双容水箱液位控制系统的建模及其PID控制算法研究

双容水箱液位控制系统的建模及其PID控制算法研究

摘要

随着工业生产的发展，双容水箱液位控制系统在国内各行各业的应用已经十

分广泛。本文通过理论推导，利用THKGK-1 型实验装置采集双容水箱液位的阶

跃响应曲线，依据实验法建立双容水箱的数学模型，在MATLAB/Simulink下对

线性PID控制器和双曲余弦增益的非线性PID控制器进行系统稳态与动态性能

的研究。结果表明：对于双容水箱这种大惯性、时延性、非线性被控对象，双曲

余弦增益的非线性PID控制比线性PID控制更加快速、准确、稳定，能够迅速

克服偏差，消除扰动。

关键词：双容水箱；实验法；双曲余弦增益；非线性PID

Model of the double coupled water tank liquid level control

system and PID control algorithm research

Abstract

Along with the development of industrial production, the double coupled water

tank liquid level control system has been widely applied in all walks of life at

this paper, through theoretical derivation, the author uses THKGK-1 type

experimental apparatus to gather the step response curve of double coupled water tank

liquid level and establishes the mathematical model of double coupled water tank

based on the experimental method, and studies systematic steady state and dynamic

performance of the linear PID controller and the hyperbolic cosine gain nonlinear PID

controller under the MATLAB/ results show that the hyperbolic cosine

gain nonlinear PID control is more rapid, accurate, stable, and can more quickly

overcome the deviation and eliminate disturbance than the linear PID control for the

double coupled water tank which is the big inertia, time-delay, nonlinear controlled

object.

Key words: double coupled water tank; experimental method; hyperbolic cosine gain;

nonlinear PID

0.前言

通常在生产过程当中的液位系统往往是随着时间变化的，由于系统的复杂，

常有滞后特性，并且干扰成分繁多，波动性也很大。生产实际中的被控对象通常

是由多个容积和阻力构成的多容对象，尤其是两个串连的单容对象构成的双容对

象就比较典型，比如在饮料、化工等很多行业的生产中都有近似的数学模型。因

而，双容水箱模型就是工业上非常具有代表性的大惯性、时延性、非线性的数学

模型，具有很重要的的工业控制研究意义

[1]

。

1.双容水箱液位控制的建模

本次建模主要采用理论推导和利用实验中的阶跃响应法

[2]

。所谓阶跃响

应法是指首先通过某些操作使被控对象在开环条件下运行在所要求的稳定

条件下，稳定运行一段时间后，迅速的更改相关的输入信号，并利用数据

采集系统同时记录此过程输入和输出的变化曲线，经过一段时间后，直到

过程进入新的稳态过程，试验结束得到的记录曲线就是该过程的阶跃响应

曲线，然后依据被控对象的结构形式，对实验数据进行相关处理，确定数

学模型中的参数。

双容水箱是液位系统中最常见的控制模型，若其流入量与流出量相同，

则水箱的液位不变。液位平衡后，当流入侧阀门开大时，流入量大于流出

量导致液位上升，同时由于出水压力的增大使流出量增大，最终会建立起

流入量与流出量之间的平衡关系，使得液位最后稳定在某一高度上；反之，

液位会下降，并最终稳定在另一高度上。由于水箱的流入量可以调节，流

出量随液位高度的变化而变化，所以只需建立流入量与液位高度之间的数

学关系就可以建立水箱的数学模型

[3] [4]

。

图1.1双容水箱结构图

双容水箱系统构成如上图所示，水先流入上水箱，接着经过出水阀

V

2

流

入下水箱，再经过出水阀

V

3

流出。用变频控制泵调节水流量

Q

1

，而由用户

需要进而改变水流量

Q

3

。根据上述分析可以写出两个水箱在的物料平衡方

程：

上水箱：

dH

1

1

(Q

1

Q

2

)

（1.1）

dtA

1

dH

2

1

(Q

2

Q

3

)

（1.2）

dtA

2

H

1

H

Q

3



2

，

A

1

，

A

2

为水箱的截面积，

R

1

、

R

2

分别为阀V2、

R

1

R

2

下水箱：

其中：

Q

2



V3的液阻，将（1.1）及（1.2）改写得：

dH

1

H

1

Q

1

R

1

（1.3）

dt

dH

2

T

2

H

2

Q

2

R

2

（1.4）

dt

T

1

其中

T

1

=A

1

R

1

，

T

2

=A

2

R

2

，

将（1.3）（1.4）合并整理后得:

d

2

H

2

dH

2

TT(TT)H

2

Q

1

R

2

（1.5）

1212

dtdt

式（1.5）显然是一个二阶微分方程，经拉普拉斯变换成传递函数为：

H(s)R

22

G（s）=

2

Q

1

(s

)

TT

1

2

s



(T

1



T

2

)s



1

（1.6）

当过程具有延时性时，则传递函数变为：

R

2

K





s



s

ee

TT

1

2



(T

1



T

2

)

s



1

(

T

1

s



1)(

T

2

（1.7）

s



1)

2

s

G（s）=

式中

K

=

R

2

为总放大系数，式中的

K

、

T

1

和

T

2

可由实验求得的阶跃响应曲线

求出, 具体的做法是在图1.2所示的阶跃响应曲线上选取：

(1)、

h

稳态值的渐近线

h

；

（

（

2

）

2

t）

(2)、

t

1

0.4 h

2







时曲线上的点A和对应的时间

t

1

；

(3)、

t

2

0.8 h

2







时曲线上的点B和对应的时间

t

2

。

然后用以下方法求取参数的数值：

K

h

2

()

输入稳态值



（1.8）

R

0

阶跃输入量

T

1

T

2



t

1

t

2

2.16

（1.9）

T

1

T

2

t

1

(1.740.55)

2

(T

1

T

2

)t

2

（1.10）

注：对于式（1.7）所示的二阶过程，其取值范围0.32<

t

1

/t

2

<0.46。当

t

1

/t

2

=0.32

时 ，为一阶环节；当

t

1

/t

2

=0.46时，系统过程的传递函数为G(s)=K/(TS+1)

2

。过

曲线的拐点做一条切线，它与横轴交于A点，OA即为滞后时间常数



。

图1.2 双容水箱阶跃响应曲线实验数据处理图像

图 1.3 双容水箱实际的阶跃响应曲线

图1.3中横坐标为时间，单位为min，纵坐标为液位的高度，单位cm。根据

图1.3的数据，代入公式(1.8)-(1.10)，求得双容水箱系统的传递函数为：

G



s





0.44

e

78s

(170s1)(303s1)

2.线性PID控制器

2.1算法描述

常规线性的PID控制器

[4][5]

设计简单，方案容易实现，如图2.1所示。

图2.1线性PID控制器模型

上图表示在MATLAB软件中Simulink模块下的线性PID控制器模型，其中

控制器参数分别为比例放大系数

K

P

、积分放大系数

K

i

、微分放大系数

K

d

，其中

T

i

K

P

/K

i

为积分时间，

T

d

K

d

/K

p

为微分时间，则调节器传递函数如下：

通常，

K

P

、

K

i

和

K

d

在一定范围调整，因此可以作为调节器参数。

对于这种简单的线性PID控制器，上述参数一旦整定，整个控制过程便保

持不变，很难满足跟踪设定值以及适应过程特性的变化，此外，线性PID控制

器中的线性组合常常会引起快速性与超调量之间的矛盾

[6]

。

本文中线性PID的的参数整定采用临界比例带法

[4][7]

。所谓的临界比例带法

是在纯比例作用下将系统投入闭环运行，不断改变比例带的δ的数值使调节系统

产生等幅振荡，并记录对应的比例带和振荡周期，分别称为临界比例带



c

和临界

振荡周期

T

c

，然后根据临界比例带



c

和临界振荡周期得

T

c

到系统的衰减率和其他

整定参数，见表2.1。

调节规律

PID

调节器传递函数

1

(1



1



T

d

s)

T

i

s



1.67



c

T

i

0.5

T

c

T

d

0.25T

i



表2.1按临界比例带法确定的调节器参数公式

2.2系统仿真

经过上述步骤，当

K

P

=16.34时，得到等幅振荡曲线。此时，相邻的波峰间

的时间间隔T=596s。则



c

=1/16.34,

T

c

=596s。代入公式得

K

P

=9.7844，

K

i

=0.0328，

K

d

=728.9378。将参数代入Simulink模块下进行系统仿真，得到控制系统单位阶

跃响应曲线，如图2.2所示。

图2.2 线性PID控制系统的单位阶跃响应曲线

3.双曲余弦增益的非线性PID控制器

3.1算法描述

本文利用误差

e

构成的非线性函数与线性PID控制器级联起来构成的双曲

余弦增益非线性PID控制算法

[8][9]

，这种由误差

e

构成的非线性函数为：

K(e)



ch(ke)



其中：

exp(ke)



exp(



ke)

2

e(t)



e

max



e(t)

e







e

max

sign(t)

e(t)



e

max

这种非线性PID控制算法构成的非线性PID控制器的传递函数为:

e

ke



e



ke

G

(

s

)

K

(

e

)

K

(

s

)(

K

p



K

i

/

s



K

d

s

)

2

式中：

k

为非线性增益参数，

K

P

为比例放大系数，

K

i

为积分放大系数，

K

d

为微分放大系数，根据该控制方程搭建的控制器模型如图3.1所示。

图3.1双曲余弦增益的非线性PID控制器模型

控制器参数包括偏差最大值

e

max

、非线性增益参数

k

、比例放大系数

K

p

、积

分放大系数

K

i

和微分放大系数

K

d

。其中

u

是一个绝对值求模模块，对偏差

e

求

模，若大于最大偏差

e

max

，通过Switch多路开关转换输入

e

max

sign(t)

；若小于等

于最大偏差

e

max

，则通过Switch开关转换直接输入下一个端口值：偏差

e

。与常

规的PID控制器级联，得到双曲余弦增益的非线性PID控制器。

若不对非线性函数施加限制，则在误差较大的区域出现非线性补偿引起系统

的比例增益过大而使系统振荡，所以需要限制

K(e)

的大小。

上述非线性PID控制器还没有具体有效的整定方法，因此本文采用Simulink

下的NCD模块进行参数优化

[5]

。具体过程如下：

（1）根据控制器结构，选取需要优化的控制器参数；

（2）确定整个系统的阶跃性能约束条件比如调节时间、上升时间、最大超调

量、稳态误差等，从而确定对参数的优化的前提条件；

（3）设定变量的允许误差范围和约束误差范围，使得系统的最优化变量和约

束变量之间的差值到达最小时停止优化；

（4）重复（2）（3）步骤，直到得到得到最优化的控制参数；

3.2系统仿真

本次系统仿真选定

e

max

=5，然后双击Simulink仿真模型NCD模块，定义阶

跃响应性能参数，初始值为0，最终值为1；上升时间500s时，上升到稳定状态

的90%；稳定时间为1000s；超调量百分数为0。然后运行程序，待仿真系统的

性能约束条件满足，优化停止。此时，得到其控制参数为

k

=0.18211，

K

p

=3.94658，

K

i

=0.00578，

K

d

=419.9188，将参数代入Simulink模块下进行系统仿真，得到控

制系统的单位阶跃响应曲线，如图3.2所示。

图3.2双曲余弦增益的非线性 PID控制系统的单位阶跃响应曲线

4.线性PID与双曲余弦增益的非线性控制器控制结果的比较

将系统的线性PID和非线性PID控制系统的单位阶跃响应曲线输出到同一个

示波器得到两者的单位阶跃响应曲线，如图4.1所示.

图4.1线性PID和双曲余弦增益的非线性PID控制系统的单位阶跃响应曲线

由图4.1可知，线性PID控制的仿真曲线，前后出现三次振荡，波动大，最

大超调量为0.54，达到稳定状态的时间为1965s；而双曲余弦增益的非线性PID

控制的仿真曲线，没有超调，波动小，调节的精确度高，达到稳定状态的时间为

1150s，比线性PID控制器的调节时间少了815s，说明双曲余弦增益的非线性PID

控制器调节更加快速。因此，双曲余弦增益的非线性PID控制器很好的解决了

线性PID控制器中快速性与超调量之间的矛盾。

5.结束语

虽然线性PID控制器具有设计容易、构造简单、控制理想等优点，在双容

水箱液位控制中获到了广泛的应用。尽管这种方式一般能够满足系统的稳定性，

但是不能满足其它的控制指标比如精确度、快速性、超调量等，因此本文引用了

一种双曲余弦增益的非线性PID控制器对双容水箱进行控制。由于双曲余弦增

益的非线性PID控制器中的非线性增益参数

k

可以随控制误差的变化而变化，所

以它的控制能力比线性PID控制器要好。通过MATLAB/Simulink对系统仿真的

结果也说明：对于双容水箱这种大惯性、时延性、非线性被控对象，双曲余弦增

益的非线性PID控制器的调节时间短，波动小，超调量小，稳定性好，调节的

精确度高，控制效果比线性PID控制器理想。

参考文献

[

1]王志新，谷云东. 双容水箱上的几种液位控制实验及被控对象的数学模型[J].

北京师范大学学报，2006，42(4)：126-130.

[2]THKGK-1型过程控制实验指导书：1-56 浙江天煌科技实业有限公司

[3]刘振宇. 基于液位控制的不同算法研究[J]. 农业与技术，2007，27（4）：164-168.

[4]丁轲轲. 热工过程自动调节[M]. 北京:中国电力出版社,2010.

[5]刘金琨．先进PID控制MATLAB仿真[M]．北京：电子工业出版社，2004．

[6]韩京清. 非线性PID控制器[J]. 自动化学报，1994，20（4）：487-490.

[7]韩帮华. PID控制器参数整定方法及其应用研究[D]. 青岛：青岛科技大学，2009.

[8]苏玉鑫，段宝岩. 一种新型非线性PID控制器[J]. 控制与决策，2003，18（1）：126-128.

[9]顾红艳，薛亚丽，杨献勇. 几类非线性PI在热工控制系统中的比较研究[J].

贵州工业大学学报（自然科学版），2005，34（6）：39-42.