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2024年4月16日发(作者：shell数组的用法)
§7.5向量函数
定义1：设有变数
t
和变向量
A
，如果对于
t
在某个数集内的每一个值，按照某
种法则，都有一个确定的向量
A
与之对应，则称
A
为数性变量
t
的向量函数，
记为
AA(t)
。
如果在空间直角坐标系中向量
A
的三个坐标为
A
x
(t)
，
A
y
(t)
，
A
z
(t)
，则
A
的坐
标表示式为
A(t)A
x
(t)iA
y
(t)jA
z
(t)k
或
A(t){A
x
(t),A
y
(t),A
z
(t)}
。
若将
A(t)
的起点放在坐标原点，则当
t
变化时，
A(t)
的终点
M
就描出一条曲线，
此曲线称为向量函数
A(t)
的矢端曲线。向量函数
A(t)
的坐标表示式称为曲线的向
量方程。
例如向量函数
rr
at
（其中
r
{x
,y
,z
}
，
a{l,m,n}
），
t
）的图
形是一条过点
P
(x
,y
,z
)
，以向量
a
为方向向量的直线。
7. 5. 1 向量函数的极限与连续
定义2 设向量函数
AA(t)
在
t
的某邻域内有定义（在
t
可以没有定义），
A
为一
常向量，若
0
，
0
，
0tt
时，恒有
A(t)A
，则称
t 趋向于 t
时 ，
向量函数
A(t)
有极限
A
，记为
limA(t)A
.
tt
若
A(t){A
x
(t),A
y
(t),A
z
(t)}
，
A
{A
ox
,A
oy
(t),A
oz
}
，
则
limA(t)A
limA
x
(t)A
ox
, limA
y
(t)A
oy
, limA
z
(t)A
oz
.
tt
tt
tt
tt
定义3 设向量函数
A(t){A
x
(t),A
y
(t),A
z
(t)}
在
t
的某邻域内有定义，如果
A
x
(t),A
y
(t),A
z
(t)
在
t
连续，则称向量函数
A(t)
在
t
连续。
1
若
A
x
(t),A
y
(t),A
z
(t)
在某区间内连续，则称向量函数
A(t)
在该区间内连续。
7. 5. 2 向量函数的导数
定义4 设向量函数
A(t){A
x
(t),A
y
(t),A
z
(t)}
，若
A
x
(t),A
y
(t),A
z
(t)
都在
t
处可导，
则称
A(t)
在
t
处可导，其导数
A
(t
){A
x
(t
),A
y
(t
),A
z
(t
)}
。
若
A
x
(t),A
y
(t),A
z
(t)
都在某区间内可导，则称
A(t)
在该区间内可导，其导函数
为
A
(t){A
x
(t),A
y
(t),A
z
(t)}
。
向量函数
A(t)
的微分定义为
dAA
(t)dt (dtt)
。
当
dt0
时，
dA
与
A
(t)
同向；当
dt0
时，
dA
与
A
(t)
反向。
dA
的坐标表示式为
dA{A
x
(t)dt,A
y
(t)dt,A
z
(t)dt}{dA
x
,dA
y
,dA
z
}
。
特别地，对于矢径函数
r(t){x(t),y(t),z(t)}
，有
dr{dx,dy,dz}
，
222
dr(dx)(dy)(dz)
。
7. 5. 3 向量函数的积分
定义5 设向量函数
A(t){A
x
(t),A
y
(t),A
z
(t)}
，若存在向量函数
B(t){B
x
(t),B
y
(t),B
z
(t)}
，使得
B
z
(t)A
z
(t)
，则称
x
(t)A
x
(t)
，
B
y
(t)A
y
(t)
，
B
为的一个原函数。的原函数的全体称为
B(t)A(t)A(t)A(t)
的不定积分，记为
A(t)dtB(t)C
。 A(t)dt
，且
A(t)dt
的坐标表示式为
A(t)dt{
A
x
(t)dt,
A
y
(t)dt,
A
z
(t)dt}
。
定义6 设向量函数
A(t){A
x
(t),A
y
(t),A
z
(t)}
在区间
[,]
上连续，定义
A(t)
在
[,]
上的定积分为
A(t)dt{
A
x
(t)dt,
A
y
(t)dt,
A
z
(t)dt}
。
向量函数的不定积分及定积分与数量函数的不定积分及定积分有完全类似的性
质。
2
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