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2024年4月16日发(作者：thickest)

标题: 量子力学的数学基础：从 PV 到 POVM

作者: 星空浩淼

自量子力学产生之后，它在物理学中取得巨大成功的同时，人们开始试图为它建立一

个严格而系统的数学基础，弄清该理论的整个框架构造，使之能够公理化。第一个比较系

统地做这项工作的，是一代天才J. Von Neumann，他出过一本书《Mathematical

Foundations of Quantum Mechancis》，此书成为历史上的经典。

然而，人们关于量子力学基础问题的争论从来就没有停止过（尽管此类课题在物理学

中多少有些被边缘化）。其中围绕EPR的争论，对量子力学基础的进一步完善起了很大的

推动作用，它使得量子力学的测量理论得以系统建立。如今成为物理学中新贵的量子信息

与量子计算理论，就直接跟前面的这些工作有着密不可分的关系。关于量子力学基础问题

的研究进展，如今早已不只停留在J. Von Neumann的那个年代，而是从传统“投影取值

测度”（PV，又称“谱测度”）推广到“正算子取值测度”（POVM)，而广义测量理论

在量子信息与量子计算理论中扮演重要的角色。有些文献可能把POVM中的M（即

measure)翻译成“测量”，其中如果弄清它的数学来源之后，就知道应该是“测度”。

对算符F求平均值：<ψ|F|ψ>，它等于F的本征值f(i)乘以取该本征值的概率P(i)，再

求和:

<ψ|F|ψ>=∑ f(i)P(i) （1）

但我们可以把这个方程两边同时剥去外衣<ψ|和|ψ>，直接露出赤裸裸的算符F本身，

得到

F＝∑ f(i)μ(i) （2）

此时，称μ(i)为算子F的谱测度，上式称为算符F的谱分解。本来，矩阵也好，算子

也好，谱分解不过是一个纯粹的数学事实，但是量子力学中，波函数（如果以|ψ>代表

Hilbert空间中的矢量，那么通常所说的波函数，即是Hilbert空间中的泛函）代表概率幅，

这使得(2)式所表示的谱分解，有更多的含义。例如在（2）式中，F的“算符性”由μ(i)

来承载，因为本征值f(i)只是一个c数不是算符，而

<ψ|μ(i)|ψ>=P(i) （3）

从（3）式看，即算符μ(i)的平均值就是概率P(i)。因此谱测度μ(i)相当于一个概率算

符！如果前面的求和是连续求和，那么谱测度μ(i)相当于一个概率密度算符。

在通常的量子力学中，谱测度μ(i)被称为投影算符，因为它是幂等的（它的平方等于

它自己），而且利用它可以实现将某个矢量向μ(i)中包含的某个矢量上进行投影。

与此相应地，传统量子力学中，要求可观察量对应的算符是自共轭的，这类算符的谱

分解中，谱测度对应投影算符。

但是传统量子力学存在局限性，需要扩展。比如，我们的测量，不一定对一个系统整

体进行测量，而是对一个系统中额达某个子系统进行（严格说来，我们无法把观察者和被

观察对象分离开来），此时算符的谱分解中，谱测度不一定对应投影算符。再例如，有些可

观察量，例如时间，相位差等等，它们并不对应自共轭算符。

为了推广量子力学可观察量的概念（即不一定对应自共轭算符），我们需要推广算符的


本文标签： 算符 理论 测度 基础

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