基于离散时间传递矩阵法的伞-弹系统动力学模型

第３３卷第１期　

２０１２年１月　

宇航学报　

Ｖｏ１．３３　Ｎｏ

１　

．

Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ａｓｔｒｏｎａｕｔｉｃｓ　Ｊａｎｕａｒｙ　２０１２　

基于离散时间传递矩阵法的伞一弹系统动力学模型　

师　娇　，唐胜景　，高峰　，杨春雷　

（１．北京理工大学宇航学院，北京１０００８１；２．中国科学院长春光学精密机械研究所，长春１３００２２）　

摘要：采用离散时间传递矩阵法建立了伞一弹系统减速稳定段的动力学模型，回避了多体动力学传统的研　

究方法在伞一弹系统建模过程中存在的问题。详细给出了应用离散时间传递矩阵法建立铅垂平面内伞一弹系统　

模型的建模过程，推导了伞一弹系统的传递矩阵和传递方程。通过算例将建立的伞一弹系统模型和采用牛顿一欧　

拉法建立的伞一弹系统模型进行了对比分析，两种模型计算结果吻合度好，验证了本文模型的正确性以及离散时　

间传递矩阵法应用在减速伞一子导弹系统中的可行性。　

关键词：降落伞；离散时间传递矩阵法；多体动力学；飞行动力学　

中图分类号：Ｖ２１２　文献标识码：Ａ　文章编号：１０００－１３２８（２０１２）叭－００１３－０６　

ＤＯＩ：１０．３８７３／ｊ．ｉｓｓｎ．１０００—１３２８．２０１２．０１．００２　

Ｄｙｎａｍｉｃｓ　Ｍｏｄｅｌ　ｆｏｒ　Ｐａｒａｃｈｕｔｅ－Ｓｕｂｍｉｓｓｉｌｅ　Ｓｙｓｔｅｍ　Ｂａｓｅｄ　ｏｎ　

Ｄｉｓｃｒｅｔｅ　Ｔｉｍｅ　Ｔｒａｎｓｆｅｒ　Ｍａｔｒｉｘ　Ｍｅｔｈｏｄ　

ＳＨＩ　Ｊｉａｏ　，ＴＡＮＧ　Ｓｈｅｎｇ－ｊｉｎｇ　，ＧＡＯ　Ｆｅｎｇ　，ＹＡＮＧ　Ｃｈｕｎ．１ｅｉ　

（１．Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ａｅｒｏｓｐａｃｅ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｂｅｉｊｉｎｇ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ　１０００８１，Ｃｈｉｎａ；　

２．Ｃｈａｎｇｃｈｕｎ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｏｐｔｉｃｓ，Ｆｉｎｅ　Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ　ａｎｄ　Ｐｈｙｓｉｃｓ，ＣＡＳ，Ｃｈａｎｇｃｈｕｎ　１３００２２，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｄｉｓｃｒｅｔｅ　ｔｉｍｅ　ｔｒａｎｓｆｅｒ　ｍａｔｒｉｘ　ｍｅｔｈｏｄ（ＤＴＴＭＭ），ａ　ｄｙｎａｍｉｃ　ｍｏｄｅｌ　ｆｏｒ　ａ　ｐａｒａｃｈｕｔｅ—ｓｕｂｍｉｓｓｉｌｅ　

ｓｙｓｔｅｍ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｔｅｒｍｉｎａｌ　ｄｅｓｃｅｎｔ　ｐｈａｓｅ　ｉｓ　ｄｅｖｅｌｏｐｅｄ，ｔｈｕｓ　ａｖｏｉｄｉｎｇ　ｔｈｅ　ｑｕｅｓｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｍｕｌｔｉ—ｂｏｄｙ　ｄｙｎａｍｉｃｓ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ　

ｍｅｔｈｏｄｓ．Ｔｈｅ　ｍｏｄｅｌｉｎｇ　ｐｒｏｃｅｓｓ　ｏｆ　ａ　ｐａｒａｃｈｕｔｅ—ｓｕｂｍｉｓｓｉｌｅ　ｓｙｓｔｅｍ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｖｅｒｔｉｃａｌ　ｐｌａｎｅ　ｉｓ　ｉｌｌｕｍｉｎａｔｅｄ　ｂｙ　ａｄｏｐｔｉｎｇ　ｔｈｅ　

ＤＴＴＭＭ　ｉｎ　ｄｅｔａｉｌ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｔｒａｎｓｆｅｒ　ｍａｔｒｉｘ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｔｒａｎｓｆｅｒ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ａｒｅ　ｄｅｄｕｃｅｄ．Ｔｈｒｏｕｇｈ　ａｎ　ｅｘａｍｐｌｅ，ｔｈｅ　ｖａｌｉｄｉｔｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　

ｍｏｄｅｌ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｆｅａｓｉｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ＤＴｒＭＭ　ｕｓｅｄ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｄｅｃｅｌｅｒａｔｉｏｎ　ｐａｒａｃｈｕｔｅ—ｓｕｂｍｉｓｓｉｌｅ　ｓｙｓｔｅｍ　ａｒｅ　ｖｅｒｉｉｅｄ　ｂｙ　ｃｏｍｐａｒｆｉｎｇ　ｔｈｅ　

ｐａｒａｃｈｕｔｅ—ｓｕｂｍｉｓｓｉｌｅ　ｄｙｎａｍｉｃ　ｍｏｄｅｌｓ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　ＤＴＦＭＭ　ａｎｄ　ｔｈｅ　Ｎｅｗｔｏｎ—Ｅｕｌｅｒ　ｍｅｔｈｏｄ．　

Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：Ｐａｒａｃｈｕｔｅ；Ｄｉｓｃｒｅｔｅ　ｔｉｍｅ　ｔｒａｎｓｆｅｒ　ｍａｔｉｒｘ　ｍｅｔｈｏｄ；Ｍｕｌｔｉ－ｂｏｄｙ　ｄｙｎａｍｉｃｓ；Ｆｌｉｇｈｔ　ｄｙｎａｍｉｃｓ　

０引　言　

１９８４年，Ｐｉｌｌａｓｃｈ等　描述了一个１５自由度的伞一　

弹系统的拉格朗日动力学模型，其中降落伞和子弹　

通过弹性吊带连接。１９９２年，Ｄｏｈｅｒｒ等　根据牛顿　

一

降落伞作为一种非常重要的气动减速装置　，　

在子导弹减速稳定方面起着很大的作用。但由于伞　

一

欧拉法建立了９自由度的伞一弹系统模型，将降　

弹系统具有复杂的动力学特性，因此其数学模型　落伞和子弹在偏航或俯仰或滚转方向连接起来。　

１９９７年，李大耀　等根据牛顿一欧拉法建立了１２　

自由度的物体一双伞系统模型，并对其稳定性进行　

了分析。１９９９年，杨启仁　根据凯恩法建立了７自　

由度的伞一弹系统动力学模型。２００１年，舒敬容　

的建立与仿真一直是飞行动力学研究的热点和难　

点。伞一弹系统属于多体系统，一般应用多体动力　

学理论对其进行研究。多体动力学传统的研究方法　

可分为三种，即基于矢量力学的牛顿一欧拉法，基于　

分析力学的拉格朗日法以及兼顾两者的凯恩法。　

收稿日期：２０１１－０１－０５；　修回日期：２０１１－０３．１０　

等　根据牛顿一欧拉法建立了降落伞、伞盘和末敏　

１４　宇航学报　第３３卷　

弹的三刚体动力学方程。２００７年，郭锐等　根据凯　

恩法的多柔体动力学理论建立了１Ｏ自由度的伞一　

末敏弹系统的刚柔两体动力学模型，其中降落伞为　

柔性体，通过模态展开法表达其弹性位移；同年，　

图１　离散时间传递矩阵法表示的伞一弹　

系统示意图　

Ｆｉｇ．１　Ｓｃｈｅｍａｔｉｃ　ｏｆ　ｐａｒａｃｈｕｔｅ—ｓｕｂｍｉｓｓｉｌｅ　ｓｙｓｔｅｍ　

Ｙａｎｇ　Ｃ　Ｘ等　采用休斯顿方法确定了群伞和物体　

的拓扑结构，根据凯恩法建立了群伞一物体系统的　

动力学模型；同年，Ｈ￣ｄｕｋ等　采用牛顿一欧拉法　

建立了９自由度的翼伞一物体的数学模型。２００９　

年，朱勇等¨。。为了回避牛顿力学体系下约束力的求　

解问题，提出了一种基于拉格朗日力学的５自由度　

伞一弹系统动力学模型。　

对已有的伞一弹系统模型进行分析，可知牛顿　

一

欧拉法虽简单直观，但需处理降落伞和弹体的约　

束关系；拉格朗Ｌｔ法虽回避了约束力求解这一难题，　

但其建模过程需进行二次求导，且广义坐标选取不　

唯一；凯恩法虽不存在处理约束关系的问题，且得到　

的伞一弹系统数学模型是一阶微分方程组，但如何　

选取广义速率坐标简化建模过程需要经验和技巧。　

本文将离散时间传递矩阵法　应用到伞一弹系统　

中，建立了其动力学模型。该方法直接将约束看成　

一

物体对其运动进行分析，且无需选取广义坐标，避　

免了由于广义坐标选取不当而使建模过程复杂的情　

况出现　

１伞一弹系统分析　

离散时间传递矩阵法是用来对时变、非线性、大　

运动等一般多体系统动力学问题进行研究的方　

法　。该方法首先将多体系统划分成若干部分，并　

用矩阵表示各部分的力学特性，然后根据它们之间　

的拓扑结构将代表其力学特性的矩阵进行数学运　

算，推导出系统的总传递矩阵和总传递方程，最后根　

据边界条件和初始参数求得各部分的力学状态和运　

动状态。　

伞一弹系统是非线性时变系统，可将其划分成　

降落伞、铰链、子导弹三个部分，用降落伞传递矩阵　

、

铰链传递矩阵Ｕ　以及子导弹的传递矩阵　表　

示它们各自的力学特性，如图１所示。　

由于伞一弹系统属于链式系统，因此系统总的　

传递矩阵可表示为Ｕ＝Ｕ　Ｕ　。设ｚ，、Ｚ。分别为输　

入、输出的状态矢量，则伞一弹系统的传递方程为　

ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ＤＴＴＭＭ　

Ｚ。＝Ｕｚ，。这里的状态矢量包括线位移、角位移、内　

力矩、内力。例如，当伞一弹系统在铅垂平面内运动　

时，状态矢量可表示为：　

Ｚ＝［　Ｙ　ｍ　ｑ　ｇ　１　ｒ，　

其中　、Ｙ为惯性坐标系下的线位移；　为惯性坐标系　

下的角位移；ｍ为惯性坐标系下的内力矩；ｇ　、ｑ　为　

惯性坐标系下的内力。　

２伞一弹系统动力学模型　

２．１基本假设　

（１）降落伞为减速伞，且不考虑横风的影响，可　

将伞一弹系统的运动简化为铅垂平面内的运动；　

（２）降落伞和子导弹都为轴对称的刚体，两者　

通过光滑球铰链连接，只传递力，不传递力矩；　

（３）降落伞的气动力作用点和质心重合，位于　

伞衣底边的中心点；　

（４）不考虑由于降落伞运动的非定常性而引起　

的气动力或力矩的增量部分；　

（５）地球的重力加速度为常数，忽略地球的哥　

氏加速度。　

２．２坐标系　

分别建立惯性坐标系０　Ｙｅ、伞体坐标系　

０　和弹体坐标系０　Ｙ６，如图２所示。　

（１）惯ｆ生坐标系０　Ｙｅ，０　为该巨殳运动起始点，０　Ｙｅ　

轴沿铅垂方向，向上为正，０　轴水平沿射向为正。　

（２）伞体坐标系０　，Ｄ　为降落伞的质心，　

Ｄ　轴与伞衣纵轴重合，指向铰链点为正，０　轴　

与０　，轴垂直，指向上为正，　为惯性坐标系与伞　

体坐标系之间的夹角，当Ｄ　。指向水平面上方时，　

为正。在惯性坐标系下，０　坐标为（　，），　），降落　

伞质心和铰链点的距离ｚ　＝ｌ　ｏＳｌ。　

（３）弹体坐标系０　Ｙ　，０　为子导弹与降落伞　

的铰链点，０　轴与弹体纵轴重合，指向弹体头部　

第１期　师娇等：基于离散时间传递矩阵法的伞一弹系统动力学模型　１５　

为正，０　Ｙ　轴与０　轴垂直，指向上为正，　为惯　

性坐标系与弹体坐标系之间的夹角，当Ｏ　指向水　

平面上方时，　为正。在惯性坐标系中，０　坐标为　

（　，Ｙ　），子导弹质心０　坐标为（　，Ｙ　），铰链点和　

子导弹质心的距离ｆ　＝ｌ　ｌ。　

图２伞一弹系统坐标示意图　

Ｆｉｇ．２　Ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ　ｓｃｈｅｍａｔｉｃ　ｏｆ　ｐａｒａｃｈｕｔｅ－ｓｕｂｍｉｓｓｉｌｅ　ｓｙｓｔｅｍ　

２．３运动方程　

对降落伞进行分析，根据牛顿第二定律和动量　

矩定理可得降落伞运动方程为　

ｒｐ　ｐ　ｑ印一ｑ　ｘｈ　Ｆ砷　

｛ｐ　＝ｑ　一ｑ　＋Ｆ　

ｐ，　＝Ｊ７ｌ　＋ｍ＾一ｍｓ＋ｑｘｈ／ｐｓｉｎＯｐ—ｑｙｈ／￣ｃｏｓ＃．　

（１）　

式中，Ｐ　为降落伞质量，Ｐ　为降落伞绕其质心的转　

动惯量，ｑ表示内力，ｍ表示内力矩，Ｆ表示外力，　

表示外力矩，下标　表示在０　轴上的投影，下标Ｙ　

表示在０　Ｙ　轴上的投影，下标Ｐ表示作用在降落伞　

质心Ｏｐ上，下标ｈ表示作用在铰链点０　上。　

同理，可得子导弹运动方程为　

６　ｂ　ｑ　ｈ—ｑ曲＋Ｆ曲　

６　＝ｑｙ＾一ｑｙ６＋　６　

ｂｊ　６＝Ｍ６＋，　６一，　＾一ｂ

ｍ

ｌ６ｃｏｓＯ６Ｙ”６＋　

ｂｍｌ６ｓｉｎＯ６　６＋ｑ．ｂｌ６ｓｉｎＯ６一ｑ

ｙｂ

ｌ６ｃｏｓＯ６一　

Ｆｘｆｌｂｓｉｎｖ％＋Ｆｙ６ｌ６ｃｏｓＯ６　

（２）　

式中，ｂ　为子导弹质量，ｂ，为子导弹绕铰链点０　的　

转动惯量，下标ｂ表示作用在子导弹质心０　上。　

根据图２所示，可得到降落伞质心０　、铰链点　

０　、子导弹质心０　之间的位移关系方程为　

；２ｈ　ｐ＋ｌｐｃｏｓＯｐ　

Ｙｈ＝　＋／ｐｓｉｎＯｐ　

，　（３）　

６　＾＋ｌｂｃｏｓｔ？６　

Ｙ６　Ｙ＾４－ｌｂｓｉｎＯ６　

６＝　＾ｏ　

式中，　，为铰链点输入端的角位移，　。为铰链点　

输出端的角位移。　

２．４外力和外力矩方程　

在铅垂平面内飞行的无动力子导弹，受到的外　

力为阻力　、升力ｌ，和重力Ｇ，外力矩为俯仰力矩　

，

在惯性坐标系下可表示为　

Ｆ　ｃｈ＝一Ｘｃｏｓ９一ＹｓｉｎＯ　

一　

ｓｉｎ　＋　。ｓ　—Ｇ　（４）　

Ｍ６＝　１　

ｃ，．ｐＶ２ＳＬ　

其中，０＝ａｒｃｓｉｎ（￣６／　：＋　），　＝　１　ｃ　．ｓ，Ｙ　

１　

＝　

ｃｙｎＶ￣ｓ

，

Ｖ：　＋　。　

式中，Ｃ　、ｃ　、Ｃ　分别为子导弹的阻力系数、升力系数　

和俯仰力矩系数，Ｐ为空气密度，Ｊｓ为子导弹参考面　

积，　为子导弹参考长度，　为子导弹的飞行速度。　

一

般给出的气动力系数是关于攻角　和Ｍａ数　

的二维数组，可通过二维线性插值表示。例如，阻力　

系数可表示为　

。　（　，Ｍａ　）＋皇　ｄ　＋　

ｄＭａ　

≈Ｃ　（Ｏｌ￡，Ｍａｆ）＋　

ｃ　（　，Ｍａ　）一ｃ　（Ｏｌ　，Ｍａ　），　、　

ｆ＋

：—二　———一　一　十　

Ｃ　（　，Ｍａ…）一Ｃ　（　，Ｍａ　）　

Ｍａ　＋ｌ—Ｍａ　

（Ｍａ—Ｍａｉ）　

，（１ＯＬ＋Ｋ２Ｖ＋ａ　

（５）　

同理可得　

Ｃ　＝，ｃ３　＋，ｃ４Ｖ＋ｂ　（６）　

Ｃ　，（５Ｏｌ＋Ｋ６Ｖ＋ｃ　（７）　

式中，，ｃ１、，ｃ２、，ｃ３、，ｃ４、　、　６、ａ，ｂ、ｃ为引入的插值系数。　

１６　宇航学报　第３３卷　

由于　

＝　６—０　（８）　

将式（５）、（６）和（８）代入式（４）中第一个式子，可得　

Ｆｘ６：一ＸｃｏｓＯ—ＹｓｉｎＯ　

＝一　

［Ｋ　√　＋　＋Ｋ２（　＋　）一　

Ｋ　

，ｃ１

￣／Ｘ’ｂ２＋Ｙ‘ｂ２ａｒｃｓｌ—ｎ￣，ｙ　ｂ／￣／Ｘ’ｂ２＋　）＋　ｂ）＋　

口√　］．　［，ｃ　Ｎ／￣ｂ＂２　＋　

Ｋ４（　＋　）一，ｃ，￣／　＋　ａｒｃｓｉｎ（　／　

￣／　＋　）＋ｂ√　＋　］　（９）　

同理，可得到Ｆ们、　的表达式，以及作用在降　

落伞上的外力Ｆ印、Ｆ　和外力矩　的表达式。　

２．５线性化　

传递矩阵法最早是应用在线性系统中的，为了　

将其应用于时变非线性系统，应将不同状态矢量之　

间的关系进行线性化处理。速度和加速度可采用逐　

１　Ｏ　

步时间积分法进行线性化，三角函数等非线性函数　

可通过泰勒展开进行线性化。比如，加速度（角加　

０　１　

速度）和速度（角速度）的线性化可表示为¨　

Ａｔ

ｒｔ

邶　

，　

ｉ＿１ｉ

－　（１０）　

＝

ｃ　

ｒｔ

＋Ｄ　

ｌ　ｆｌ　

０　０　

式中，，表示线位移或角位移，下标ｔ　表示在ｔ

０

　时刻　

　Ｏ　

的值，下标ｔＨ表示在ｔ　时刻的值，　、Ｂ、Ｃ、Ｄ为线　

性化系数，选择Ｎｅｗｍａｒｋ一　法对其进行计算。

０　Ｏ　０，‰０　

２．６传递方程　

将伞一弹系统受到的外力和外力矩代人式（１）　

和（２）中，对式（１）一（３）进行线性化处理，列出输入　

端状态矢量和输出端状态矢量的关系矩阵，即可得到　

降落伞的传递矩阵　和子导弹的传递矩阵Ｕ　。　

＝　

其中：　

ｕ１３　一１ｐｓｉｎ　，Ｍ２３＝ｌｐｃｏｓＯｐ，　

“４１＝ＰｍＡｌ。ＧＩ１，“４２＝一ＰｍＡｌ　Ｇ２２，　

ｕ５７＝Ｆ　ｐ—Ｐ　Ｂ　，ｕ钾＝Ｆ　ｖｐ—ｐ　Ｂ　，　

“４７＝ｐｊＢ　一ｐｍＢｙｆＰＧ２２＋ｐｍＢ　ｌｐＧｌ１一Ｆ印ｆｐＧ１ｌ＋　

Ｆ　ｌｐＧ２２一　

式中，系数Ｂ的下标　、Ｙ表示降落伞关于位置的线　

性化系数，下标　表示降落伞关于转角的线性化系　

数，Ｇ　、Ｇ　、Ｇ　。、Ｇ　：为三角函数经过泰勒展开进行线　

性化后的表达式。　

Ｕ６＝　

　一

０　６　０　０　

Ａ　

—　

（１２）　

其中：

０　

０　６　Ｏ　

’司：　

“１３　一ｌｂｓｉｎＯ６，　２３　ｌｂｃｏｓＯ６，　

，

池　纵，　０　

ｕ４　３＝ｂｊＡ—ｂｍＡｓｉｎＯ６　Ｇｌｌ—ｂ，．ＡｃｏｓＯ６　Ｇ２２，　

１　０　０　Ｏ　

ｕ４５＝一Ｇ¨　，ｕ４６＝Ｇ２２ｌ６，　

，　Ｏ　Ｏ　

ｕ４７＝ｂｊＢ　＋ｂ　（Ｂｙ，一Ｂｙｏ）ｌｂＧ２２＋　

ｂ　（Ｂ　

０　

０一Ｂ　）ｌｂＧｌ１＋ｂｍＡＧ２ｌ：Ｇｌ１一　

，　，　，　

ｂｍＡＧｌ

。　

　Ｇ２２一Ｍｂ，　

Ｕ５３＝ｂｍＡｌ６ｓｉｎＯ６，“６３＝一６　Ａｌ６ｃｏｓＯ６，　

ｕ５　７＝Ｆｘ６一ｂｍＢ　Ｄ—ｂｚＡＧ２ｆ６，　

Ｕ６７＝　一ｂｍＢ　ｏ—ｂｍＡＧ１　。　

式中，系数Ｂ的下标　、Ｙ表示子导弹关于位置的线　

性化系数，下标　表示子导弹关于转角的线性化系　

数，下标，、０分别表示子导弹关于输入端和输出端　

的线性化系数。　

对于光滑铰链来说，输入端和输出端位移和内　

力相等，内力矩为零，且外接子导弹的输出端为自由　

边界，因此得到的铰链传递矩阵　为　

０　

０　

０　

０

０

第１期　师娇等：基于离散时间传递矩阵法的伞一弹系统动力学模型　１７　

ｌ　０　Ｄ　Ｄ　０　０　Ｄ　

０　１　Ｏ　０　０　Ｏ　Ｏ　

０　Ｏ　０　０　０　Ｏ　Ｏ　

０　Ｏ　０　１　０　Ｏ　０　

Ｕｈ＝　

０　Ｏ，　

＿　—　Ｏ　Ｏ　０　

５—　３　

０　０，　

＿　　一Ｏ　０　Ｏ　

６—　３　

一　

０　０，　０　Ｏ　０●　

（１３）　

对于伞一弹系统来说，输入点为降落伞质心　

７—　３　

０　，输出点为子导弹质心０　，则传递方程为　

Ｚ６＝Ｕｚｐ＝Ｕ６Ｕ＾　。Ｚｐ　（１４）　

式中，Ｚｐ、Ｚ　分别为降落伞质心、子导弹质心的状态　

矢量。　

由于输入端和输出端都为自由边界，因此式　

（１４）的边界条件为　

［　０　０　０　ｒ　（１５）　

【Ｚ６＝［　６　Ｙ６　０　０　０　１］　

３算例仿真与验证　

选用某子导弹减速伞作为算例对上述伞一弹系　

统模型进行仿真分析。经设计，选用半球形降落伞，　

参考面积为０．０７０７ｍ　，降落伞质心距铰链点的距离　

为０．９ｍ，降落伞切向力系数为０．７，法向力系数为　

０．２ａ。，这里　。为降落伞攻角，计算方法同子导弹攻　

角的计算方法相同。设降落伞在高度为２３００ｍ时完　

全打开，要求对子导弹进行减速，使其在高度为　

１５００ｍ附近时，速度减为１２０ｍ／ｓ左右。　

初始时刻，子导弹位置为（０．４５０１，２２９９），俯仰　

角为一５５。，速度为３００ｍ／ｓ，降落伞位置为（０，　

２３００），俯仰角为一６０。，速度为３００ｍ／ｓ。选用时间步　

长△　为０．０００５ｓ，将初始值和边界条件代人式　

（１４），确定经过一个时间步长后降落伞质心和弹体　

质心的位移和角度，利用该时刻的结果作为初始值，　

重复上面的计算过程，直至所要求的结果为止，这样　

就可得到降落伞和弹体的运动过程。　

为了验证本文模型的正确性，本文又采用牛顿　

～

欧拉法建立此算例的模型并进行数值仿真，将两　

种方法的仿真结果进行对比，得到子导弹在减速段　

的速度对比曲线与弹道对比曲线如图３—４所示。　

从图中可以看出，两种方法的仿真结果吻合度好，验　

证了本文推导伞一弹系统模型的正确性，以及离散　

时间传递矩阵法应用在减速伞一子导弹系统中的可　

行性。　

图３减速段子导弹速度曲线　

Ｆｉｇ．３　Ｖｅｌｏｃｉｔｙ　ｃｕｒｖｅｓ　ｏｆ　ｓｕｂｍｉｓｓｌｅ　ｉｎ　ｄｅｓｃｅｎｔ　ｐｈａｓｅ　

图４减速段子导弹飞行弹道曲线　

Ｆｉｇ．４　Ｔｒａｊｅｃｔｏｒｙ　ｃｕｒｖｅｓ　ｏｆ　ｓｕｂｍｉｓｓｌｅ　ｉｎ　ｄｅｓｃｅｎｔ　ｐｈａｓｅ　

由于两种方法都存在误差，导致结果存在差　

别。采用离散时间传递矩阵法建立伞一弹系统模型　

的误差主要是由于时间步长和线性化方法选取不当　

而造成的。一般来讲，时间步长的选取应尽可能的　

小，但时间步长越小将导致仿真时间越长。关于线　

性化方法，可通过选取Ｈｏｕｂｏｈ方法提高精度，但是　

该方法需要前３个时刻的已知量来计算线性化系　

数　。因此，文中选取Ｎｅｗｍａｒｋ一　方法，通过调　

节参数　和　来减少误差。　

４结论　

本文给出了将离散时间传递矩阵法应用在伞一　

弹系统中的建模过程，推导了伞一弹系统在铅垂平　

ｌ８　宇航学报　第３３卷　

面内的传递矩阵和传递方程，并将数值仿真结果与　

牛顿一欧拉法建立模型的仿真结果相比较，结果吻　

合度好，验证了本文建立伞一弹系统模型的正确性　

和离散时间传递矩阵法应用在减速伞一子导弹系统　

中的可行性。本文采用的建模方法程式化程度高，　

比如伞体和弹体的连接方式换成吊带连接时，可将　

铰链的传递矩阵换成吊带的传递矩阵，且该建模方　

法采用矩阵运算，简化了数值算法，再者建立的模型　

属于线性离散系统，对系统稳定性的判断可通过直　

接构造Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数进行分析，无需进行小扰动线　

性化进行分析。由于本文算例针对的是减速伞，一　

定程度上简化了系统，模型在其它类型降落伞中的　

适用性还有待验证。　

参考文献　

余莉，李水生，明晓．降落伞弹性现象对伞衣载荷的影响　

［Ｊ］．宇航学报，２００８，２９（１）：３７５—３７９．［Ｙｕ　Ｌｉ，Ｌｉ　Ｓｈｕｉ—　

ｓｈｅｎｇ，Ｍｉｎｇ　Ｘｉａｏ．Ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｐａｒａｃｈｕｔｅ　ｅｌａｓｔｉｃ　ｂｅｈａｖｉｏｒ　ｏｎ　

ｔｈｅ　ｃａｎｏｐｙ　ｐａｙｌｏａｄ【Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆＡｓｔｒｏｎａｕｔｉｃｓ，２００８，２９（１）：　

３７５—３７９．］　

［２］　

Ｐｉｌｌａｓｃｈ　Ｄ　Ｗ．Ｓｈｅｎ　Ｙ　Ｃ．Ｐａｒａｃｈｕｔｅ／ｓｕｂｍｕｎｉｔｉｏｎ　ｓｙｓｔｅｍ　ｃｏｕｐｌｅｄ　

ｄｙｎａｍｉｃｓ［Ｒ］．ＡＩＡＡ　８４—０７８４，１９８４．　

［３］　

Ｄｏｈｅｒｒ　Ｋ　Ｆ，Ｓｃｈｉｌｌｉｎｇ　Ｈ．Ｎｉｎｅ－ｄｅｇｒｅｅ—ｏｆ－ｆｒｅｅｄｏｍ　ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　

ｒｏｔａｔｉｎｇ　ｐａｒａｃｈｕｔｅ　ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ａｉｒｃｒａｆｔ，１９９２，２９　

（５）：７７４—７８１．　

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［Ｊ］．宇航学报，１９９７，１８（４）：９３—９７．［Ｌｉ　Ｄａ　ｙａｏ，Ｌｉ　Ｄａ．　

ｚｈｉ．Ｍｏｔｉｏｎ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ａｎｄ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｃｒｉｔｅｒｉａ　ｏｆ　ｂｏｄｙ－ｂｉｐａｒａｃｈｕｔｅ　

ｓｙｓｔｅｍ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ａｓｔｍｎａｕｔｉｃｓ，１９９７，１８（４）：９３—９７．］　

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［６］　

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【ｊ］．航空学报，２００１，２２（６）：４８１—４８５．［Ｓｈｕ　Ｊｉｎｇ．ｒｏｎｇ，　

Ｗａｎｇ　Ｂａｏ—ｇｕｉ，Ｈａｎ　Ｚｉ－ｐｅｎｇ，ｅｔ　ａ１．Ａｎａｌｙｓｉｓ　ｔｈｒｅｅ　ｂｏｄｙ　ｍｏｎｉｔｉｏｎ　

ｏｆ　ｐａｒａｃｈｕｔｅ－ｐｒｏｊｅｃｔｉｌｅ　ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］．Ａｃｔａ　Ａｅｒｏｎａｕｔｉｃａ　ｅｔ　

Ａｓｔｒｏｎａｕｔｉｃａ　Ｓｉｎｉｃａ，２００１，２２（６）：４８１—４８５．］　

［７］　郭锐，刘荣忠．末敏弹刚柔耦合系统动力学模型及仿真［Ｊ］．　

兵工学报，２００７，２８（１）：１０一ｌ４．［Ｇｕｏ　Ｒｕｉ，Ｌｉｕ　Ｒｏｎｇ—ｚｈｏｎｇ．　

Ｄｙｎａｍｉｃｓ　ｍｏｄｅｌ　ａｎｄ　ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｒｉｇｉｄ　ａｎｄ　ｆｌｅｘｉｂｌｅ　ｃｏｕｐｌｉｎｇ　

ｓｙｓｔｅｍｓ　ｆｏｒ　ｔｅｒｍｉｎａｌ—ｓｅｎｓｉｔｉｖｅ　ｓｕｂｍｕｎｉｔｉｏｎ［Ｊ］．　Ａｃｔａ　

Ａｒｍａｍｅｎｔａｒ，２００７，２８（１）：１０—１４．］　

［８］　

Ｙａｎｇ　Ｃ　Ｘ．Ｋｅ　Ｐ．Ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ　ａｎｄ　ｖａｌｉｄａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｍｕｌｔｉ—ｂｏｄｙ　

ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ　ｓｏｆｔｗａｒｅ　ｏｆｒ　ｔｈｅ　ｈｅａｖｙ　ｃａｒｇｏ　ａｉｒｄｒｏｐ　ｓｙｓｔｅｍ［Ｒ］．ＡＩＡＡ　

２００７—２５７２，２００７．　

［９］　

Ｈａｊｄｕｋ　Ｊ，Ｍｏｌｄｅｎｈｏｗｅｒ　Ａ，Ｓｉｂｉｌｓｋｉ　Ｋ，ｅｔ　ａ１．Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ　

ｖａｌｉｄａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　ｍｏｄｅｌ　ｏｆ　ａｕｔｏｎｏｍｏｕｓ　ｇｌｉｄｉｎｇ　ｄｅｌｉｖｅｒｙ　

ｓｙｓｔｅｍ［Ｒ］．ＡＩＡＡ　２００７—２５７１，２００７．　

［１０］　朱勇，刘莉．基于拉格朗日力学的伞一弹系统动力学［Ｊ］．　

航空学报，２００９，３０（７）：１２０８—１２０３．［Ｚｈｕ　Ｙｏｎｇ，Ｌｉｕ　Ｌｉ．　

Ｄｙｎａｍｉｃ　ｍｏｄｅｌ　ｏｆ　ｐａｒａｃｈｕｔｅ—ｐｒｏｊｅｅｔｉｌｅ　ｓｙｓｔｅｍｓ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　Ｌａｇｒａｎｇｅ　

ｍｅｃｈａｎｉｃｓ［Ｊ］．Ａｃｔａ　Ａｅｒｏｎａｕｔｉｃａ　ｅｔ　Ａｓｔｒｏｎａｕｔｉｃａ　Ｓｉｎｉｃａ，２００９，　

３０（７）：１２０８—１２０３．］　

［１１］　

Ｒｕｉ　ｘＴ，Ｌｕ　Ｙ　Ｑ，Ｐａｎ　Ｌ，ｅｔ　ａ１．Ｄｉｓｃｒｅｔｅ　ｔｉｍｅ　ｔｒａｎｓｆｅｒ　ｍａｔｉｒｘ　

ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　ｍｕｌｔｉｂｏｄｙ　ｓｙｓｔｅｍ　ｄｙｎａｍｉｃｓ［Ｃ］．Ａｄｖａｎｃｅｓ　ｉｎ　

Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ　Ｍｕｈｉｂｏｄｙ　Ｄｙｎａｍｉｃｓ，Ｌｉｓｂｏｎ，Ｐｏｒｔｕｇａｌ，　

Ｓｅｐｔｅｍｂｅｒ，１９９９．　

［１２］　

芮筱亭，负来峰，陆毓琪，等．多体系统传递矩阵法及其应　

用［Ｍ］．北京：科学出版社，２００８：２６４—２７１．　

［１３］　李春明，芮筱亭．提高多体系统离散时间传递矩阵法计算精　

度的研究［Ｊ］．应用力学学报，２００４，２１（１）：５６—６１．［Ｌｉ　

Ｃｈｕｎ—ｍｉｎｇ，Ｒｕｉ　Ｘｉａｏ—ｔｉｎｇ．Ｉｍｐｒｏｖｅｍｅｎｔ　ｏｆ　ｔｈｅ　ａｃｃｕｒａｃｙ　ｏｆ　

ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｄｉｓｃｒｅｔｅ　ｔｉｍｅ　ｔｒａｎｓｆｅｒ　ｍａｔｉｒｘ　ｍｅｔｈｏｄ　ｏｆ　

ｍｕｈｉｂｏｄｙ　ｓｙｓｔｅｍ［Ｊ］．Ｃｈｉｎｅｓｅ　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ，　

２００４，２１（１）：５６—６１．］　

作者简介：师娇（１９８４一），女，博士研究生，研究方向为飞行　

器总体设计与飞行力学。　

通信地址：北京理工大学宇航学院１５号信箱（１０００８１）　

电话：（０１０）６８９１８６７８　

Ｅ－ｍａｉｌ：ｓｈｉｊｉａｏ２００３＠ｂｉｔ．ｅｄｕ．ｃａ　

（编辑：张宇平）