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2024年4月27日发(作者：大学计算机嵌入式培养的优缺点)
A*算法求解八数码问题
1、 八数码问题描述
所谓八数码问题起源于一种游戏:在一个3×3的方阵中放入八个数码1、2、3、4、5、6、
7、8，其中一个单元格是空的。将任意摆放的数码盘（城初始状态）逐步摆成某个指定
的数码盘的排列（目标状态），如图1所示
图1 八数码问题的某个初始状态和目标状态
对于以上问题，我们可以把数码的移动等效城空格的移动。如图1的初始排列，数码7
右移等于空格左移。那么对于每一个排列，可能的一次数码移动最多只有4中，即空格左移、
空格右移、空格上移、空格下移。最少有两种（当空格位于方阵的4个角时）。所以，问题
就转换成如何从初始状态开始，使空格经过最小的移动次数最后排列成目标状态。
2、 八数码问题的求解算法
2.1 盲目搜索
宽度优先搜索算法、深度优先搜索算法
2.2 启发式搜索
启发式搜索算法的基本思想是：定义一个评价函数f，对当前的搜索状态进行评估，
找出一个最有希望的节点来扩展。
先定义下面几个函数的含义：
f*(n)=g*(n)+h*(n) (1)
式中g*(n)表示从初始节点s到当前节点n的最短路径的耗散值；h*(n)表示从当前节
点n到目标节点g的最短路径的耗散值，f*(n)表示从初始节点s经过n到目标节点g的
最短路径的耗散值。
评价函数的形式可定义如(2)式所示：
f(n)=g(n)+h(n) (2)
其中n是被评价的当前节点。f(n)、g(n)和h(n)分别表示是对f*(n)、g*(n)和h*(n)3个
函数值的估计值。
利用评价函数f(n)=g(n)+h(n)来排列OPEN表节点顺序的图搜索算法称为算法A。在A
算法中，如果对所有的x，
h(x)<=h*(x) (3)
成立，则称好h(x)为h*(x)的下界，它表示某种偏于保守的估计。采用h*(x)的下界h(x)
为启发函数的A算法，称为A*算法。
针对八数码问题启发函数设计如下：
f(n)=d(n)+p(n) (4)
其中A*算法中的g(n)根据具体情况设计为d(n)，意为n节点的深度，而h(n)设计为
1
开始
把S放入OPEN表，记f=h
是
OPEN=NULL?
否
选取OPEN表上未设置过的具有最小f值的节点
BESTNODE,放入CLOSED表
否
是
BESTNODE是
目标节点
成功
失败
扩展BESTNODE,产生其后继结点SUCCESSOR
建立从SUCCESSOR返回BESTNODE的指针
计算g(SUC)=g(BES)+k(BES,SUC)
是
SUC∈OPEN
SUC∈CLOSED
否
SUC=OLD,把它添加到
BESTNDOE的后继结点表中
否
g(SUC) 是 重新确定OLD的父辈节点为 BESTNODE，并修正父辈节点的g值 和f值，记下g(OLD) 是 否 把SUCCESSOR放入OPEN 表，添进BESTNODE的后裔 表 2 计算f值 图2 A*算法流程图 p(n)，意为放错的数码与正确的位置距离之和。 由于实际情况中，一个将牌的移动都是单步进行的，没有交换拍等这样的操作。所 以要把所有的不在位的将牌，移动到各自的目标位置上，至少要移动从他们各自的位置 到目标位置的距离和这么多次，所以最有路径的耗散值不会比该值小，因此该启发函数 h(n)满足A*算法的条件。 3、 A*算法流程图,如图2 4、 A*算法总结 4.1，把起始状态添加到开启列表。 4.2，重复如下工作： a) 寻找开启列表中f值最低的节点，我们称它为BESTNOE b) 把它切换到关闭列表中。 c) 对相邻的4个节点中的每一个 *如果它不在开启列表，也不在关闭列表，把它添加到开启列表中。把BESTNODE 作为这一节点的父节点。记录这一节点的f和g值 *如果它已在开启或关闭列表中，用g值为参考检查新的路径是否更好。更低的 g值意味着更好的路径。如果这样，就把这一节点的父节点改为BESTNODE，并且重新 计算这一节点的f和g值，如果保持开启列表的f值排序，改变之后需要重新对开启列 表排序。 d) 停止 把目标节点添加到关闭列表，这时候路径被找到，或者没有找到路径，开启列 表已经空了，这时候路径不存在。 4.3，保存路径。从目标节点开始，沿着每一节点的父节点移动直到回到起始节点。这就 是求得的路径。 5、数据结构 采用结构体来保存八数码的状态、f和g的值以及该节点的父节点； struct Node{ int s[3][3];//保存八数码状态，0代表空格 int f,g;//启发函数中的f和g值 struct Node * next; struct Node *previous;//保存其父节点 }; 6、实验结果，如图3所示 3 图3 A*算法求解八数码问题实验结果 7、源代码 //----------------------------------------------------------------------------- //代码：利用A*算法求解八数码问题。 //八数码问题的启发函数设计为：f(n)=d(n)+p(n),其中A*算法中的g(n)根据具体情况设计为 d(n)，意为n节点的深度，而h(n)设计为p(n)，意为放错的数码与正确的位置距离之和。 //后继结点的获取：数码的移动等效为空格的移动。首先判断空格上下左右的可移动性，其 次移动空格获取后继结点。 //----------------------------------------------------------------------------- #include #include #include //八数码状态对应的节点结构体 4 struct Node{ int s[3][3];//保存八数码状态，0代表空格 int f,g;//启发函数中的f和g值 struct Node * next; struct Node *previous;//保存其父节点 }; int open_N=0; //记录Open列表中节点数目 //八数码初始状态 int inital_s[3][3]={ 2,8,3, 1,6,4, 7,0,5 }; //八数码目标状态 int final_s[3][3]={ 1,2,3, 8,0,4, 7,6,5 }; //------------------------------------------------------------------------ //添加节点函数入口，方法：通过插入排序向指定表添加 //------------------------------------------------------------------------ void Add_Node( struct Node *head, struct Node *p) { struct Node *q; if(head->next)//考虑链表为空 { q = head->next; if(p->f < head->next->f){//考虑插入的节点值比链表的第一个节点值小 p->next = head->next; head->next = p; } else { while(q->next)//考虑插入节点x，形如a<= x <=b { if((q->f < p->f ||q->f == p->f) && (q->next->f > p->f || q->next->f == p->f)){ p->next = q->next; q->next = p; break; } 5 q = q->next; } if(q->next == NULL) //考虑插入的节点值比链表最后一个元素的值更大 q->next = p; } } else head->next = p; } //------------------------------------------------------------------------ //删除节点函数入口 //------------------------------------------------------------------------ void del_Node(struct Node * head, struct Node *p ) { struct Node *q; q = head; while(q->next) { if(q->next == p){ q->next = p->next; p->next = NULL; if(q->next == NULL) return; // free(p); } q = q->next; } } //------------------------------------------------------------------------ //判断两个数组是否相等函数入口 //------------------------------------------------------------------------ int equal(int s1[3][3], int s2[3][3]) { int i,j,flag=0; for(i=0; i< 3 ; i++) for(j=0; j< 3 ;j++) if(s1[i][j] != s2[i][j]){flag = 1; break;} if(!flag) return 1; else return 0; } //------------------------------------------------------------------------ //判断后继节点是否存在于Open或Closed表中函数入口 6 //------------------------------------------------------------------------ int exit_Node(struct Node * head,int s[3][3], struct Node *Old_Node) { struct Node *q=head->next; int flag = 0; while(q) if(equal(q->s,s)) { flag=1; Old_Node->next = q; return 1;} else q = q->next; if(!flag) return 0; } //------------------------------------------------------------------------ //计算p(n)的函数入口 //其中p(n)为放错位的数码与其正确的位置之间距离之和 //具体方法：放错位的数码与其正确的位置对应下标差的绝对值之和 //------------------------------------------------------------------------ int wrong_sum(int s[3][3]) { int i,j,fi,fj,sum=0; for(i=0 ; i<3; i++) for(j=0; j<3; j++) { for(fi=0; fi<3; fi++) for(fj=0; fj<3; fj++) if((final_s[fi][fj] == s[i][j])){ sum += fabs(i - fi) + fabs(j - fj); break; } } return sum; } //------------------------------------------------------------------------ //获取后继结点函数入口 //检查空格每种移动的合法性，如果合法则移动空格得到后继结点 //------------------------------------------------------------------------ int get_successor(struct Node * BESTNODE, int direction, struct Node *Successor)//扩展 BESTNODE，产生其后继结点SUCCESSOR { int i,j,i_0,j_0,temp; 7 for(i=0; i<3; i++) for(j=0; j<3; j++) Successor->s[i][j] = BESTNODE->s[i][j]; //获取空格所在位置 for(i=0; i<3; i++) for(j=0; j<3; j++) if(BESTNODE->s[i][j] == 0){i_0 = i; j_0 = j;break;} switch(direction) { case 0: if((i_0-1)>-1 ){ temp = Successor->s[i_0][j_0]; Successor->s[i_0][j_0] = Successor->s[i_0-1][j_0]; Successor->s[i_0-1][j_0] = temp; return 1; } else return 0; case 1: if((j_0-1)>-1){ temp = Successor->s[i_0][j_0]; Successor->s[i_0][j_0] = Successor->s[i_0][j_0-1]; Successor->s[i_0][j_0-1] = temp; return 1; } else return 0; case 2: if( (j_0+1)<3){ temp = Successor->s[i_0][j_0]; Successor->s[i_0][j_0] = Successor->s[i_0][j_0+1]; Successor->s[i_0][j_0+1] = temp; return 1; } else return 0; case 3: if((i_0+1)<3 ){ temp = Successor->s[i_0][j_0]; Successor->s[i_0][j_0] = Successor->s[i_0+1][j_0]; Successor->s[i_0+1][j_0] = temp; return 1; } else return 0; } } 8 //------------------------------------------------------------------------ //从OPen表获取最佳节点函数入口 //------------------------------------------------------------------------ struct Node * get_BESTNODE(struct Node *Open) { return Open->next; } //------------------------------------------------------------------------ //输出最佳路径函数入口 //------------------------------------------------------------------------ void print_Path(struct Node * head) { struct Node *q, *q1,*p; int i,j,count=1; p = (struct Node *)malloc(sizeof(struct Node)); //通过头插法变更节点输出次序 p->previous = NULL; q = head; while(q) { q1 = q->previous; q->previous = p->previous; p->previous = q; q = q1; } q = p->previous; while(q) { if(q == p->previous)printf("八数码的初始状态：n"); else if(q->previous == NULL)printf("八数码的目标状态：n"); else printf("八数码的中间态%dn",count++); for(i=0; i<3; i++) for(j=0; j<3; j++) { printf("%4d",q->s[i][j]); if(j == 2)printf("n"); } printf("f=%d, g=%dnn",q->f,q->g); q = q->previous; 9 } } //------------------------------------------------------------------------ //A*子算法入口:处理后继结点 //------------------------------------------------------------------------ void sub_A_algorithm(struct Node * Open, struct Node * BESTNODE, struct Node * Closed,struct Node *Successor) { struct Node * Old_Node = (struct Node *)malloc(sizeof(struct Node)); Successor->previous = BESTNODE;//建立从successor返回BESTNODE的指针 Successor->g = BESTNODE->g + 1;//计算后继结点的g值 //检查后继结点是否已存在于Open和Closed表中，如果存在：该节点记为old_Node，比较 后继结点的g值和表中old_Node节点 //g值，前者小代表新的路径比老路径更好，将Old_Node的父节点改为BESTNODE，并修改 其f，g值，后者小则什么也不做。 //即不存在Open也不存在Closed表则将其加入OPen表，并计算其f值 if( exit_Node(Open, Successor->s, Old_Node) ){ if(Successor->g < Old_Node->g){ Old_Node->next->previous = BESTNODE;//将Old_Node的父节点改为BESTNODE Old_Node->next->g = Successor->g;//修改g值 Old_Node->next->f = Old_Node->g + wrong_sum(Old_Node->s);//修改f值 //排序~~~~~~~~~~~~~~~~~~ del_Node(Open, Old_Node); Add_Node(Open, Old_Node); } } else if( exit_Node(Closed, Successor->s, Old_Node)){ if(Successor->g < Old_Node->g){ Old_Node->next->previous = BESTNODE; Old_Node->next->g = Successor->g; Old_Node->next->f = Old_Node->g + wrong_sum(Old_Node->s); } //排序~~~~~~~~~~~~~~~~~~ del_Node(Closed, Old_Node); Add_Node(Closed, Old_Node); } else { Successor->f = Successor->g + wrong_sum(Successor->s); Add_Node(Open, Successor); open_N++; 10 } } //------------------------------------------------------------------------ //A*算法入口 //八数码问题的启发函数为：f(n)=d(n)+p(n) //其中A*算法中的g(n)根据具体情况设计为d(n)，意为n节点的深度，而h(n)设计为p(n)， //意为放错的数码与正确的位置距离之和 //------------------------------------------------------------------------ void A_algorithm(struct Node * Open, struct Node * Closed) //A*算法 { int i,j; struct Node * BESTNODE, *inital, * Successor; inital = (struct Node * )malloc(sizeof(struct Node)); //初始化起始节点 for(i=0; i<3; i++) for(j=0; j<3; j++) inital->s[i][j] = inital_s[i][j]; inital->f = wrong_sum(inital_s); inital->g = 0; inital->previous = NULL; inital->next = NULL; Add_Node(Open, inital);//把初始节点放入OPEN表 open_N++; while(1) { if(open_N == 0){printf("failure!"); return;} else { BESTNODE = get_BESTNODE(Open);//从OPEN表获取f值最小的BESTNODE，将其 从OPEN表删除并加入CLOSED表中 del_Node(Open, BESTNODE); open_N--; Add_Node(Closed, BESTNODE); if(equal(BESTNODE->s, final_s)) {//判断BESTNODE是否为目标节点 printf("success!n"); print_Path(BESTNODE); return; } //针对八数码问题，后继结点Successor的扩展方法：空格（二维数组中的0）上 下左右移动， 11 //判断每种移动的有效性，有效则转向A*子算法处理后继节点，否则进行下一 种移动 else{ Successor = (struct Node * )malloc(sizeof(struct Node)); Successor->next = NULL; if(get_successor(BESTNODE, 0, Successor))sub_A_algorithm( Open, BESTNODE, Closed, Successor); Successor = (struct Node * )malloc(sizeof(struct Node)); Successor->next = NULL; if(get_successor(BESTNODE, 1, Successor))sub_A_algorithm( Open, BESTNODE, Closed, Successor); Successor = (struct Node * )malloc(sizeof(struct Node)); Successor->next = NULL; if(get_successor(BESTNODE, 2, Successor))sub_A_algorithm( Open, BESTNODE, Closed, Successor); Successor = (struct Node * )malloc(sizeof(struct Node)); Successor->next = NULL; if(get_successor(BESTNODE, 3, Successor))sub_A_algorithm( Open, BESTNODE, Closed, Successor); } } } } //------------------------------------------------------------------------ //main()函数入口 //定义Open和Closed列表。Open列表：保存待检查节点。Closed列表：保存不需要再检 查的节点 //------------------------------------------------------------------------ void main() { struct Node * Open = (struct Node * )malloc(sizeof(struct Node)); struct Node * Closed = (struct Node * )malloc(sizeof(struct Node)); Open->next = NULL ; Open->previous = NULL; Closed->next =NULL; Closed->previous = NULL; A_algorithm(Open, Closed); } 12
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