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2023年12月24日发(作者：switch语句执行完某个case语句序列后结束执行)

§14. 导 数 知识要点

导数的概念 导数的几何意义、物理意义

常见函数的导数

导数的运算法则

函数的单调性

函数的极值

函数的最值

导

数

导数的运算

导数的应用

1. 导数（导函数的简称）的定义：设x0是函数yf(x)定义域的一点，如果自变量x在x0处有增量x，则函数值y也引起相应的增量yf(x0x)f(x0)；比值yf(x0x)f(x0)称为函数yf(x)在点x0到x0x之间的平均变化率；如果极限xxf(x0x)f(x0)y存在，则称函数yf(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做limx0xx0xlim记作f'(x0)或y'|xx0，即f'(x0)=limyf(x)在x0处的导数，f(x0x)f(x0)y.

limx0xx0x注：①x是增量，我们也称为“改变量”，因为x可正，可负，但不为零.

②以知函数yf(x)定义域为A，yf'(x)的定义域为B，则A与B关系为AB.

2. 函数yf(x)在点x0处连续与点x0处可导的关系：

⑴函数yf(x)在点x0处连续是yf(x)在点x0处可导的必要不充分条件.

可以证明，如果yf(x)在点x0处可导，那么yf(x)点x0处连续.

事实上，令xx0x，则xx0相当于x0.

于是limf(x)limf(x0x)lim[f(xx0)f(x0)f(x0)]

xx0x0x0f(x0x)f(x0)f(x0x)f(x0)xf(x0)]limlimlimf(x0)f'(x0)0f(x0)f(x0).x0x0x0x0xx⑵如果yf(x)点x0处连续，那么yf(x)在点x0处可导，是不成立的.

lim[例：f(x)|x|在点x00处连续，但在点x00处不可导，因为yyy不存在.

1；当x＜0时，1，故limx0xxxy|x|，当x＞0时，xx注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.

②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.

3. 导数的几何意义：

函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线yf(x)在点(x0,f(x))处的切线的斜率，也就是说，曲线yf(x)在点P(x0,f(x))处的切线的斜率是f'(x0)，切线方程为yy0f'(x)(xx0).

4. 求导数的四则运算法则：

(uv)'u'v'yf1(x)f2(x)...fn(x)y'f1'(x)f2'(x)...fn'(x)

(uv)'vu'v'u(cv)'c'vcv'cv'（c为常数）

vu'v'uu(v0)

2vv'注：①u,v必须是可导函数.

②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.

22例如：设f(x)2sinx，g(x)cosx，则f(x),g(x)在x0处均不可导，但它们和xxf(x)g(x)

sinxcosx在x0处均可导.

5. 复合函数的求导法则：fx'((x))f'(u)'(x)或y'xy'uu'x

复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.

6. 函数单调性：

⑴函数单调性的判定方法：设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f'(x)＞0，则yf(x)为增函数；如果f'(x)＜0，则yf(x)为减函数.

⑵常数的判定方法；

如果函数yf(x)在区间I内恒有f'(x)=0，则yf(x)为常数.

注：①f(x)0是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如y2x3在(,)上并不是都有f(x)0，有一个点例外即x=0时f（x） = 0，同样f(x)0是f（x）递减的充分非必要条件.

②一般地，如果f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.

7. 极值的判别方法：（极值是在x0附近所有的点，都有f(x)＜f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的极大值，极小值同理）

当函数f(x)在点x0处连续时，

①如果在x0附近的左侧f'(x)＞0，右侧f'(x)＜0，那么f(x0)是极大值；

②如果在x0附近的左侧f'(x)＜0，右侧f'(x)＞0，那么f(x0)是极小值.

也就是说x0是极值点的充分条件是x0点两侧导数异号，而不是f'(x)=0. 此外，函数不①可导的点也可能是函数的极值点.

当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.

注①： 若点x0是可导函数f(x)的极值点，则f'(x)=0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点x0是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.

例如：函数yf(x)x3，x0使f'(x)=0，但x0不是极值点.

②例如：函数yf(x)|x|，在点x0处不可导，但点x0是函数的极小值点.

8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.

注：函数的极值点一定有意义.

9. 几种常见的函数导数：

'I.C'0（C为常数）

(sinx)cosx

(arcsinx)②'11x2

(xn)'nxn1（nR）

(cosx)'sinx

(arccosx)'11x2

II.

(lnx)'1'11

(logax)'logae

(arctanx)2

xxx11x12(ex)'ex

(ax)'axlna

(arccotx)'III. 求导的常见方法：

①常用结论：(ln|x|)'1.

x

②形如y(xa1)(xa2)...(xan)或y求代数和形式.

(xa1)(xa2)...(xan)两边同取自然对数，可转化(xb1)(xb2)...(xbn)③无理函数或形如yxx这类函数，如yxx取自然对数之后可变形为lnyxlnx，对两边y'1求导可得lnxxy'ylnxyy'xxlnxxx.

yx导数知识点总结复习

经典例题剖析

考点一：求导公式。

例1.

f(x)是f(x)13x2x1的导函数，则f(1)的值是 。

3

考点二：导数的几何意义。

例2. 已知函数yf(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y1x2，则2f(1)f(1) 。

例3.曲线yx2x4x2在点(1，3)处的切线方程是 。

点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。

考点三：导数的几何意义的应用。

例4.已知曲线C：yx3x2x，直线l:ykx，且直线l与曲线C相切于点3232x0,y0x00，求直线l的方程及切点坐标。

点评：本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不是必要条件。

考点四：函数的单调性。

例5.已知fxax3xx1在R上是减函数，求a的取值范

32点评：本题考查导数在函数单调性中的应用。对于高次函数单调性问题，要有求导意识。

考点五：函数的极值。

例6. 设函数f(x)2x3ax3bx8c在x1及x2时取得极值。

（1）求a、b的值；

323]，都有f(x)c成立，求c的取值范围。 （2）若对于任意的x[0，点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数fx的极值步骤：

①求导数f'x；

②求f'x0的根；③将f'x0的根在数轴上标出，得出单调区间，由f'x在各区间上取值的正负可确定并求出函数fx的极值。

2

考点六：函数的最值。

例7. 已知a为实数，fxx4xa。求导数f'x；（2）若f'10，求fx2在区间2,2上的最大值和最小值。

点评：本题考查可导函数最值的求法。求可导函数fx在区间a,b上的最值，要先求出函数fx在区间a,b上的极值，然后与fa和fb进行比较，从而得出函数的最大最小值。

考点七：导数的综合性问题。

例8. 设函数f(x)axbxc(a0)为奇函数，其图象在点(1,f(1))处的切线与直线3x6y70垂直，导函数f'(x)的最小值为12。（1）求a，b，c的值；

（2）求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在[1,3]上的最大值和最小值

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力。


本文标签： 函数 导数 可导 极值 单调

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