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2023年12月24日发(作者：80元一克的绿松石)

对勾函数的性质及应用

一、对勾函数yaxb(a0,b0)x的图像与性质：

1.

定义域：(,0)(0,)

值域：(,2ab][2ab,)

奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即f(x)f(x)0

bxba2.

3.

4.

图像在一、三象限, 当x0时，yax2ab（当且仅当x即f(x)在x=ba取等号），时，取最小值2ab

ba 由奇函数性质知：当x<0时，f(x)在x=5.

时，取最大值2ab

ba单调性：增区间为（

b，（,b,）aa）,减区间是（0，），（ba,0）

二、对勾函数的变形形式

类型一：函数yaxb(a0,b0)的图像与性x质

1.定义域：(,0)(0,)

2.值域：(,2ab][2ab,)

3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状.

4.图像在二、四象限, 当x<0时，f(x)在x=f(x)在x=b时，取最大值2ab

aba时，取最小值2ab；当x0时，5.单调性：增区间为（0，ba），（ba,0）减区间是（b，（,b,）aa）,

类型二：斜勾函数yaxb(ab0)

x①a0,b0作图如下

1.定义域：(,0)(0,) 2.值域：R

3.奇偶性：奇函数4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值.

5.单调性：增区间为（-，0），（0，+）.

②a0,b0作图如下：

1.定义域：(,0)(0,) 2.值域：R

3.奇偶性：奇函数 4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值.

5.单调性：减区间为（-，0），（0，+）.

类型三：函数ax2bxcf(x)(ac0)。

x此类函数可变形为f(x)axcb，可由对勾函数yaxc上下平移得到

xx练习1.函数x2x1的对称中心为

f(x)x类型四：函数f(x)xa(a0,k0)

xk此类函数可变形为f(x)(xk上下平移得到

练习 1.作函数f(x)x 2.求函数f(x)xaa则f(x)可由对勾函数yx左右平移，)k，xxk1与f(x)x3x的草图

x2x21在(2,)上的最低点坐标

2x4 3. 求函数f(x)xx的单调区间及对称中心

x1

类型五：函数f(x)f(x)ax(a0,b0)x2b。此类函数定义域为R，且可变形为aa

2bxbxxxa.若a0，图像如下：

12b12b[a(,) 2. 值域：1．定义域：,a]

3. 奇偶性：奇函数. 4. 图像在一、三象限.当x0时，f(x)在xb时，取最大值a2b，当x<0时，f(x)在x=b时，取最小值a

2b

5. 单调性：减区间为（

，（,b）；增区间是[b,b]

b,）练习1.函数f(x)xx21的在区间2,上的值域为

b. 若a0，作出函数图像：

1．定义域：(,) 2. 值域：1,a12b] 3. 奇偶性：奇函数.

[a2b4. 图像在一、三象限.

当x0时，f(x)在xb时，取最小值a2b，

a

当x<0时，f(x)在x=b时，取最大值5. 单调性：增区间为（

2b，（,b）；减区间是[b,b]

b,）练习1.如a1类型六2xx1,2，则的取值范围是

x24：函数ax2bxcf(x)(a0)xm.可变形为a(xm)2s(xm)ttf(x)a(xm)s(at0)，

xmxm 则f(x)可由对勾函数yax左右平移，上下平移得到

1x2x1由对勾函数yx向 （填“左”、“右”）平f(x)x1xtx练习1.函数

移 单位，向 （填“上”、“下”）平移 单位.

2.已知x1 ，求函数x27x10的最小值；

f(x)x1x29x93.已知x1 ，求函数f(x)的最大值

x1类型七：函数f(x)xm(a0)

2axbxc练习1.求函数f(x)最大值为

2.求函数x1在区间(1,)上的最大值；若区间改为[4,)则f(x)的2xx2x22x3在区间[0,)上的最大值

f(x)2xx2xbxa类型八：函数f(x)f(x)xabaxaxa.此类函数可变形为标准形式：(ba0)

baxa练习1.求函数f(x)2．求函数f(x)3.求函数f(x)x5x1x3x1的最小值；

的值域；

x2的值域

x3x2bxa2类型九：函数f(x)(x2a)2baxa2(a0)。此类函数可变形为标准形式：f(x)x2abaxa2(bao)

练习 1.求函数f(x)x25x42的最小值；

2. 求函数x21的值域

f(x)2x17

三、关于求函数yxx0最小值的十种解法

1. 均值不等式

x0，yx1x11当x1当且仅当x，即x1的时候不等式取到“=”。2，xx的时候，ymin2

2.

法

yx1x2yx10

x若y的最小值存在，则y240必需存在，即y2或y2（舍）

找到使y2时，存在相应的x即可。通过观察当x1的时候，ymin2

3. 单调性定义

设0x1x2

fxfxx121x2x1x21

111xxx1x2112xxx1x2x1x212当对于任意的x1,x2，只有x1,x20,1时，fx1fx20，此时fx单调递增；

当对于任意的x1,x2，只有x1,x21,时，fx1fx20，此时fx单调递减。

当x1取到最小值，yminf12

4. 复合函数的单调性

11yxx2

xx2

tx1x在0,单调递增，yt22在,0单调递减；在0,单调递增

又x0,1t,0

x1,t0,

原函数在0,1上单调递减；在1,上单调递增

即当x1取到最小值，yminf12

5. 求一阶导

yx11y'12 当x0,1时，y'0，函数单调递减；当x1,时，xxy'0，函数单调递增。

当x1取到最小值，yminf12

6. 三角代换

，则1令xtan，cot

0,2xyx12tancotxsin2

0,220,

当4，即22时，sin2max1，ymin2，显然此时x1

7. 向量

111x11ab，

ax,,b1,1

xxx2acos

yxababcos根据图象，a为起点在原点，终点在y1x0图象上的一个向量，acos的x

几何意义为a在b上的投影，

显然当ab时，acos取得最小值。此时，x1，ymin222

8．图象相减

111x，即y表示函数yx和y两者之间的距离

xxxyx求ymin，即为求两曲线竖直距离的最小值

平移直线yx，显然当yx与y相切时，两曲线竖直距离最小。

11y关于直线yx轴对称，若yx与y在x1处有一交点，根据对称xx1性，在0x1处也必有一个交点，即此时yx与y相交。显然不是距离x1x最小的情况。

所以，切点一定为1,1点。 此时，x1，ymin2

9.平面几何

依据直角三角形射影定理，设AEx,EBABADx1x1

x1，则x显然，x为菱形的一条边，只用当ADAB，即AD为直线AB和CD之间的距离时，x1取得最小值。即四边形ABCD为x矩形。

此时，x，即x1，ymin2

1x

10. 对应法则

设fxmint

fx2x21

2xx0,，x20,，对应法则也相同

fx2mint

2fxx1fxxx212

x2左边的最小值右边的最小值

t2t2t1（舍）或t2 当xPx2，即x1时取到最小值，且ymin2

对勾函数练习：

1．若 x>1.求yx1tt2的最小值. 11.若2a2在t0,2上恒成立，x1t9t则a的取值范围是

x22x2116x2. 若 x>1. 求y的最小值 12. 求函数fxx2x1的x1xx1最值。

x2x12x1)时，求f(x)x的值域

3. 若 x>1. 求y的最小值 13.

当x(0，x1414. 若 x>0. 求y3x的最小值 14.

求f(x)x2xx22xa(x[1,))

5.已知函数yx2x1的值域

2xx3

（1） 求a时，求f(x)的最小值

(2)若对任意x∈[1,+∞],f(x)>0恒成立,求a范围

126.: 方程sin2x－asinx+4=0__________

7. 函数yx在[ 0 ,2 ]内有解 ，则a的取值范围是1010的最小值为____________；函数2x7yx2x7的xx最大值为_________。

8.函数y23x的最大值为 。

x22x29、若4x1，则y的最值是 。

2x24x10.函数y94sin2x的最小值是 。

2sinx


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