高中数学公式及知识点总结大全(精华版)

高中文科数学公式及知识点速记

一、函数、导数

1、函数的单调性

(1)设

x

1

、x

2

[a,b],x

1

x

2

那么

f(x

1

)f(x

2

)0f(x)在[a,b]

上是增函数；

f(x

1

)f(x

2

)0f(x)在[a,b]

上是减函数.

(2)设函数

yf(x)

在某个区间内可导，若

f



(x)0

，则

f(x)

为增函数；若

f



(x)0

，则

f(x)

为减

函数.

2、函数的奇偶性

对于定义域内任意的

x

，都有

f(x)f(x)

，则

f(x)

是偶函数；

对于定义域内任意的

x

，都有

f(x)f(x)

，则

f(x)

是奇函数。

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。

3、函数

yf(x)

在点

x

0

处的导数的几何意义

函数

yf(x)

在点

x

0

处的导数是曲线

yf(x)

在

P(x

0

,f(x

0

))

处的切线的斜率

f



(x

0

)

，相应的切线方

程是

yy

0

f



(x

0

)(xx

0

)

.

b4acb

2

b4acb

2

1

,)

；

,)

*二次函数： （1）顶点坐标为

(

（2）焦点的坐标为

(

2a4a2a4a

4、几种常见函数的导数

'

①

C

0

；②

(x)nx

x'x

n'n1

； ③

(sinx)cosx

；④

(cosx)sinx

；

x

''

'

⑤

(a)alna

；⑥

(e)e

； ⑦

(log

a

x)

x'

11

'

；⑧

(lnx)

xlnax

5、导数的运算法则

u

'

u

'

vuv

'

(v0)

. （1）

(uv)uv

. （2）

(uv)uvuv

. （3）

()

vv

2

''''''

6、会用导数求单调区间、极值、最值

7、求函数

yf



x



的极值的方法是：解方程

f





x



0

．当

f





x

0



0

时：

(1) 如果在

x

0

附近的左侧

f





x



0

，右侧

f





x



0

，那么

f



x

0



是极大值；

(2) 如果在

x

0

附近的左侧

f





x



0

，右侧

f





x



0

，那么

f



x

0



是极小值．

指数函数、对数函数

分数指数幂

(1)

a

(2)

a

m

n



n

a

m

（

a0,m,nN



，且

n1

）.



m

n



1

a

m

n



1

n

a

m

（

a0,m,nN

，且

n1

）.



根式的性质

（1）当

n

为奇数时，

aa

；

当

n

为偶数时，

a

n

|a|



有理指数幂的运算性质

第1页（共10页）

n

n

n



a,a0

.



a,a0

(1)

aaa

rs

r

rs

rr

rsrs

(a0,r,sQ)

.

(2)

(a)a(a0,r,sQ)

.

(3)

(ab)ab(a0,b0,rQ)

.

p

注： 若a＞0，p是一个无理数，则a表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数

指数幂都适用.

.指数式与对数式的互化式:

log

a

Nba

b

N

(a0,a1,N0)

.

.对数的换底公式 :

log

a

N

对数恒等式：

a

推论

log

a

m

b

n



常见的函数图象

y

y

y

log

m

N

(

a0

,且

a1

,

m0

,且

m1

,

N0

).

log

m

a

log

a

N

N

(

a0

,且

a1

,

N0

).

n

log

a

b

(

a0

,且

a1

,

N0

).

m

y

y

k<0

o

k>0

x

o

a<0

x

2

-1

o

1

y=x+

-2

1

x

x

y=a

x

0

1

o

x

y=log

a

x

0

a>1

y=kx+b

a>0

o

1

a>1

x

y=ax

2

+bx+c

二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量

8、同角三角函数的基本关系式

sin

2



cos

2



1

，

tan



=

sin



.

cos



9、正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）

k







的正弦、余弦，等于



的同名函数，前面加上把



看成锐角时该函数的符号；

k







2





的正弦、余弦，等于



的余名函数，前面加上把



看成锐角时该函数的符号。



1



sin



2k









sin



，

cos



2k









cos



，

tan



2k









tan





k



．



2



sin











sin



，

cos











cos



，

tan











tan



．



3



sin









sin



，

cos









cos



，

tan









tan



．



4



sin











sin



，

cos











cos



，

tan











tan



．

口诀：函数名称不变，符号看象限．



5



sin

















cos



，

cos









sin





2



2





．



6



sin













cos





2





，

cos















sin



．



2



口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．

10、和角与差角公式

sin(







)sin



cos



cos



sin



;

cos(







)cos



cos



sin



sin



;

第2页（共10页）

tan(







)

tan



tan



.

1tan



tan



11、二倍角公式

sin2



sin



cos



.

cos2



cos

2



sin

2



2cos

2



112sin

2



.

2tan



.

tan2





2

1tan



1cos2



2cos

2



1cos2



,cos

2



;

2

公式变形：

1cos2



2sin

2



1cos2



,sin

2



;

2

12、 函数

ysin(



x



)

的图象变换

①的图象上所有点向左（右）平移



个单位长度，得到函数

ysin



x





的图象；再将函数

ysin



x





的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的

1

倍（纵坐标不变），得到函数

ysin





x





的图象；



再将函数

ysin





x





的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的



倍（横坐标不变），得到函数

ysin





x





的图象．

②数

ysinx

的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的

1

倍（纵坐标不变），得到函数



ysin



x

的图象；再将函数

ysin



x

的图象上所有点向左（右）平移



个单位长度，得到函数



ysin





x





的图象；再将函数

ysin





x





的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的



倍

（横坐标不变），得到函数

ysin





x





的图象．

13. 正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

性

质

函

数

ysinx

ycosx

ytanx

图象

定义域

R

R









xxk



,k



2



值域



1,1



当



1,1





k



当

x2k



R

既无最大值也无最小值 最值

x2k







2



k



时，

第3页（共10页）

时，

y

max

1

；当

y

max

1

；当

x2k







x2k







2



k



时，

y

min

1

．



奇函数



k



时，

y

min

1

．

周期性

奇偶性

2



2



奇函数 偶函数

在





2k



,2k







22



在



k



上是增函数；在

单调性



2k







,2k







k



上是增



2k



,2k









在



k



函数；在









2

,k











2





3





2k



,2k







22





k



上是减函数．



k



上是增函数．



k



上是减函数．

对称中心

对称性

对称轴

x



k



,0



k



k







2

对称中心



k





k













,0





k



2



对称中心



无对称轴



k





,0





k



2



对称轴

xk





k



b

a

14、辅助角公式

yasinxbcosxa

2

b

2

sin(x



)

其中

tan





15.正弦定理 ：

abc

2R

（R为

ABC

外接圆的半径）.

sinAsinBsinC

a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC

a:b:csinA:sinB:sinC

a

2

b

2

c

2

2bccosA

;

b

2

c

2

a

2

2cacosB

;

c

2

a

2

b

2

2abcosC

.

16.余弦定理

17.面积定理

111

ah

a

bh

b

ch

c

（

h

a

、h

b

、h

c

分别表示a、b、c边上的高）.

222

111

（2）

SabsinCbcsinAcasinB

.

222

（1）

S

18、三角形内角和定理

在△ABC中，有

ABC



C



(AB)



C



AB



2C2



2(AB)

.

222

19、

a

与

b

的数量积(或内积)

ab|a||b|cos



第4页（共10页）

20、平面向量的坐标运算

(1)设A

(x

1

,y

1

)

，B

(x

2

,y

2

)

,则

ABOBOA(x

2

x

1

,y

2

y

1

)

.

(2)设

a

=

(x

1

,y

1

)

,

b

=

(x

2

,y

2

)

，则

ab

=

x

1

x

2

y

1

y

2

.

(3)设

a

=

(x,y)

，则

a

21、两向量的夹角公式

设

a

=

(x

1

,y

1

)

,

b

=

(x

2

,y

2

)

，且

b0

，则

x

2

y

2

cos





ab



|a||b|

x

1

x

2

y

1

y

2

xyxy

2

1

2

1

2

2

2

2

(

a

=

(x

1

,y

1

)

,

b

=

(x

2

,y

2

)

).

22、向量的平行与垂直

设

a

=

(x

1

,y

1

)

,

b

=

(x

2

,y

2

)

，且

b



0

a//b



b



a

x

1

y

2

x

2

y

1

0

.

ab(a0)



ab0

x

1

x

2

y

1

y

2

0

.

*平面向量的坐标运算

(1)设

a

=

(x

1

,y

1

)

,

b

=

(x

2

,y

2

)

，则

a

+

b

=

(x

1

x

2

,y

1

y

2

)

.

(2)设

a

=

(x

1

,y

1

)

,

b

=

(x

2

,y

2

)

，则

a

-

b

=

(x

1

x

2

,y

1

y

2

)

.

(3)设A

(x

1

,y

1

)

，B

(x

2

,y

2

)

,则

ABOBOA(x

2

x

1

,y

2

y

1

)

.

(4)设

a

=

(x,y),



R

，则



a

=

(



x,



y)

.

(5)设

a

=

(x

1

,y

1

)

,

b

=

(x

2

,y

2

)

，则

a

·

b

=

x

1

x

2

y

1

y

2

.

三、数列

23、数列的通项公式与前n项的和的关系

n1



s

1

,

a

n





( 数列

{a

n

}

的前n项的和为

s

n

a

1

a

2



ss,n2



nn1

24、等差数列的通项公式

a

n

).

a

n

a

1

(n1)ddna

1

d(nN

*

)

；

25、等差数列其前n项和公式为

s

n



n(a

1

a

n

)

n(n1)d1

na

1

dn

2

(a

1

d)n

.

2222

a

1

n

q(nN

*

)

；

q

26、等比数列的通项公式

a

n

a

1

q

n1



27、等比数列前n项的和公式为



a

1

(1q

n

)



a

1

a

n

q

,q1

,q1





1q

s

n





1q

或

s

n





.



na,q1



na,q1



1



1

四、不等式

xy

xy

。必须满足一正（

x,y

都是正数）28、、二定（

xy

是定值或者

xy

是定值）、三相等（

xy

2

第5页（共10页）

时等号成立）才可以使用该不等式）

（1）若积

xy

是定值

p

，则当

xy

时和

xy

有最小值

2p

；

（2）若和

xy

是定值

s

，则当

xy

时积

xy

有最大值

1

2

s

.

4

五、解析几何

29、直线的五种方程

（1）点斜式

yy

1

k(xx

1

)

(直线

l

过点

P

1

(x

1

,y

1

)

，且斜率为

k

)．

（2）斜截式

ykxb

(b为直线

l

在y轴上的截距).

yy

1

xx

1



(

y

1

y

2

)(

P

1

(x

1

,y

1

)

、

P

2

(x

2

,y

2

)

(

x

1

x

2

)).

y

2

y

1

x

2

x

1

xy

(4)截距式

1

(

a、b

分别为直线的横、纵截距，

a、b0

)

ab

（5）一般式

AxByC0

(其中A、B不同时为0).

（3）两点式

30、两条直线的平行和垂直

若

l

1

:yk

1

xb

1

，

l

2

:yk

2

xb

2

①

l

1

||l

2

k

1

k

2

,b

1

b

2

;

②

l

1

l

2

k

1

k

2

1

.

31、平面两点间的距离公式

d

A,B

(x

2

x

1

)

2

(y

2

y

1

)

2

(A

(x

1

,y

1

)

，B

(x

2

,y

2

)

).

32、点到直线的距离

d

|Ax

0

By

0

C|

AB

22

(点

P(x

0

,y

0

)

,直线

l

：

AxByC0

).

222

33、 圆的三种方程

（1）圆的标准方程

(xa)(yb)r

.

22

（2）圆的一般方程

xyDxEyF0

(

DE4F

＞0).

22

（3）圆的参数方程





xarcos



.



ybrsin



222

* 点与圆的位置关系：点

P(x

0

,y

0

)

与圆

(xa)(yb)r

的位置关系有三种

若

d(ax

0

)(by

0

)

，则

dr

点

P

在圆外;

dr

点

P

在圆上;

dr

点

P

在圆内.

34、直线与圆的位置关系

直线

AxByC0

与圆

(xa)(yb)r

的位置关系有三种:

222

22

dr相离0

;

dr相切0

;

dr相交0

. 弦长=

2r

2

d

2

AaBbC

其中

d

.

22

AB

35、椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质



xacos



x

2

y

2

cb

2

222

椭圆：

2



2

1(ab0)

，

acb

，离心率

e1

2

<1，参数方程是



.

ab

aa



ybsin



x

2

y

2

c

b

222

双曲线：

2



2

1

(a>0,b>0)，

cab

，离心率

e1

，渐近线方程是

yx

.

ab

a

a

第6页（共10页）

抛物线：

y2px

，焦点

(

2

pp

,0)

,准线

x

。抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离.

2

2

36、双曲线的方程与渐近线方程的关系

x

2

y

2

x

2

y

2

b

(1）若双曲线方程为

2



2

1



渐近线方程：

2



2

0

yx

.

ab

ab

a

x

2

y

2

xy

b

(2)若渐近线方程为

yx



0



双曲线可设为

2



2



.

ab

ab

a

x

2

y

2

x

2

y

2

(3)若双曲线与

2



2

1

有公共渐近线，可设为

2



2



（

0

，焦点在x轴上，

0

，

abab

焦点在y轴上）.

37、抛物线

y2px

的焦半径公式

2

p

.（抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离。）

2

pp

38、过抛物线焦点的弦长

ABx

1

x

2

x

1

x

2

p

.

22

六、立体几何

抛物线

y2px(p0)

焦半径

|PF|x

0



2

39.证明直线与直线的平行的思考途径 42．证明直线与直线的垂直的思考途径

（1）转化为判定共面二直线无交点； （1）转化为相交垂直；

（2）转化为二直线同与第三条直线平行； （2）转化为线面垂直；

（3）转化为线面平行； （3）转化为线与另一线的射影垂直；

（4）转化为线面垂直； （4）转化为线与形成射影的斜线垂直.

（5）转化为面面平行. 43．证明直线与平面垂直的思考途径

40．证明直线与平面的平行的思考途径 （1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；

（1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；

（2）转化为线线平行； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；

（3）转化为面面平行. （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面。

41.证明平面与平面平行的思考途径 44．证明平面与平面的垂直的思考途径

（1）转化为判定二平面无公共点； （1）转化为判断二面角是直二面角；

（2）转化为线面平行； （2）转化为线面垂直；

（3）转化为线面垂直.

45、柱体、椎体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式

圆柱侧面积=

2



rl

，表面积=

2



rl2



r

2

2



rl



r



rl

圆椎侧面积=，表面积=

1

V

柱体

Sh

（

S

是柱体的底面积、

h

是柱体的高）.

3

1

V

锥体

Sh

（

S

是锥体的底面积、

h

是锥体的高）.

3

4

3

2

球的半径是

R

，则其体积

V



R

,其表面积

S4



R

．

3

46、若点A

(x

1

,y

1

,z

1

)

，点B

(x

2

,y

2

,z

2

)

，则

d

A,B

=

|AB|ABAB

(x

2

x

1

)(y

2

y

1

)(z

2

z

1

)

47、点到平面距离的计算（定义法、等体积法）

48、直棱柱、正棱柱、长方体、正方体的性质：侧棱平行且相等，与底面垂直。

正棱锥的性质：侧棱相等，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心。

第7页（共10页）

222

七、概率统计

49、平均数、方差、标准差的计算

x

1



x

2



x

n

1

2222

方差:

s[(x

1

x)(x

2

x)(x

n

x)]

n

n

1

[(x

1

x)

2

(x

2

x)

2

(x

n

x)

2

]

标准差:

s

n

平均数:

x

50、回归直线方程 （了解即可）

nn





x

i

x



y

i

y





x

i

y

i

nxy







b

i1

n



i1

n

2

yabx

，其中



22

.经过（

x

，

y

）点。

xxxnx





ii



i1i1





aybx

n(acbd)

2

2

51、独立性检验

K

（了解即可）

(ab)(cd)(ac)(bd)

52、古典概型的计算（必须要用列举法、列表法、树状图的方法把所有基本事件表示出来，不重复、不遗

．．．．．．．．．

漏）

八、复数

53、复数的除法运算

abi(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i



.

22

cdi(cdi)(cdi)

cd

54、复数

zabi

的模

|z|

=

|abi|

=

a

2

b

2

.

55、复数的相等：

abicdiac,bd

.（

a,b,c,dR

）

56、复数

zabi

的模（或绝对值）

|z|

=

|abi|

=

a

2

b

2

.

57、复数的四则运算法则

(1)

(abi)(cdi)(ac)(bd)i

;

(2)

(abi)(cdi)(ac)(bd)i

;

(3)

(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i

;

(4)

(abi)(cdi)

acbdbcad



2

i(cdi0)

.

222

cdcd

58、复数的乘法的运算律

对于任何

z

1

,z

2

,z

3

C

，有

交换律:

z

1

z

2

z

2

z

1

.

结合律:

(z

1

z

2

)z

3

z

1

(z

2

z

3

)

.

分配律:

z

1

(z

2

z

3

)z

1

z

2

z

1

z

3

.

九、参数方程、极坐标化成直角坐标





2

x

2

y

2





cos



x



55、





y



sin



y

tan



(x0)





x



十、命题、充要条件

充要条件（记

p

表示条件，

q

表示结论）

第8页（共10页）

（1）充分条件：若

pq

，则

p

是

q

充分条件.

（2）必要条件：若

qp

，则

p

是

q

必要条件.

（3）充要条件：若

pq

，且

qp

，则

p

是

q

充要条件.

注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.

56.真值表

互

逆

原命题

ｐ

真

真

假

假

ｑ

真

假

真

假

非ｐ

假

假

真

真

ｐ或ｑ ｐ且ｑ

真 真

真 假

真 假

假 假

若p则q

互

否

否命题

若┐p则┐q

互

为

为

互

逆

否

逆命题

若q则p

互

否

逆否命题

若┐q则┐p

逆

否

互

逆

十一、直线与平面的位置关系

空间点、直线、平面之间的位置关系

三个公理：

（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内

（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

空间中直线与直线之间的位置关系

1 空间的两条直线有如下三种关系：

相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；

共面直线

平行直线：同一平面内，没有公共点；

异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。

2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补

4 注意点：

① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为简便，点O一般取在两直

线中的一条上；



(0,)

② 两条异面直线所成的角θ∈

2

；

③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；

④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；

⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系

1、直线与平面有三种位置关系：

（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点

（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点

（3）直线在平面平行 —— 没有公共点

直线、平面平行的判定及其性质

第9页（共10页）

直线与平面平行的判定

1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

简记为：线线平行，则线面平行。

平面与平面平行的判定

1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

2、判断两平面平行的方法有三种：

（1）用定义；

（2）判定定理；

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。

直线与平面、平面与平面平行的性质

1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

简记为：线面平行则线线平行。

2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

直线、平面垂直的判定及其性质

直线与平面垂直的判定

1、定义：如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，

直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂

足。

2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

平面与平面垂直的判定

1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形

A

梭 l β

B

α

2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β

3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

直线与平面、平面与平面垂直的性质

1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

2性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

第10页（共10页）