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2024年4月23日发(作者：微信小程序开发页面布局)
(完整版)三角函数总结大全(整理好的)
三角函数
(一）任意角的三角函数及诱导公式
1．任意角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.一条射线由原来的位置
绕着它的端点
O
按逆时针方向旋转到终止位置
OB
，就形成角
。旋转开始时的射线
OA
叫做角的始边，
OA
，
OB
叫终边，射线的端点
O
叫做叫
的顶点。
为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。
如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角.
2．象限角、终边相同的角、区间角
角的顶点与原点重合，角的始边与
x
轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我
们就说这个角是第几象限角。要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限，称
为非象限角.
终边相同的角是指与某个角α具有同终边的所有角，它们彼此相差2kπ（k∈Z）,即β∈{β|β=2kπ+
α，k∈Z}，根据三角函数的定义,终边相同的角的各种三角函数值都相等。
5
5
区间角是介于两个角之间的所有角，如α∈{α|≤α≤｝=［，］。
66
66
3．弧度制
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1
rad
，或1弧度，或1(单位可以省略不写)。
角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分,如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个
正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0，角的正负主要由角的旋转方向来决定。
l
角
的弧度数的绝对值是：
，其中，l是圆心角所对的弧长,
r
是半径。
r
角度制与弧度制的换算主要抓住
180
rad
.弧度与角度互换公式:1rad＝
180
°≈57。30°=57°18ˊ;
1°＝
≈0。01745（rad)。弧长公式:
l|
|r
(
是圆心角的弧度数)； 扇形面积公式：
180
11
lr|
|r
2
。
22
4 三角函数的定义:以角
的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴建立直角坐标系，在角
的终边上任取一
S
个异于原点的点
P(x,y)
，点P到原点的距离记为
r(r|x|
2
|y|
2
x
2
y
2
0)
，那么
sin
xr
yxyr
；
cos
；
tan
; (
cot
;
sec
；
csc
）
yy
rrxx
利用单位圆定义任意角的三角函数，设
是一个任意角,它的终边与单位圆交于点
P(x,y)
,那么：
（1)
y
叫做
的正弦,记做
sin
,即
sin
y
；
（2）
x
叫做
的余弦,记做
cos
,即
cos
x
；
y
y
(3）叫做
的正切，记做
tan
,即
tan
(x0)
。
x
x
5 三角函数的符号：
由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号,我
y
们可以得知：①正弦值对于第一、二象限为正
r
sin
cos
tan
cot
Ⅰ
+
+
+
+
Ⅱ
+
－
－
－
Ⅲ
－
－
+
+
Ⅳ
－
+
－
－
（
y0,r0
）,对于第三、四象限为负(
y0,r0
）；
1
y
a角的终
P T
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O M A
x
x
对于第一、四象限为正(
x0,r0
），对于第二、三象限为负
r
y
（
x0,r0
）；③正切值对于第一、三象限为正(
x,y
同号），对于第二、
x
②余弦值
四象限为负(
x,y
异号）说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数
值。
6．三角函数线
三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方法.利用三角函数线在解决
比较三角函数值大小、解三角方程及三角不等式等问题时，十分方便。
以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆（注意：这个单位长度不一定
就是1厘米或1米)。当角
为第一象限角时，则其终边与单位圆必有一个交点
P(x,y)
，过点
P
作
PMx
轴
交
x
轴于点
M
，根据三角函数的定义：
|MP||y||sin
|
;
|OM||x||cos
|
。
我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关。当角
的终边不在坐标轴时，以
O
为始点、
M
为
终点，规定：
当线段
OM
与
x
轴同向时，
OM
的方向为正向，且有正值
x
；当线段
OM
与
x
轴反向时，
OM
的方向为
负向，且有负值
x
；其中
x
为
P
点的横坐标。这样,无论那种情况都有
OMxcos
同理，当角
的终边不在
x
轴上时，以
M
为始点、
P
为终点，
规定：当线段
MP
与
y
轴同向时，
MP
的方向为正向，且有正值
y
；当线段
MP
与
y
轴反向时，
MP
的
方向为负向，且有负值
y
；其中
y
为
P
点的横坐标.
这样,无论那种情况都有
MPysin
。像
MP、OM
这种被看作带有方向的线段,叫做有向线段。
如上图，过点
A(1,0)
作单位圆的切线，这条切线必然平行于
y
轴,设它与
的终边交于点
T
，请根据正
y
x
我们把这三条与单位圆有关的有向线段
MP、OM、AT
,分别叫做角
的正弦线、余弦线、正切线，统
称为三角函数线。
切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段
OA、AT
，我们有
tan
AT
6．同角三角函数关系式
sin
α
+cos
α
=1（平方关系)；
22
sin
=tanα(商数关系）； tan
α
cot
α
=1（倒数关系）。
cos
使用这组公式进行变形时，经常把“切”、“割”用“弦”表示，即化弦法,这是三角变换非常重要的方
法。
几个常用关系式：sinα+cosα，sinα-cosα，sinα·cosα；（三式之间可以互相表示）
同理可以由sinα－cosα或sinα·cosα推出其余两式。
7．诱导公式
可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限”。
诱导公式一：
sin(
2k
)sin
,
cos(
2k
)cos
，其中
kZ
2
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