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2024年4月15日发(作者：url工具)
考研数学一（高等数学）模拟试卷317
(题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设f(x，y)=则f(x，y)在(0，0)处( )．
A．对x可偏导，对y不可偏导
B．对x不可偏导，对y可偏导
C．对x可偏导，对y也可偏导
D．对x不可偏导，对y也不可偏导
正确答案：B
解析：因为不存在，所以f(x，y)在(0，0)处对x不可偏导；因为所以fy’(0，
0)=0，即f(x，y)在(0，0)处对y可偏导，应选(B)． 知识模块：高等数学
2． 设f(x，y)在(0，0)的某邻域内连续，且满足则f(x，y)在(0，0)处( )．
A．取极大值
B．取极小值
C．不取极值
D．无法确定是否取极值
正确答案：C
解析：因为，所以由极限的保号性，存在δ＞0，当0＜，|x|+y2＞0，所以
当，有f(x，y)＜f(0，0)，即f(x，y)在(0，0)处取极大值，选A. 知识模块：高等
数学
3． 设u=f(x+y，xz)有二阶连续的偏导数，则
A．f’2+xf”11+(x+z)f”12+xzf”22
B．xf”12+xzf”22
C．f’2+xf”12+xzf”22
D．xzf”22
正确答案：C
解析：=xf12”+f2’+xzf22”，选C. 知识模块：高等数学
4． 设f’x(x0，y0)，f’y(x0，y0)都存在，则( )．
A．f(x，y)在(x0，y0)处连续
B．
C．f(x，y)在(x0，y0)处可微
D．
正确答案：D
解析：多元函数在一点可偏导不一定在该点连续，(A)不对；函数f(x，y)=
在(0，0)处可偏导，但不存在，(B)不对；f(x，y)在(x0，y0)处可偏导是可微的必
要而非充分条件，(C)不对．应选(D)，事实上由fx’(x0，y0)=存在得 知识模块：
高等数学
5． 设可微函数f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，则下列结论正确的是
( )．
A．f(x0，y)在y=y0处导数为零
B．f(x0，y)在y=y0处导数大于零
C．f(x0，y)在y=y0处导数小于零
D．f(x0，y)在y=y0处导数不存在
正确答案：A
解析：可微函数f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，则有fx’(x0，y0)=0，
fy’(x0，y0)=0，于是f(x0，y)在y=y0处导数为零，选(A)． 知识模块：高等数学
6． f(x，y)=在(0，1)处的梯度为( )．
A．i
B．一i
C．j
D．一j
正确答案：A
解析：由得grad f|(0,1)={1，0}=i，选(A)． 知识模块：高等数学
填空题
7． 函数z=x2cosy在点处沿从点的射线的方向导数为________．
正确答案：
解析：与射线方向相同的向量为方向余弦为 知识模块：高等数学
8． 函数u=x2+2yz+xz2的梯度为______．
正确答案：{2x+z2，2z，2y+2xz}．
解析：gradu=={2x+z2，2z，2y+2xz}． 知识模块：高等数学
9． 设z=f(x+y，y+z，z+x)，其中f连续可偏导，则
正确答案：
解析：z=f(x+y，y+z，z+x)两边对x求偏导得 知识模块：高等数学
10． 已知由x=zey+z确定z=z(x，y)，则dz|(e,0)=_______．
正确答案：
解析：x=e，y=0时，z=1．x=zey+z两边关于x求偏导得x=zey+z两边关于
y求偏导得故dz|(e,0)= 知识模块：高等数学
11．
正确答案：
解析： 知识模块：高等数学
12． 设
正确答案：
解析： 知识模块：高等数学
13． 设z=f(x，y)=
正确答案：
解析： 知识模块：高等数学
14． 设f(x，y)满足f(x，0)=1，f’y(x，0)=x，则f(x，y)=_______．
正确答案：f(x,y)=y2+xy+1
解析：由=2y+φ1(x)，因为fy’(x，0)=x，所以φ1(x)=x，则再由=2y+x得
f(x，y)=y2+xy+φ2(x)，因为f(x，0)=1，所以φ2(x)=1，故．f(x，y)=y2+xy+1． 知
识模块：高等数学
15． z=+yg(x2+y2)，其中f，g二阶连续可导，则
正确答案：
解析：+2xyg’(x2+y2)，+y2f”(xy)+2xg’(x2+y2)+4xy2g”(x2+y2)． 知识模
块：高等数学
16． 设u=f(x，y，z)=exyz2，其中z=z(x，y)是由x+y+z+xyz=0确定的隐函
数，则=______
正确答案：1
解析：x+y+z+xyz=0两边关于x求偏导得将x=0，y=1，z=一1代入得 知识
模块：高等数学
17． 设
正确答案：
解析： 知识模块：高等数学
18． 设z=z(x，y)由=x2+y2+z确定，求dz．
正确答案：
解析：=x2+y2+z两边分别对x和y求偏导得 知识模块：高等数学
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
19． 设z=f(t2，e2t)，其中f二阶连续可偏导，求
正确答案：=2tf1’+2e2tf2’，=2f1’+2t(2tf11”+2e2tf”12)+4e2tf2’
+2e2t(2tf21”+2e2tf22”)=2f1’+4t2f11”+8te2tf12”+4e2tf2’+4e4tf22”． 涉
及知识点：高等数学
20． 设z=f(exsiny，xy)，其中f二阶连续可偏导，求
正确答案：=exsiny.f1’+y.f2’，=excosy.f1’+exsiny.(excosy.f11”+xf12”)+f2’
+y(excosy.f21”+xf22”)=excosy.f1’+e2xsiny cosy.f11”+ex(xsiny+ycosy)f12”+f2’
+xyf22”． 涉及知识点：高等数学
21． u=f(x2，xy，xy2z)，其中f连续可偏导，求
正确答案： 涉及知识点：高等数学
22． 设z=f(x，y)在点(1，1)处可微，f(1，1)=1，f1’(1，1)=a，f’2(1，1)=b，
又u=f[x，f(x，x)]，求
正确答案：由=f1’[x，f(x，x)]+f2’[x，f(x，x)].[f1’(x，x)+f2’(x，x)]，
得=f1’[1，f(1，1)]+f2’[1，f(1，1)].[f1’(1，1)+f2’(1，
1)]=a+b(a+b)=a+ab+b2． 涉及知识点：高等数学
23． 设
正确答案： 涉及知识点：高等数学
24． 设y=y(x)，z=z(x)由确定，求
正确答案： 涉及知识点：高等数学
25． 设z=z(x，y)是由所确定的二元函数，其中F连续可偏导，求
正确答案： 涉及知识点：高等数学
26． 求曲线L：在点(1，1，0)处的切线与法平面．
正确答案：令F=x2+2y2+z2一3， G=2x—y+z一1，法平面为π：2(x一
1)一(y一1)一5z=0，即π：2x—y一5z一1=0． 涉及知识点：高等数学
27． 求曲面∑：x2一y2+2z2=8上与平面π：x—y+2z一5=0平行的切平
面．
正确答案：设切点坐标为(x，y，z)，法向量为n={2x，一2y，4z}=2{x，一
y，2z}，由得x=t，y=t，z=t，代入曲面得t=±2，切点为M1(一2，一2，一2)
及M2(2，2，2)，所求的切平面为π1：(x+2)一(y+2)+2(z+2)=0，即π1：x一
y+2z+4=0，π2：(x一2)一(y一2)+2(z一2)=0，即π2：x—y+2z一4=0． 涉
及知识点：高等数学
28． 求二元函数f(x，y)=x3一3x2一9x+y2一2y+2的极值．
正确答案：当(x，y)=(一1，1)时，A=一12，B=0，C=2，因为AC—B2=一
24＜0，所以(一1，1)不是极值点；当(x，y)=(3，1)时，A=12，B=0，C=2，因为
AC—B2=24＞0且A＞0，所以(3，1)为极小值点，极小值为f(3，1)=一26． 涉
及知识点：高等数学
29． 已知z=f(x，y)满足：dz=2x dx一4y dy且f(0，0)=5． (1)求f(x，y)；
(2)求f(x，y)在区域D={(x，y)|x2+4y2≤4}上的最小值和最大值．
正确答案：(1)由dz=2xdx一4ydy得dz=d(x2一2y2)， 从而f(x，y)=x2
一2y2+C，再由f(0，0)=5得f(x，y)=x2一2y2+5．(2)当x2+4y2＜4时，由f(0，
0)=5；当x2+4y2=4时，令(0≤t≤2π)，则z=4 cos2t一2 sin2t+5=6 cos2t+3，当
cost=0时，fmin=3；当cost=±1时，fmax=9，故最小值为m=3，最大值
M=9． 涉及知识点：高等数学
30． 设求du．
正确答案： 涉及知识点：高等数学
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