线性规划模型及matlab程序求解

§1 线性规划模型

一、线性规划课题：

实例1：生产计划问题

假设某厂计划生产甲、乙两种产品，现库存主要材料有A类3600公斤，B类2000

公斤，C类3000公斤。每件甲产品需用材料A类9公斤，B类4公斤，C类3公斤。每

件乙产品，需用材料A类4公斤，B类5公斤，C类10公斤。甲单位产品的利润70元，

乙单位产品的利润120元。问如何安排生产，才能使该厂所获的利润最大。

建立数学模型：

设x

1

、x

2

分别为生产甲、乙产品的件数。f为该厂所获总润。

max f=70x

1

+120x

2

s.t 9x

1

+4x

2

≤3600

4x

1

+5x

2

≤2000

3x

1

+10x

2

≤3000

x

1

,x

2

≥0

归结出规划问题：目标函数和约束条件都是变量x的线性函数。

形如： (1) min f

T

X

s.t A X≤b

Aeq X =beq

lb≤X≤ub

其中X为n维未知向量，f

T

=[f

1

,f

2

,…f

n

]为目标函数系数向量，小于等于约束系数矩阵

A为m×n矩阵，b为其右端m维列向量，Aeq为等式约束系数矩阵，beq为等式约束右

端常数列向量。lb,ub为自变量取值上界与下界约束的n维常数向量。

二．线性规划问题求最优解函数：

调用格式： x=linprog(f,A,b)

x=linprog(f,A,b,Aeq,beq)

x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)

x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)

[x,fval]=linprog(…)

[x, fval, exitflag]=linprog(…)

[x, fval, exitflag, output]=linprog(…)

[x, fval, exitflag, output, lambda]=linprog(…)

说明：x=linprog(f,A,b)返回值x为最优解向量。

x=linprog(f,A,b,Aeq,beq) 作有等式约束的问题。若没有不等式约束，则令A=[ ]、

b=[ ] 。

x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) 中lb ,ub为变量x的下界和上界，x

0为初值点，options为指定优化参数进行最小化。

Options的参数描述：

Display 显示水平。 选择’off’ 不显示输出；选择’iter’显示每一 步迭代过程

的输出；选择’final’ 显示最终结果。

MaxFunEvals 函数评价的最大允许次数

Maxiter 最大允许迭代次数

TolX x处的终止容限

[x,fval]=linprog(…) 左端 fval 返回解x处的目标函数值。

[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(f,A,b, Aeq,beq,lb,ub,x0) 的输出部分：

exitflag 描述函数计算的退出条件：若为正值，表示目标函数收敛于解x处；若为负

值，表示目标函数不收敛；若为零值，表示已经达到函数评价或迭代的最大次数。

output 返回优化信息：ions表示迭代次数；thm表示所

采用的算法；unt表示函数评价次数。

lambda 返回x处的拉格朗日乘子。它有以下属性：

-lambda的下界；

-lambda的上界；

n-lambda的线性不等式；

-lambda的线性等式。

三． 举例

例1：求解线性规划问题：

max f=2x

1

+5x

2

s.t x

1

≤4

x

2

≤3

x

1

+x

2

≤8

x

1

,x

2

≥0

先将目标函数转化成最小值问题：min(-f)=- 2x

1

-5x

2

程序：

f=[-2 -5];

A=[1 0;0 1;1 1];

b=[4;3;8];

[x,fval]=linprog(f,A,b)

f=fval*(-1)

结果： x = 2

3

fval = -19.0000

maxf = 19

例2：minf=5x

1

-x

2

+2x

3

+3x

4

-8x

5

s.t –2x

1

+x

2

-x

3

+x

4

-3x

5

≤6

2x

1

+x

2

-x

3

+4x

4

+x

5

≤7

0≤x

j

≤15 j=1,2,3,4,5

程序：

f=[5 -1 2 3 -8];

A=[-2 1 -1 1 -3;2 1 -1 4 1];

b=[6;7];

lb=[0 0 0 0 0];

ub=[15 15 15 15 15];

[x,fval]=linprog(f,A,b,[],[],lb,ub)

结果：x =

0.0000

0.0000

8.0000

0.0000

15.0000

minf =

-104

例3：求解线性规划问题：

min f=5x

1

+x

2

+2x

3

+3x

4

+x

5

s.t –2x

1

+x

2

-x

3

+x

4

-3x

5

≤1

2x

1

+3x

2

-x

3

+2x

4

+x

5

≤-2

0≤x

j

≤1 j=1,2,3,4,5

程序：

f=[5 1 2 3 1];

A=[-2 1 -1 1 -3;2 3 -1 2 1];

b=[1;-2];

lb=[0 0 0 0 0];

ub=[1 1 1 1 1];

[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(f,A,b,[],[],lb,u

b) 运行结果：

Exiting: One or more of the residuals, duality gap, or total relative erro

r

has grown 100000 times greater than its minimum value so far:

the primal appears to be infeasible (and the dual unbounded).

(The dual residual < TolFun=1.00e-008.)

x = 0.0000

0.0000

1.1987

0.0000

0.0000

fval =

2.3975

exitflag =

-1

output =

iterations: 7

cgiterations: 0

algorithm: 'lipsol'

lambda =

ineqlin: [2x1 double]

eqlin: [0x1 double]

upper: [5x1 double]

lower: [5x1 double]

显示的信息表明该问题无可行解。所给出的是对约束破坏最小的解。

例4：求解实例1的生产计划问题

建立数学模型：

设x

1

、x

2

分别为生产甲、乙产品的件数。f为该厂所获总润。

max f=70x

1

+120x

2

s.t 9x

1

+4x

2

≤3600

4x

1

+5x

2

≤2000

3x

1

+10x

2

≤3000

x

1

,x

2

≥0

将其转换为标准形式：

min f=-70x

1

-120x

2

s.t 9x

1

+4x

2

≤3600

4x

1

+5x

2

≤2000

3x

1

+10x

2

≤3000

x

1

,x

2

≥0

程序： f=[-70 -120];

A=[9 4 ;4 5;3 10 ];

b=[3600;2000;3000];

lb=[0 0];

ub=[];

[x,fval,exitflag]=linprog(f,A,b,[],[],lb,ub)

maxf=-fval

结果： x =

200.0000

240.0000

fval =

-4.2800e+004

exitflag =

1

maxf =

4.2800e+004

例5：求解实例2

建立数学模型：

max f=0.15x

1

+0.1x

2

+0.08 x

3

+0.12 x

4

s.t x

1

-x

2

- x

3

- x

4

≤0

x

2

+ x

3

- x

4

≥0

x

1

+x

2

+x

3

+ x

4

=1

x

j

≥0 j=1,2,3,4

将其转换为标准形式：

min z=-0.15x

1

-0.1x

2

-0.08 x

3

-0.12 x

4

s.t x

1

-x

2

- x

3

- x

4

≤0

-x

2

- x

3

+ x

4

≤0

x

1

+x

2

+x

3

+ x

4

=1

x

j

≥0 j=1,2,3,4

程序： f = [-0.15;-0.1;-0.08;-0.12];

A = [1 -1 -1 -1

0 -1 -1 1];

b = [0; 0];

Aeq=[1 1 1 1];

beq=[1];

lb = zeros(4,1);

[x,fval,exitflag] = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb)

f=-fval

结果：x =

0.5000

0.2500

0.0000

0.2500

fval =

-0.1300

exitflag =

1

f =

0.1300

即4个项目的投资百分数分别为50%，25%，0, 25%时可使该公司获得最大的收

益，其最大收益可到达13%。过程正常收敛。

MATLAB的语言特点

一种语言之所以能如此迅速地普及，显示出如此旺盛的生命力，是由于它有着不同于

其他语言的特点，正如同FORTRAN和C等高级语言使人们摆脱了需要直接对计算机硬件

资源进行操作一样，被称作为第四代计算机语言的MATLAB，利用其丰富的函数资源，使

编程人员从繁琐的程序代码中解放出来。MATLAB最突出的特点就是简洁。MATLAB用更

直观的，符合人们思维习惯的代码，代替了C和 FORTRAN语言的冗长代码。MATLAB

给用户带来的是最直观，最简洁的程序开发环境。以下简单介绍一下MATLAB的主要特点。

1）。语言简洁紧凑，使用方便灵活，库函数极其丰富。MATLAB程序书写形式自由，

利用起丰富的库函数避开繁杂的子程序编程任务，压缩了一切不必要的编程工作。由于库

函数都由本领域的专家编写，用户不必担心函数的可靠性。可以说，用MATLAB进行科技

开发是站在专家的肩膀上。

具有FORTRAN和C等高级语言知识的读者可能已经注意到，如果用FORTRAN或C

语言去编写程序，尤其当涉及矩阵运算和画图时，编程会很麻烦。例如，如果用户想求解

一个线性代数方程，就得编写一个程序块读入数据，然后再使用一种求解线性方程的算法

（例如追赶法）编写一个程序块来求解方程，最后再输出计算结果。在求解过程中，最麻

烦的要算第二部分。解线性方程的麻烦在于要对矩阵的元素作循环，选择稳定的算法以及

代码的调试动不容易。即使有部分源代码，用户也会感到麻烦，且不能保证运算的稳定性。

解线性方程的程序用FORTRAN和C这样的高级语言编写，至少需要四百多行，调试这种

几百行的计算程序可以说很困难。以下用MATLAB编写以上两个小程序的具体过程。

MATLAB求解下列方程，并求解矩阵A的特征值。

Ax=b,其中：

A= 32 13 45 67

23 79 85 12

43 23 54 65

98 34 71 35

b= 1

2

3

4

解为：x=Ab;设A的特征值组成的向量e，e=eig（A）。

可见，MATLAB的程序极其简短。更为难能可贵的是，MATLAB甚至具有一定的智能

水平，比如上面的解方程，MATLAB会根据矩阵的特性选择方程的求解方法，所以用户根

本不用怀疑MATLAB的准确性。

2）运算符丰富。由于MATLAB是用C语言编写的，MATLAB提供了和C语言几乎

一样多的运算符，灵活使用MATLAB的运算符将使程序变得极为简短。

3）MATLAB既具有结构化的控制语句（如for循环，while循环，break语句和if

语句），又有面向对象编程的特性。

4）程序限制不严格，程序设计自由度大。例如，在MATLAB里，用户无需对矩阵预

定义就可使用。

5）程序的可移植性很好，基本上不做修改就可以在各种型号的计算机和操作系统上运

行。

6）MATLAB的图形功能强大。在FORTRAN和C语言里，绘图都很不容易，但在

MATLAB里，数据的可视化非常简单。MATLAB还具有较强的编辑图形界面的能力。

7）MATLAB的缺点是，它和其他高级程序相比，程序的执行速度较慢。由于MATLAB

的程序不用编译等预处理，也不生成可执行文件，程序为解释执行，所以速度较慢。

8）功能强大的工具箱是MATLAB的另一特色。MATLAB包含两个部分：核心部分和

各种可选的工具箱。核心部分中有数百个核心内部函数。其工具箱又分为两类：功能性工

具箱和学科性工具箱。功能性工具箱主要用来扩充其符号计算功能，图示建模仿真功能，

文字处理功能以及与硬件实时交互功能。功能性工具箱用于多种学科。而学科性工具箱是

专业性比较强的，如control,toolbox,signl proceessing toolbox,commumnication

toolbox等。这些工具箱都是由该领域内学术水平很高的专家编写的，所以用户无需编写

自己学科范围内的基础程序，而直接进行高，精，尖的研究。

9）源程序的开放性。开放性也许是MATLAB最受人们欢迎的特点。除内部函数以外，

所有MATLAB的核心文件和工具箱文件都是可读可改的源文件，用户可通过对源文件的修

改以及加入自己的文件构成新的工具箱。

MATLAB入门教程

1．MATLAB的基本知识

1-1、基本运算与函数

在MATLAB下进行基本数学运算，只需将运算式直接打入提示号（>>）之後，并按

入Enter键即可。例如：

>> (5*2+1.3-0.8)*10/25

ans =4.2000

MATLAB会将运算结果直接存入一变数ans，代表MATLAB运算後的答案（Answer）

并显示其数值於萤幕上。

小提示： ">>"是MATLAB的提示符号（Prompt），但在PC中文视窗系统下，由於

编码方式不同，此提示符号常会消失不见，但这并不会影响到MATLAB的运算结果。

我们也可将上述运算式的结果设定给另一个变数x：

x = (5*2+1.3-0.8)*10^2/25

x = 42

此时MATLAB会直接显示x的值。由上例可知，MATLAB认识所有一般常用到的加

（+）、减（-）、乘（*）、除（/）的数学运算符号，以及幂次运算（^）。

小提示： MATLAB将所有变数均存成double的形式，所以不需经过变数宣告

（Variable declaration）。MATLAB同时也会自动进行记忆体的使用和回收，而不必像C

语言,必须由使用者一一指定.这些功能使的MATLAB易学易用，使用者可专心致力於撰写

程式，而不必被软体枝节问题所干扰。

若不想让MATLAB每次都显示运算结果，只需在运算式最後加上分号（；）即可，如

下例：

y = sin(10)*exp(-0.3*4^2);

若要显示变数y的值，直接键入y即可：

>>y

y =-0.0045

在上例中，sin是正弦函数，exp是指数函数，这些都是MATLAB常用到的数学函数。

下表即为MATLAB常用的基本数学函数及三角函数：

小整理：MATLAB常用的基本数学函数

abs(x)：纯量的绝对值或向量的长度

angle(z)：复 数z的相角(Phase angle)

sqrt(x)：开平方

real(z)：复数z的实部

imag(z)：复数z的虚 部

conj(z)：复数z的共轭复数

round(x)：四舍五入至最近整数

fix(x)：无论正负，舍去小数至最近整数

floor(x)：地板函数，即舍去正小数至最近整数

ceil(x)：天花板函数，即加入正小数至最近整数

rat(x)：将实数x化为分数表示

rats(x)：将实数x化为多项分数展开

sign(x)：符号函数 (Signum function)。

当x<0时，sign(x)=-1；

当x=0时，sign(x)=0;

当x>0时，sign(x)=1。

> 小整理：MATLAB常用的三角函数

sin(x)：正弦函数

cos(x)：馀弦函数

tan(x)：正切函数

asin(x)：反正弦函数

acos(x)：反馀弦函数

atan(x)：反正切函数

atan2(x,y)：四象限的反正切函数

sinh(x)：超越正弦函数

cosh(x)：超越馀弦函数

tanh(x)：超越正切函数

asinh(x)：反超越正弦函数

acosh(x)：反超越馀弦函数

atanh(x)：反超越正切函数

变数也可用来存放向量或矩阵，并进行各种运算，如下例的列向量（Row vector）运

算：

x = [1 3 5 2];

y = 2*x+1

y = 3 7 11 5

小提示：变数命名的规则

1.第一个字母必须是英文字母 2.字母间不可留空格 3.最多只能有19个字母，

MATLAB会忽略多馀字母

我们可以随意更改、增加或删除向量的元素：

y(3) = 2 % 更改第三个元素

y =3 7 2 5

y(6) = 10 % 加入第六个元素

y = 3 7 2 5 0 10

y(4) = [] % 删除第四个元素，

y = 3 7 2 0 10

在上例中，MATLAB会忽略所有在百分比符号（%）之後的文字，因此百分比之後的

文字均可视为程式的注解（Comments）。MATLAB亦可取出向量的一个元素或一部份来

做运算：

x(2)*3+y(4) % 取出x的第二个元素和y的第四个元素来做运算

ans = 9

y(2:4)-1 % 取出y的第二至第四个元素来做运算

ans = 6 1 -1

在上例中，2:4代表一个由2、3、4组成的向量

若对MATLAB函数用法有疑问，可随时使用help来寻求线上支援（on-line help）：

help linspace

小整理：MATLAB的查询命令

help：用来查询已知命令的用法。例如已知inv是用来计算反矩阵，键入help inv即

可得知有关inv命令的用法。（键入help help则显示help的用法，请试看看！） lookfor：

用来寻找未知的命令。例如要寻找计算反矩阵的命令，可键入 lookfor inverse，MATLAB

即会列出所有和关键字inverse相关的指令。找到所需的命令後 ，即可用help进一步找

出其用法。（lookfor事实上是对所有在搜寻路径下的M档案进行关键字对第一注解行的

比对，详见後叙。）

将列向量转置（Transpose）後，即可得到行向量（Column vector）：

z = x'

z = 4.0000

5.2000

6.4000

7.6000

8.8000

10.0000

不论是行向量或列向量，我们均可用相同的函数找出其元素个数、最大值、最小值等：

length(z) % z的元素个数

ans = 6

max(z) % z的最大值

ans = 10

min(z) % z的最小值

ans = 4

小整理：适用於向量的常用函数有：

min(x): 向量x的元素的最小值

max(x): 向量x的元素的最大值

mean(x): 向量x的元素的平均值

median(x): 向量x的元素的中位数

std(x): 向量x的元素的标准差

diff(x): 向量x的相邻元素的差

sort(x): 对向量x的元素进行排序（Sorting）

length(x): 向量x的元素个数

norm(x): 向量x的欧氏（Euclidean）长度

sum(x): 向量x的元素总和

prod(x): 向量x的元素总乘积

cumsum(x): 向量x的累计元素总和

cumprod(x): 向量x的累计元素总乘积

dot(x, y): 向量x和y的内 积

cross(x, y): 向量x和y的外积 （大部份的向量函数也可适用於矩阵，详见下述。）

若要输入矩阵，则必须在每一列结尾加上分号（；），如下例：

A = [1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12];

A =

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

同样地，我们可以对矩阵进行各种处理：

A(2,3) = 5 % 改变位於第二列，第三行的元素值

A =

1 2 3 4

5 6 5 8

9 10 11 12

B = A(2,1:3) % 取出部份矩阵B

B = 5 6 5

A = [A B'] % 将B转置後以行向量并入A

A =

1 2 3 4 5

5 6 5 8 6

9 10 11 12 5

A(:, 2) = [] % 删除第二行（：代表所有列）

A =

1 3 4 5

5 5 8 6

9 11 12 5

A = [A; 4 3 2 1] % 加入第四列

A =

1 3 4 5

5 5 8 6

9 11 12 5

4 3 2 1

A([1 4], :) = [] % 删除第一和第四列（：代表所有行）

A =

5 5 8 6

9 11 12 5

这几种矩阵处理的方式可以相互叠代运用，产生各种意想不到的效果，就看各位的巧

思和创意。

小提示：在MATLAB的内部资料结构中,每一个矩阵都是一个以行为主

（Column-oriented ）的阵列（Array）因此对於矩阵元素的存取，我们可用一维或二维

的索引（Index）来定址。举例来说，在上述矩阵A中，位於第二列、第三行的元素可写

为A(2,3) （二维索引）或A(6)（一维索引，即将所有直行进行堆叠後的第六个元素）。

此外，若要重新安排矩阵的形状，可用reshape命令：

B = reshape(A, 4, 2) % 4是新矩阵的列数，2是新矩阵的行数

B =

5 8

9 12

5 6

11 5

小提示： A(:)就是将矩阵A每一列堆叠起来，成为一个行向量，而这也是MATLAB

变数的内部储存方式。以前例而言，reshape(A, 8, 1)和A(:)同样都会产生一个8x1的矩阵。

MATLAB可在同时执行数个命令，只要以逗号或分号将命令隔开：

x = sin(pi/3); y = x^2; z = y*10,

z =

7.5000

若一个数学运算是太长，可用三个句点将其延伸到下一行：

z = 10*sin(pi/3)* ...

sin(pi/3);

若要检视现存於工作空间（Workspace）的变数，可键入who：

who

Your variables are:

testfile x

这些是由使用者定义的变数。若要知道这些变数的详细资料，可键入：

whos

Name Size Bytes Class

A 2x4 64 double array

B 4x2 64 double array

ans 1x1 8 double array

x 1x1 8 double array

y 1x1 8 double array

z 1x1 8 double array

Grand total is 20 elements using 160 bytes

使用clear可以删除工作空间的变数：

clear A

A

Undefined function or variable 'A'.

另外MATLAB有些永久常数（Permanent constants），虽然在工作空间中看不 到，

但使用者可直接取用，例如：

pi

ans = 3.1416

下表即为MATLAB常用到的永久常数。

小整理：MATLAB的永久常数 i或j：基本虚数单位

eps：系统的浮点（Floating-point）精确度

inf：无限大， 例如1/0 nan或NaN：非数值（Not a number） ，例如0/0

pi：圆周率 p（= ）

realmax：系统所能表示的最大数值

realmin：系统所能表示的最小数值

nargin: 函数的输入引数个数

nargin: 函数的输出引数个数

1-2、重复命令

最简单的重复命令是for圈（for-loop），其基本形式为：

for 变数 = 矩阵；

运算式；

end

其中变数的值会被依次设定为矩阵的每一行，来执行介於for和end之间的运算式。

因此,若无意外情况，运算式执行的次数会等於矩阵的行数。

举例来说，下列命令会产生一个长度为6的调和数列（Harmonic sequence）：

x = zeros(1,6); % x是一个16的零矩阵

for i = 1:6,

x(i) = 1/i;

end

在上例中，矩阵x最初是一个16的零矩阵，在for圈中，变数i的值依次是1到6，

因此矩阵x的第i个元素的值依次被设为1/i。我们可用分数来显示此数列：

format rat % 使用分数来表示数值

disp(x)

1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6

for圈可以是多层的，下例产生一个16的Hilbert矩阵h，其中为於第i列、第j行的

元素为

h = zeros(6);

for i = 1:6,

for j = 1:6,

h(i,j) = 1/(i+j-1);

end

end

disp(h)

1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6

1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7

1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8

1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 1/9

1/5 1/6 1/7 1/8 1/9 1/10

1/6 1/7 1/8 1/9 1/10 1/11

小提示：预先配置矩阵 在上面的例子，我们使用zeros来预先配置（Allocate）了一

个适当大小的矩阵。若不预先配置矩阵，程式仍可执行，但此时MATLAB需要动态地增加

（或减小）矩阵的大小，因而降低程式的执行效率。所以在使用一个矩阵时，若能在事前

知道其大小，则最好先使用zeros或ones等命令来预先配置所需的记忆体（即矩阵）大

小。

在下例中，for圈列出先前产生的Hilbert矩阵的每一行的平方和：

for i = h,

disp(norm(i)^2); % 印出每一行的平方和

end

1299/871

282/551

650/2343

524/2933

559/4431

831/8801

在上例中，每一次i的值就是矩阵h的一行，所以写出来的命令特别简洁。

令一个常用到的重复命令是while圈，其基本形式为：

while 条件式；

运算式；

end

也就是说，只要条件示成立，运算式就会一再被执行。例如先前产生调和数列的例子，

我们可用while圈改写如下：

x = zeros(1,6); % x是一个16的零矩阵

i = 1;

while i <= 6,

x(i) = 1/i;

i = i+1;

end

format short

1-3、逻辑命令

最简单的逻辑命令是if, ..., end，其基本形式为：

if 条件式；

运算式；

end

if rand(1,1) > 0.5,

disp('Given random number is greater than 0.5.');

end

Given random number is greater than 0.5.

1-4、集合多个命令於一个M档案

若要一次执行大量的MATLAB命令，可将这些命令存放於一个副档名为m的档案，

并在 MATLAB提示号下键入此档案的主档名即可。此种包含MATLAB命令的档案都以m

为副档名，因此通称M档案（M-files）。例如一个名为test.m的M档案，包含一连串的

MATLAB命令，那麽只要直接键入test，即可执行其所包含的命令：

pwd % 显示现在的目录

ans =

D:MATLAB5bin

cd c:datamlbook % 进入test.m所在的目录

type test.m % 显示test.m的内容

% This is my first test M-file.

% Roger Jang, March 3, 1997

fprintf('Start of test.m!n');

for i = 1:3,

fprintf('i = %d ---> i^3 = %dn', i, i^3);

end

fprintf('End of test.m!n');

test % 执行test.m

Start of test.m!

i = 1 ---> i^3 = 1

i = 2 ---> i^3 = 8

i = 3 ---> i^3 = 27

End of test.m!

小提示：第一注解行（H1 help line） test.m的前两行是注解，可以使程式易於了解

与管理。特别要说明的是，第一注解行通常用来简短说明此M档案的功能，以便lookfor

能以关键字比对的方式来找出此M档案。举例来说，test.m的第一注解行包含test这个

字，因此如果键入lookfor test，MATLAB即可列出所有在第一注解行包含test的M档

案，因而test.m也会被列名在内。

严格来说，M档案可再细分为命令集（Scripts）及函数（Functions）。前述的test.m

即为命令集，其效用和将命令逐一输入完全一样，因此若在命令集可以直接使用工作空间

的变数，而且在命令集中设定的变数，也都在工作空间中看得到。函数则需要用到输入引

数（Input arguments）和输出引数（Output arguments）来传递资讯，这就像是C语

言的函数,或是FORTRAN语言的副程序（Subroutines）。举例来说，若要计算一个正整

数的阶乘 （Factorial），我们可以写一个如下的MATLAB函数并将之存档於fact.m：

function output = fact(n)

% FACT Calculate factorial of a given positive integer.

output = 1;

for i = 1:n,

output = output*i;

end

其中fact是函数名，n是输入引数，output是输出引数，而i则是此函数用到的暂时

变数。要使用此函数，直接键入函数名及适当输入引数值即可：

y = fact(5)

y = 120

（当然，在执行fact之前，你必须先进入fact.m所在的目录。）在执行fact(5)时，

MATLAB会跳入一个下层的暂时工作空间（Temperary workspace），将变数n的值

设定为5，然後进行各项函数的内部运算，所有内部运算所产生的变数（包含输入引数n、

暂时变数i，以及输出引数output）都存在此暂时工作空间中。运算完毕後，MATLAB会

将最後输出引数output的值设定给上层的变数y，并将清除此暂时工作空间及其所含的所

有变数。换句话说，在呼叫函数时，你只能经由输入引数来控制函数的输入，经由输出引

数来得到函数的输出，但所有的暂时变数都会随着函数的结束而消失，你并无法得到它们

的值。

小提示：有关阶乘函数 前面（及後面）用到的阶乘函数只是纯粹用来说明MATLAB

的函数观念。若实际要计算一个正整数n的阶乘（即n!）时，可直接写成prod(1:n)，或

是直接呼叫gamma函数：gamma(n-1)。

MATLAB的函数也可以是递式的（Recursive），也就是说，一个函数可以呼叫它本

身。

举例来说，n! = n*(n-1)!，因此前面的阶乘函数可以改成递式的写法：

function output = fact(n)

% FACT Calculate factorial of a given positive integer recursively.

if n == 1, % Terminating condition

output = 1;

return;

end

output = n*fact(n-1);

在写一个递函数时，一定要包含结束条件（Terminating condition），否则此函数将

会一再呼叫自己，永远不会停止，直到电脑的记忆体被耗尽为止。以上例而言，n==1即

满足结束条件，此时我们直接将output设为1，而不再呼叫此函数本身。

1-5、搜寻路径

在前一节中，test.m所在的目录是d:mlbook。如果不先进入这个目录，MATLAB

就找不到你要执行的M档案。如果希望MATLAB不论在何处都能执行test.m，那麽就必

须将d:mlbook加入MATLAB的搜寻路径（Search path）上。要检视MATLAB的搜寻

路径，键入path即可：

path

MATLABPATH

d:matlab5toolboxmatlabgeneral

d:matlab5toolboxmatlabops

d:matlab5toolboxmatlablang

d:matlab5toolboxmatlabelmat

d:matlab5toolboxmatlabelfun

d:matlab5toolboxmatlabspecfun

d:matlab5toolboxmatlabmatfun

d:matlab5toolboxmatlabdatafun

d:matlab5toolboxmatlabpolyfun

d:matlab5toolboxmatlabfunfun

d:matlab5toolboxmatlabsparfun

d:matlab5toolboxmatlabgraph2d

d:matlab5toolboxmatlabgraph3d

d:matlab5toolboxmatlabspecgraph

d:matlab5toolboxmatlabgraphics

d:matlab5toolboxmatlabuitools

d:matlab5toolboxmatlabstrfun

d:matlab5toolboxmatlabiofun

d:matlab5toolboxmatlabtimefun

d:matlab5toolboxmatlabdatatypes

d:matlab5toolboxmatlabdde

d:matlab5toolboxmatlabdemos

d:matlab5toolboxtour

d:matlab5toolboxsimulinksimulink

d:matlab5toolboxsimulinkblocks

d:matlab5toolboxsimulinksimdemos

d:matlab5toolboxsimulinkdee

d:matlab5toolboxlocal

此搜寻路径会依已安装的工具箱（Toolboxes）不同而有所不同。要查询某一命令是

在搜寻路径的何处，可用which命令：

which expo

d:matlab5toolboxmatlabdemosexpo.m

很显然c:datamlbook并不在MATLAB的搜寻路径中，因此MATLAB找不到test.m

这个M档案：

which test

c:datamlbooktest.m

要将d:mlbook加入MATLAB的搜寻路径，还是使用path命令：

path(path, 'c:datamlbook');

此时d:mlbook已加入MATLAB搜寻路径（键入path试看看），因此MATLAB已

经"看"得到

test.m:

which test

c:datamlbooktest.m

现在我们就可以直接键入test，而不必先进入test.m所在的目录。

小提示：如何在其启动MATLAB时，自动设定所需的搜寻路径？ 如果在每一次启动

MATLAB後都要设定所需的搜寻路径，将是一件很麻烦的事。有两种方法，可以使MATLAB

启动後 ，即可载入使用者定义的搜寻路径：

的预设搜寻路径是定义在matlabrc.m（在c:matlab之下，或是其他安

装MATLAB 的主目录下），MATLAB每次启动後，即自动执行此档案。因此你可以直接修

改matlabrc.m ，以加入新的目录於搜寻路径之中。

在执行matlabrc.m时，同时也会在预设搜寻路径中寻找startup.m，若

此档案存在，则执行其所含的命令。因此我们可将所有在MATLAB启动时必须执行的命令

（包含更改搜寻路径的命令），放在此档案中。

每次MATLAB遇到一个命令（例如test）时，其处置程序为：

1.将test视为使用者定义的变数。

2.若test不是使用者定义的变数，将其视为永久常数 。

3.若test不是永久常数，检查其是否为目前工作目录下的M档案。

4.若不是，则由搜寻路径寻找是否有test.m的档案。

5.若在搜寻路径中找不到，则MATLAB会发出哔哔声并印出错误讯息。

以下介绍与MATLAB搜寻路径相关的各项命令。

1-6、资料的储存与载入

有些计算旷日废时，那麽我们通常希望能将计算所得的储存在档案中，以便将来可进

行其他处理。MATLAB储存变数的基本命令是save，在不加任何选项（Options）时，save

会将变数以二进制（Binary）的方式储存至副档名为mat的档案，如下述：

save：将工作空间的所有变数储存到名为的二进制档案。

save filename：将工作空间的所有变数储存到名为的二进制档案。

save filename x y z ：将变数x、y、z储存到名为的二进制档案。

以下为使用save命令的一个简例：

who % 列出工作空间的变数

Your variables are:

B h j y

ans i x z

save test B y % 将变数B与y储存至

dir % 列出现在目录中的档案

. fact.m test.m ~$

..

go.m

delete % 删除

以二进制的方式储存变数，通常档案会比较小，而且在载入时速度较快，但是就无法

用普通的文书软体（例如pe2或记事本）看到档案内容。若想看到档案内容，则必须加上

-ascii选项，详见下述：

save filename x -ascii：将变数x以八位数存到名为filename的ASCII档案。

Save filename x -ascii -double：将变数x以十六位数存到名为filename的ASCII

档案。

另一个选项是-tab，可将同一列相邻的数目以定位键（Tab）隔开。

小提示：二进制和ASCII档案的比较 在save命令使用-ascii选项後，会有下列现

象:save命令就不会在档案名称後加上mat的副档名。

因此以副档名mat结尾的档案通常是MATLAB的二进位资料档。

若非有特殊需要，我们应该尽量以二进制方式储存资料。

load命令可将档案载入以取得储存之变数：

load filename：load会寻找名称为的档案，并以二进制格式载入。若

找不到，则寻找名称为filename的档案，并以ASCII格式载入。load

filename -ascii：load会寻找名称为filename的档案，并以ASCII格式载入。

若以ASCII格式载入，则变数名称即为档案名称（但不包含副档名）。若以二进制载入，

则可保留原有的变数名称，如下例：

clear all; % 清除工作空间中的变数

x = 1:10;

save x -ascii % 将x以ASCII格式存至名为的档案

load % 载入

who % 列出工作空间中的变数

Your variables are:

testfile x

注意在上述过程中，由於是以ASCII格式储存与载入，所以产生了一个与档案名称相

同的变数testfile，此变数的值和原变数x完全相同。

1-7、结束MATLAB

有三种方法可以结束MATLAB：

1.键入exit

2.键入quit

3.直接关闭MATLAB的命令视窗（Command window）

数 值 函 数

N[expr]表达式的机器精度近似值

N[expr, n] 表达式的n位近似值，n为任意正整数

NSolve[lhs==rhs, var] 求方程数值解

NSolve[eqn, var, n] 求方程数值解，结果精度到n位

NDSolve[eqns, y, {x, xmin, xmax}]微分方程数值解

NDSolve[eqns, {y1,y2,...}, {x, xmin, xmax}]

微分方程组数值解

FindRoot[lhs==rhs, {x,x0}] 以x0为初值，寻找方程数值解

FindRoot[lhs==rhs, {x, xstart, xmin, xmax}]

NSum[f, {i,imin,imax,di}] 数值求和，di为步长

NSum[f, {i,imin,imax,di}, {j,..},..] 多维函数求和

NProduct[f, {i, imin, imax, di}]函数求积

NIntegrate[f, {x, xmin, xmax}] 函数数值积分

优化函数：

FindMinimum[f, {x,x0}] 以x0为初值，寻找函数最小值

FindMinimum[f, {x, xstart, xmin, xmax}]

ConstrainedMin[f,{inequ},{x,y,..}]

inequ为线性不等式组，f为x,y..之线性函数，得到最小值及此时的x,y..取值

ConstrainedMax[f, {inequ}, {x, y,..}]同上

LinearProgramming[c,m,b] 解线性组合c.x在m.x>=b&&x>=0约束

下的

最小值，x,b,c为向量,m为矩阵

LatticeReduce[{}] 向量组vi的极小无关组

数据处理：

Fit[data,funs,vars]用指定函数组对数据进行最小二乘拟和

data可以为{{x1,y1,..f1},{x2,y2,..f2}..}多维的情况

emp: Fit[{10.22,12,3.2,9.9}, {1, x, x^2,Sin[x]}, x]

Interpolation[data]对数据进行差值,

data同上，另外还可以为{{x1,{f1,df11,df12}},{x2,{f2,.}..}指定各阶导数

InterpolationOrder默认为3次，可修改

ListInterpolation[array]对离散数据插值，array可为n维

ListInterpolation[array,{{xmin,xmax},{ymin,ymax},..}]

FunctionInterpolation[expr,{x,xmin,xmax}, {y,ymin,ymax},..]

以对应expr[xi,yi]的为数据进行插值

Fourier[list] 对复数数据进行付氏变换

InverseFourier[list] 对复数数据进行付氏逆变换

Min[{},{y1,y2,...}]得到每个表中的最小值

Max[{},{y1,y2,...}]得到每个表中的最大值

Select[list, crit] 将表中使得crit为True的元素选择出来

Count[list, pattern] 将表中匹配模式pattern的元素的个数

Sort[list] 将表中元素按升序排列

Sort[list,p] 将表中元素按p[e1,e2]为True的顺序比较list

的任两个元素e1,e2,实际上Sort[list]中默认p=Greater

集合论：

Union[list1,list2..] 表listi的并集并排序

Intersection[list1,list2..] 表listi的交集并排序

Complement[listall,]从全集listall中对listi的差集

九、虚数函数

Re[expr] 复数表达式的实部

Im[expr] 复数表达式的虚部

Abs[expr] 复数表达式的模

Arg[expr] 复数表达式的辐角

Conjugate[expr] 复数表达式的共轭

十、数的头及模式及其他操作

Integer _Integer 整数

Real _Real 实数

Complex _Complex 复数

Rational_Rational 有理数

(*注：模式用在函数参数传递中，如MyFun[Para1_Integer,Para2_Real]

规定传入参数的类型，另外也可用来判断If[Head[a]==Real,...]*)

IntegerDigits[n,b,len] 数字n以b近制的前len个码元

RealDigits[x,b,len]

FromDigits[list]

Rationalize[x,dx]

Chop[expr, delta]

Accuracy[x]

Precision[x]

SetAccuracy[expr, n]

SetPrecision[expr, n]

十一、区间函数

Interval[{min, max}]

类上

IntegerDigits的反函数

把实数x有理化成有理数，误差小于dx

将expr中小于delta的部分去掉,dx默认为10^-10

给出x小数部分位数,对于Pi,E等为无限大

给出x有效数字位数,对于Pi,E等为无限大

设置expr显示时的小数部分位数

设置expr显示时的有效数字位数

区间[min, max](* Solve[3 x+2==Interval[{-2,5}],x]*)

IntervalMemberQ[interval, x] x在区间内吗？

IntervalMemberQ[interval1,interval2] 区间2在区间1内吗？

IntervalUnion[] 区间的并

IntervalIntersection[] 区间的交

十二、矩阵操作

a.b.c 或 Dot[a, b, c] 矩阵、向量、张量的点积

Inverse[m] 矩阵的逆

Transpose[list] 矩阵的转置

Transpose[list,{n1,n2..}]将矩阵list 第k行与第nk列交换

Det[m] 矩阵的行列式

Eigenvalues[m] 特征值

Eigenvectors[m] 特征向量

Eigensystem[m] 特征系统，返回{eigvalues,eigvectors}

LinearSolve[m, b] 解线性方程组m.x==b

NullSpace[m] 矩阵m的零空间，即ace[m]==零向量

RowReduce[m] m化简为阶梯矩阵

Minors[m, k] m的所有k*k阶子矩阵的行列式的值(伴随阵，好像是)

MatrixPower[mat, n] 阵mat自乘n次

Outer[f,list1,list2..] listi中各个元之间相互组合，并作为f的参数的到的矩阵

Outer[Times,list1,list2]给出矩阵的外积

SingularValues[m] m的奇异值，结果为{u,w,v},

m=Conjugate[Transpose[u]].DiagonalMatrix[w].v

PseudoInverse[m] m的广义逆

QRDecomposition[m] QR分解

SchurDecomposition[m] Schur分解

LUDecomposition[m] LU分解