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2024年4月16日发(作者：自助建站和定制网站的区别)
第三章 基本波函数
3.1 标量波函数
1. 直角坐标系中的标量函数
定义：标量波函数是齐次标量亥姆霍兹方程的基本解，也就是标量亥姆霍兹方程对应
算子的本征函数。标量亥姆兹方程的解可表示为
ψh
(
k
x
x
)
h
(
k
y
y
)
h
(
k
z
z
)
（3-5）
解谐函数类型：
h(k
x
x)
k
x
'
k
x
''
jk
x
函数的表示 波动特性
向
x
方向传播的等幅行波
随
x
衰减的凋落波
向
x
方向传播的衰减行波
向
x
方向传播的等幅行波
随
x
衰减的凋落波
向
x
方向传播的衰减行波
沿
x
分布的正弦驻波
两种凋落波的合成
沿
x
分布的余弦驻波
两种凋落波的合成
''
k
x
0
0
e
e
e
''
k
x
x
'
jk
x
x
''
k
x
x
e
jk
x
x
k
'
x
复数
k
x
''
k
x
e
'
''
k
x
x
'
jk
x
x
0
e
jk
x
x
e
'
e
jk
x
x
k
'
x
0
0
0
0
0
复数
k
x
sink
x
x
cosk
x
x
''
k
x
'
k
x
''
k
x
'
k
x
ee
jk
x
x
'
sink
x
x
sinhk
x
''
x
cosk
x
'
x
coshk
x
''
x
''
k
x
x
2. 圆柱坐标系中的标量波函数
第一类柱贝塞尔函数 通常称为贝塞尔函数，以表示
J
n
(k
ρ
ρ)
，称为第n 阶贝塞尔函数。
当n为整数时，可由下列级数表示
J
n
(k
ρ
ρ)
k0
(1)
k
kρ
1
(
ρ
)
n
k!(nk)!2
2
k
（3-19）
第二类贝塞尔函数 又称为诺依曼函数，以
为
N
n
(k
ρ
ρ)
表示。它与第一类贝塞尔函数的关系
J
n
(k
ρ
ρ)
k
k
ρ
ρ
n
1
(1)()
k!(nk)!2
0
k
2
k
（3-20）
当 时
ρ0
时
N
n
(k
ρ
ρ)
。当n为整数时，
N
n
(k
ρ
ρ)
。当n 为整数时，为贝塞尔方程
的另一个线性无关的解。
3. 圆球坐标系中的标量波函数
P
n
(x)
1d
n
2
(x1)
n
nn
2n!dx
（3-37）
Q
n
(x)
11x
P
n
(x)(ln)
21x
n
k1
1
P
k1
(x)P
nk
(x)
k
（3-38）
式（3-37）和式（3-38）分别称为第一类勒让德函数
P
n
(x)
和第二类勒让德函数
Q
n
(x)
。
3.2平面波、柱面波和球面波用标量基本波函数展开及应用
1. 平面波用圆柱面基本波函数展开
向
x
方向传播得平面波用柱面波基本波函数展开为
e
jkx
n
j
n
J
n
(kρ)e
jnφ
（3-47）
2. 柱面波用基本波函数展开
利用贝塞尔函数的叠加定理，以
ρ'
为中心轴的柱面波可转变为以Z轴中心轴的柱面
波，即
Ψ
j
(2)
H
0
(
k
ρ
4
ρ
'
)
j
4
(2)
J
n
(kρ)H
n
(kρ
'
)e
jn(φ
n
φ
'
)
;ρ
;ρ
ρ
'
ρ
'
J
n
(kρ)H
n
'(2)
n
(kρ)e
jn(φφ
'
)
（3-50）
3. 平面波用球面波基本波函数展开
e
jkrcosθ
n0
j
n
(2n1)j
n
(kr)P
n
(cosθ)
（3-56）
4. 球面波用基本波函数展开
e
jkrr
'
4
π
rr
'
jk
(2)
h
0
(kr
4
π
r
'
)
jk
4
π
jk
4
π
(2)
(2n1)h
n
(kr
'
)j
n
(kr)P
n
(cosθ);r
n0
(2)
(2n1)j
n
(kr
'
)h
n
(kr)P
n
(cosθ);r
n0
r
'
r
'
5. 点源场的平面波展开
jk
x
(xx
'
)k
y
(yy
'
)k
z
zz
'
Ψ
j
8
π
2
e
k
y
k
x
k
z
dk
x
dk
y
（3-69）
3.3 理想导电圆柱对平面波的散射
e
jk
2j
J
n
(ka)
jn
(2)
(ka)
e
k
n
H
n
E
s
z
（3-79）
上述散射场式（3-79）中级数的收敛快慢与理想导电圆柱半径的相对大小有关。
3.4 理想导电圆柱对柱面波的散射
I
4
2j
jk
'
n
J
n
(ka)
(2)jn(
')
ejH(k
)e
0
(2)
k
'H
n
(ka)
n
（3-88）
E
s
z
3.5 理想导电劈对柱面波的散射
E
z
2E
0
j
m1
m/2
2
'
2
J
m/2
(k
)sinsin
mm
（3-98）
3.6 理想导电圆筒上的孔隙辐射
kL
cos
)
VLe
2
E
3
ar
1(
kL
cos
)
2
2
jkr
cos(
j
n
e
jn
2
n
H
n
(kasin
)
3.7 理想导体圆球对球面波的散射
jk
Il
(2n1)h
(2)
n
(kr
'
)j
n
(rr'
A
i
4
kr)P
n
(cos
);
n0
z
jk
Il
4
(2n1)j
n
(kr')h
(2)
n
(kr)P
n
(cos
);rr'
n0
(3-134)
3.8 分层媒质上的电偶极子
反射波及透射波均可看成垂直电偶极子产生的场：
jk
1
2
k
2
zz'
A
i
Il
R(k
(1)
)H
0
(k
)e
z
ju
1
8
k
2
1
k
2
k
dk
jk
2
k
2
zz'
A
i
T(kH
(1)
)
0
(k
)e
2
z
ju
1
Il
8
k
2
2
k
2
k
dk
反射系数和透射系数：
R
2
2
1
1
2
2
1
1
T(1R)
2
j(
2
1
)d
e
1
式中
22
1
k
1
k
k
22
2
2
k
3-139）
3-140）
3-144）
3-145）
3-146）
3-147）
（
（
（
（
（
（
3.9 矢量波函数
电磁场满足矢量亥姆霍兹方程，为了直接求解矢量亥姆霍兹方程，需要引入矢量波函
数，矢量波函数是3个独立的矢量函数，分别用
L
、
M
及
N
表示，其定义为
L
l
（3-148a）
M(a
M
)
（3-148b）
N
1
(a
N
)
k
（3-148c）
三个矢量波函数具有以下性质：
（1）
L
为无旋场；
（2）
M
及
N
均为无散场；
（3）
L
、
M
及
N
之间两两正交。
可以看出性质（1）和（2）是显然的，性质（3）也容易证明。于是
L
、
M
及
N
构成正
交函数系，且可证明是完备的。这样
L
、
M
及
N
的线性组合可构成矢量亥姆霍兹方程的完
备解。
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