/4) × 3^(3/2) × 2^(2/3) = 2^(11/12) ×
3^(3/2).
Note: The original article had XXX.
1.分数指数幂的运算性质
对于分数指数幂，整数指数幂的运算性质同样适用，即：
1) a^r*a^s = a^(r+s) (a>0.r。s∈Q)
2) (a^r)^s = a^(rs) (a>0.r。s∈Q)
3) (ab)^r = a^r*b^r (a>0.b>0.r∈Q)
需要说明的是，有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用。另外，正分数指数幂等于，负分数指数幂没有意义。
2.例题分析
例1】用分数指数幂的形式表示下列各式(a>0):
a^2*a。a^3*3a^2.a*a^(1/2)
解：a*a = a^(1+1) = a^2
a^3*3a^2 = 3a^5
a*a^(1/2) = a^(3/2)
例2】计算下列各式的值(式中字母都是正数)：
1) (2a^3b^2/-6a^2b^3)/-3a^6b^6
2) m^4n^8/(mn)
解：
1) (2ab/-6ab)/-3ab = 1/3
2) m^2n^2
例3】已知x+x^(-1)=3，求下列各式的值：
1) x^2+x^(-2)
2) x+x^(-1)
解：
1) x^2+x^(-2) = (x+x^(-1))^2 - 2 = 3^2 - 2 = 7
2) x+x^(-1) = 3
x+x)[(x+x-1)-1]=5(3-1)=25。
x+x)=[(x+x-1)2-3]=3×(32-3)=18
x+x)=20。
又由x+x=3>0得x>0，∴x+x>0.
二、指数函数
1.指数函数定义：
一般地，函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，a叫底数，函数定义域是R.
2.指数函数y=ax在底数a>1及0 a>1 图 象 性质 1）定义域：R 2）值域：(0,+∞) 3）过定点(0,1)，即x=0时y=1 4）在R上是增函数 0 图 象 性质 1）定义域：R 2）值域：(0,+∞) 3）过定点(0,1)，即x=0时y=1 4）在R上是减函数 例1】求下列函数的定义域、值域： 1）y=8(1/2x-1) 2）y=1-(1/2)x 3）y=3x2a+1 4）y=ax-1/(x(a>0,a≠1)) 解：（1）2x-1≠0∴x≠1/2 令t=1/2x-1原函数的定义域是{xx∈R,x≠1/2}。 则t≠0,t∈R y=8t(t∈R,t≠0)得y>0,y≠1。 所以，原函数的值域是{yy>0,y≠1}. 2）1-(1/2)x≥0∴x≤2 原函数的定义域是[0,+∞)。 令t=1-(1/2)x(x≥0)则0≤t<1。 y=t在[0,1)是增函数∴0≤y<1。 所以，原函数的值域是[0,1). 3）原函数的定义域是R。 令t=-x则t≤0。 y=3t在(-∞,0]是增函数，∴-1≤y≤0。 所以，原函数的值域是(-1,0]. 4）原函数的定义域是R。 ax-1y+1 a>0,a≠1)得ax=-y+1/x。 a+1y-1 ax>0∴-1 y-1 所以，原函数的值域是(-1,1). 说明：求复合函数的值域通过换元可转换为求简单函数的值域. 例2】当a>1时，证明函数y=ax-1/x是奇函数. 证明：由ax-1≠0得，x≠1/a，故函数定义域{x|x≠1/a}关于原点对称。进一步化简可得f(-x)=-f(x)，因此函数y=x/(ax-1)是奇函数。 三、对数的性质 1.对数定义：一般地，如果a（a>0且a≠1）的b次幂等于N，即ab=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作loga N=b，a叫做对数的底数，N叫做真数。指数式ab=N，对数式loga N=b。 说明：1.在指数式中幂N>0，因此在对数式中，真数N>0.（负数与零没有对数） 2.对任意a>0且a≠1，都有a1=1，同样地，loga 1=0.3.如果把ab=N中的b写成loga N，则有a^(loga N)=N（对数恒等式）。 2.对数式与指数式的互换 例如：42=16，log4 16=2；102=100，log10 100=2；4=2，log4 2=1；10^-2=0.01，log10 0.01=-2. 2.介绍两种常见的对数： ①常用对数：以10作底log10 N简写成lgN； ②自然对数：以e作底为无理数，e=2.……，loge N简写成lnN。 例1】将下列指数式写成对数式： 1）5^2=25；（2）2^-6=1/64；（3）3^3=27；（4）(2/3)^6=5.37． 解：（1）log5 25=2；（2）log2 1/64=-6；（3）log3 27=3；（4）log2/3 5.37=6． 例2】（1）计算：log9 27，log354 625． 解：设x=log3 3，则9x=27，32x=33，∴x=2；令x=log54 625，则(5^4)^x=625,5^(4x)=3^4，∴x=5/4． 2）求x的值：①log3 x=-1/4；②log2(3x^2+2x-1)/4=1． 解：①x=3^-1/4=1/√3；②3x^2+2x-1=2^(4-1)=8，解得x=1/3或x=-1. 2x2-1≠1，因此x=-2. 3x2+2x-1>0： 解：求根：x1=(-2+√7)/3，x2=(-2-√7)/3. 因此当xx2时，不等式成立。 对数的运算性质： 1) loga(MN)=logaM+logaN； 2) loga(M/N)=logaM-logaN； 3) loga(Mn)=nlogaM(n∈R)。 例3： 1) lg14-2lg7+lg7-lg18=0； 2) lg243/lg9/lg1.2=2； 3) 3lg27+lg8-3lg10/lg(3)+lg2-3lg10/lg2=2. 换底公式：loga N=logm N/logm a (a>0,a≠1;m>0,m≠1)。 推论： 1) loga b·logb a=1； 2) logam bn=nlogam。 计算： 1）5 解：（1）原式=1-log0.2 3；（2）原式=log4 3+log9 2+log2 432． 1）=15； 2）=log2(3)+log2(3)+log2(2)-log2(2) =2log2(3)=log2(9)． 已知log18 9=a，18b=5，求log36 45（用a,b表示）． 解：由log18 9=a得log18 2=1-a，又18b=5，所以log18 5=b． 因此，log36 45=log18(45/9)=log18 5+log18 5a=b+5a． 设3x=4y=6z=t>1，求证：-z/x^2y=1． 证明：由3x=4y=6z=t>1得x=log3(t/3)，y=log4(t/4)，z=log6(t/6)． 所以，-z/x^2y=-log6(t/6)/(log3(t/3))^2log4(t/4)=-log6(t/6)/(log2(t/4))^2=-1． 四、对数函数 1.对数函数的定义：函数y=loga x(a>0且a≠1)叫做对数函数。 2.对数函数的性质： 1）定义域、值域：对数函数y=loga x(a>0且a≠1)的定义域为(0,+∞)，值域为(-∞,+∞)． 2）图象：由于对数函数是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只需由相应的指数函数图象作关于y=x的对称图形，即可获得。 同样，也分a>1与0 3）对数函数性质列表： a>1 图象 0 x=1 y=loga x x=1 1,0) 1,0) y=loga x 1）定义域：(0,+∞) 2）值域：R 3）过点(1,0)，即当x=1时，4）在(0,+∞)上是增函数 y=0 例1】求下列函数的定义域： 1）y=loga x2；（2）y=loga (4-x)；（3）y=loga (9-x2)． 分析：此题主要利用对数函数y=loga x的定义域(0,+∞)求解。 解：（1）由x2>0得x≠0，所以函数的定义域为(0,+∞)． 2）由4-x>0得x<4，所以函数的定义域为(0,4)． 3）由9-x2>0得x-3，所以函数的定义域为(-3,3)． 性质： 4）在(0.+∞)上是减函数，因此函数y=loga(x^2)的定义域是{x≠0}； 2）由4-x>0得x<4，因此函数y=loga(4-x)的定义域是{x<4}； 3）由9-x^2>0得-3 比较下列各组数中两个值的大小： 1）1.1>0.9，log1.1(0.9)log0.7(0.8)>log1.1(0.9)。 2）由log3(5)log6(3)>log7(3)。 求下列函数的值域： 1）令t=x+3，则y=log2(t)，因为t>0，所以y∈R，即函数值域为R。 2）令t=3-x^2，则-3 判断函数f(x)=log2(x^2+1-x)的奇偶性。 因为x^2+1>x，所以f(x)的定义域为(-∞。+∞)。 f(-x)=log2(x^2+1+x)=log2[(x+1)^2/(x^2+1-x)]=log2(x^2+1-x)-log2(x+1)^2，因此f(x)为奇函数。 求函数y=2log1/3(x^2-3x+2)的单调区间。 令u=x^2-3x+2=(x-1)(x-2)，则u在[2.+∞)上递增，在(-∞。1]上递减。 又因为x^2-3x+2>0，所以x>2或x<1，因此u在(2.+∞)上递增，在(-∞。1)上递减。 因为y=2log1/3(u)是减函数，所以函数y=2log1/3(x^2-3x+2)在(2.+∞)上递增，在(-∞。1)上递减。
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