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第13讲 数值计算—微积分 张建瓴 §13.1 数值积分 在工程教学和应用中，除了进行数据逼近外，还要求逼近曲线下面的面积，这就是积分问题。 一、数值积分方法 典型的数值积分方法有：用常数(0阶多项式)近似函数矩形法；用直线(一阶多项式)近似函数曲线的梯形法；用抛物线(二阶多项式)近似函数曲线的Simpson法，以及用一般多项式近似函数的Romberg法等。 y=sin(x^3)*sqrt(x) x求y, 表13-1列出了函数数值积分的一些命令。 表13-1 函数数值积分的命令 常见的一元数值积分命令 MATLAT提供了在有限区间内，数值计算某函数下的面积(积分)的三种函数：trapz，quad和quad8。 二、一(元)维数值积分 1、trapz函数 函数trapz通过计算若干梯形面积的和来近似某函数的积分，这些梯形如图13-1所示，是通过使用函数humps的数据点形成。 图13-2 较好的梯形逼近曲线下的面积示意图 从图中可明显地看出，单个梯形的面积在某一段欠估计了函数真正的面积，而在其它段又过估计了函数的真正面积。如同线性插值，当梯形数目越多时，函数的近似面积越准确。例如，在图13-1中，如果我们大致增加一倍数目的梯形，我们得到如下(如图13-2)所示的更好的近似结果。 trapz 函数 对如上所示的两个曲线，用trapz在区间-1>x=-1: 0.17: 2; % rough approximation >>y=humps(x); >>area=trapz(x, y) % call trapz just like the plot command area = 25.9174 trapz 函数的应用 >>x=-1: 0.07: 2; % better approximation >>y=humps(x); >>area=trapz(x , y) area = 26.6243 上述两个结果不同是基于对图形的观察，粗略近似可能低估了实际面积。除非特别精确，没有准则说明哪种近似效果更好。 trapz 函数的应用 MATLAB提供的求积函数命令quad和quad8在使用时，其递推的层次限制在十层以内，达到这个限制则会提示警告信息，并且这两个函数命令都不能解决可积的奇异值问题，例如，求解 。 quad函数和quad8函数 函数quad和quad8完整的调用格式为： (1)q=quad('fun',a,b,tol,trace,pl,p2,…) 采用Simpson法计算积分； (2)q=quad8('fun',a,b,tol,trace,p1,p2,…) 采用八样条Newton-Cotes公式求数值积分。 其中：fun是被积函数，可以是表达式字符串、内联函数、M函数文件名，被积函数的自变量，一般采用字母x； a、b分别是积分的上、下限，都是确定的值； quad和quad8函数调用格式 tol是一个二元向量，它的第一个元素用来控制相对误差，第二个元素用来控制绝对误差，缺省时积分的相对精度为0.001； trace如果取非零值时，将以动态图形的形式展现积分的整个过程，若取零值，则不画图，其缺省值是0； pl和p2是向被积函数传递的参数。 在上面的调用格式中，前三个输入参数是调用时必须的，而后面的输入参数可缺省。 quad和quad8的参数 MATLAB的函数quad和quad8是基于数学上的正方形概念来计算函数的面积。为获得更准确的结果，两个函数在所需的区间都要计算被积函数。 与简单的梯形比较，这两个函数进行更高阶的近似，而且quad8比quad更精确。这两个函数的调用方法与fzero相同，即 >>area=quad(‘humps‘,-1,2) % find area between -1 and 2 area = 26.3450 quad和quad8函数的调用 >>area=quad8(‘humps‘,-1,2) area = 26.3450 注意： 这两个函数返回完全相同的估计面积，而且这个估计值在两个trapz面积的估计值之间。 quad和quad8函数的调用 求函数的数值积分 (1)建立函数funq function y=funq(x) y=x.^3+x.^2+2; (2)对被积函数funq进行数值积分 q=quad('funq',-1,1,le-4) ％使用quad命令求数值积分 q= 4.6667 [例13-1] example13_1.m q8=quad8('funq

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