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2024年4月21日发(作者：mybatis 区别)
求和∑的运算法则
求和符号∑是数学中常见的符号之一，用于表示对一列数进行求
和运算。在数学中，求和符号的运用非常广泛，尤其是在微积分、概
率论、统计学等领域，都需要用到求和运算。本文将介绍求和符号的
基本概念、运算法则，以及一些常见的应用场景。
一、求和符号的基本概念
求和符号∑表示对一列数进行求和运算，其基本形式为：
$$sum_{i=1}^{n} a_i = a_1 + a_2 + cdots + a_n$$
其中，$a_i$ 表示第 $i$ 个数，$n$ 表示一共有 $n$ 个数需要
求和，$i=1$ 表示求和的起始位置，$i=n$ 表示求和的结束位置。求
和符号的上下标表示了求和的范围，上标表示求和的结束位置，下标
表示求和的起始位置。
例如，$sumlimits_{i=1}^{5} i$ 表示对 $1,2,3,4,5$ 这五个
数进行求和，其结果为 $1+2+3+4+5=15$。
二、求和符号的运算法则
求和符号具有以下运算法则：
1. 换元法则
如果 $j$ 是 $i$ 的一个函数，那么可以通过换元来改变求和符
号的下标。具体来说，如果 $j$ 是单调递增的函数，则有：
$$sum_{i=m}^{n} a_i = sum_{j=f(m)}^{f(n)} a_{f^{-1}(j)}$$
如果 $j$ 是单调递减的函数，则有：
$$sum_{i=m}^{n} a_i = sum_{j=f(n)}^{f(m)} a_{f^{-1}(j)}$$
- 1 -
例如，$sumlimits_{i=1}^{5} i^2=sumlimits_{j=1}^{5}
(j-1)^2$，其中 $j=i-1$。
2. 分拆法则
对于一个求和式，可以将其中的某些项拆分成两个或多个部分进
行求和，从而简化计算。具体来说，如果 $a_i=b_i+c_i$，则有：
$$sum_{i=1}^{n} a_i = sum_{i=1}^{n} b_i + sum_{i=1}^{n}
c_i$$
例如，$sumlimits_{i=1}^{n} (2i+1)=2sumlimits_{i=1}^{n}
i+sumlimits_{i=1}^{n} 1=2frac{n(n+1)}{2}+n=n^2+3n$。
3. 拆分法则
对于一个求和式，可以将其中的某些项拆分成多个部分进行求和，
从而更方便地进行计算。具体来说，如果
$a_i=sumlimits_{j=1}^{k_i} b_{i,j}$，则有：
$$sum_{i=1}^{n} a_i = sum_{i=1}^{n} sum_{j=1}^{k_i}
b_{i,j}$$
例如，$sumlimits_{i=1}^{n} sumlimits_{j=1}^{i}
j=sumlimits_{i=1}^{n} frac{i(i+1)}{2}=frac{n(n+1)(n+2)}{6}$。
4. 交换法则
对于两个求和式，可以交换它们的求和顺序，从而更方便地进行
计算。具体来说，如果 $a_{i,j}$ 是一个二维数组，那么有：
$$sum_{i=1}^{n} sum_{j=1}^{m} a_{i,j} = sum_{j=1}^{m}
sum_{i=1}^{n} a_{i,j}$$
- 2 -
例如，$sumlimits_{i=1}^{n} sumlimits_{j=1}^{n}
ij=sumlimits_{i=1}^{n} i sumlimits_{j=1}^{n}
j=frac{n^2(n+1)(n+2)}{4}$。
5. 提取公因式法则
对于一个求和式，可以提取其中的公因式，从而更方便地进行计
算。具体来说，如果 $a_i=ktimes b_i$，则有：
$$sum_{i=1}^{n} a_i = ktimes sum_{i=1}^{n} b_i$$
例如，$sumlimits_{i=1}^{n} 2^i=2sumlimits_{i=0}^{n-1}
2^i=2times frac{2^n-1}{2-1}=2^n-2$。
三、求和符号的常见应用场景
1. 等差数列求和
等差数列是一种特殊的数列，其中每个数与其前一个数之差都相
等。求等差数列的和是求和符号的一个典型应用场景。对于一个首项
为 $a_1$，公差为 $d$，共有 $n$ 项的等差数列，其和为：
$$S_n=sum_{i=1}^{n} a_i=frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$$
例如，求 $1,3,5,7,9$ 这五个数的和，由于这是一个首项为 $1$，
公差为 $2$，共有 $5$ 项的等差数列，因此有：
$$sum_{i=1}^{5} (2i-1)=1+3+5+7+9=25$$
2. 平均数求和
平均数是一组数据的总和除以数据个数，因此求一组数据的平均
数可以用求和符号来表示。设 $x_1,x_2,cdots,x_n$ 是一组数据，
则其平均数为：
- 3 -
$$bar{x}=frac{1}{n}sum_{i=1}^{n} x_i$$
例如，求 $1,2,3,4,5$ 这五个数的平均数，由于这是一组数据，
因此有：
$$bar{x}=frac{1}{5}sum_{i=1}^{5} i=frac{1}{5}times
15=3$$
3. 傅里叶级数求和
傅里叶级数是一种将周期函数分解成一系列正弦函数和余弦函
数的方法，其求和式中常常涉及到求和符号。例如，对于一个周期为
$2pi$ 的函数 $f(x)$，其傅里叶级数为：
$$f(x)=frac{a_0}{2}+sum_{n=1}^{infty} (a_ncos nx+b_nsin
nx)$$
其中，$a_0,a_n,b_n$ 是系数，可以通过求和符号来计算。具体
来说，有：
$$a_0=frac{1}{pi}int_{-pi}^{pi} f(x)dx$$
$$a_n=frac{1}{pi}int_{-pi}^{pi} f(x)cos nx dx$$
$$b_n=frac{1}{pi}int_{-pi}^{pi} f(x)sin nx dx$$
例如，对于一个周期为 $2pi$ 的方波函数 $f(x)$，其傅里叶级
数为：
$$f(x)=frac{4}{pi}sum_{n=1}^{infty} frac{sin
(2n-1)x}{2n-1}$$
其中，系数 $b_n=frac{4}{pi}frac{(-1)^{n+1}}{2n-1}$。
四、总结
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求和符号是数学中常见的符号之一，用于表示对一列数进行求和
运算。求和符号具有换元法则、分拆法则、拆分法则、交换法则和提
取公因式法则等运算法则。求和符号的应用场景非常广泛，包括等差
数列求和、平均数求和、傅里叶级数求和等。掌握求和符号的运算法
则和应用场景，对于理解和解决数学问题非常有帮助。
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